(共17张PPT)
4.1
平方根
第4章
实
数
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第1课时
平方根
知识要点
平方根
新知导入
想一想：
图中小方格边长都为1，你能说出这两个直角三角形斜边的长吗？
由勾股定理可知
AB?＝12?＋5?＝169，
AB＝13.
A′B′
?＝1?＋2?＝5，
那么A′B′
＝？
课程讲授
1
平方根
问题1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
我们知道，这个数可以是3.除了3以外，还有没
有别的数的平方也等于9呢？
由于（-3）2=9，所以这个数也可以是-3.
因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3
课程讲授
1
平方根
问题1：填表
x2
1
16
36
49
x
1
6
4
7
课程讲授
1
平方根
定义：如果x2=
a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根.
5的平方等于25，所以5叫做25的平方根.
因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3是9的平方根.也可以说:9的平方根是3和-3.
课程讲授
1
平方根
归纳
平方根的表示方法：
正数a的正的平方根记作
,负的平方根记作
.
这两个平方根合起来可以记作
读作“正、负根号a”.
课程讲授
1
平方根
平方根的性质：
1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2.0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
问题2：（1）正数有几个平方根？
（2）0的平方根是多少？
（3）负数有平方根吗？
课程讲授
1
平方根
练一练：判断下列说法是否正确.
（2）2是4的平方根；（
）
（1）49的平方根是7；（
）
（3）-5是25的平方根；（
）
（4）64的平方根是±8；（
）
（5）-16的平方根是-4．（
）
√
√
×
×
√
课程讲授
1
平方根
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
课程讲授
1
平方根
例
求下列各数的平方根：
(1)
25；
(2)
；
(3)
15;
(4)0.09.
解：
(1)25的平方根是±
，即±5；
(2)
的平方根是±
，即
(3)15的平方根是±
；
(4)0.09的平方根是±
，即±0.3.
课程讲授
1
平方根
练一练：
的平方根是（ ）
A．±
B.
C．±
D.
C
提示：只有非负数才有平方根.同时注意平方根的通用符号是
(a≥0)，防止粗心大意漏掉“
”而出错.
随堂练习
1.“±
”的意义是（ ）
A．a的平方根
B．当a≥0时，±
是a的平方根
C．以上均不正确
B
随堂练习
2.下列说法正确的有（ ）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
随堂练习
3.若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是(
)
A．－3
B．－1
C．1
D．－3或1
D
随堂练习
4.计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
解：
(3)因为
，所以
.
课堂小结
平方根
定义：如果x2=
a(a≥0），那么这个数叫做a
的平方根.
性质：（1）正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.（2）0的平方根还是0.（3）负数没有平方根.
开平方及相关运算(共17张PPT)
4.1
平方根
第4章
实
数
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第2课时
算术平方根及其应用
知识要点
1.算术平方根
2.算术平方根的应用
新知导入
试一试：根据所学知识，试着解决下列问题.
学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9
dm2的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
你一定会算出边长应取3
dm.
说一说，你是怎样算出来的？
因为32=9，所以这个正方形
画布的边长应取3
dm.
课程讲授
1
算术平方根
填表：
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个
正数的问题.
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
课程讲授
1
算术平方根
定义：正数a有两个平方根±
，我们把正数a的正的平方根
，叫做a的算术平方根.
算术平方根的记法：
a（a≥0）的算术平方根记为
，读作“根号a”，a叫做被开方数.
课程讲授
1
算术平方根
例1
求下列各数的算术平方根：
（1）625；
（2）0.0081；
（3）7.
解：（1）625的算术平方根
是
，即25；
（2）0.0081的算术平方根是
，即0.09；
（3）7的算术平方根是
.
课程讲授
1
算术平方根
例2
有意义吗？如果有，求它的值.
解：（1）
表示“3的算术平方根的平方”，根据算术平方根的意义，得
；
（2）
没有意义，
也就没有意义；
（3）
表示-5的平方（即25）的算术平方根，
课程讲授
1
算术平方根
归纳小结：
(1)
正数的算术平方根是一个正数；
(2)
0的算术平方根是0；
(3)
负数没有算术平方根；
(4)
被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
课程讲授
1
算术平方根
算术平方根
具有双重非负性：
1.
被开方数a是非负数，即a
≥0;
2.
算术平方根
本身是非负数，即
课程讲授
1
算术平方根
归纳
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平
方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.
0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有
一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为
，而算术平
方根表示为
.
课程讲授
1
算术平方根
练一练：
（中考·济宁）若
＋
＋1有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≥
B．x≤
C．x＝
D．x≠
C
h
d
课程讲授
2
算术平方根的应用
例
“欲穷千里目，更上一层楼”，说
的是登得高看得远.如图,若观测点的高
度为h,观测者视线能达到的最远距离
为d,则
,其中R是地球半径，
约等于6400
km.
小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离
海平面的高度h为20
m,她观测到远处
一艘船刚露出海平面，求此时d的值.Z
课程讲授
2
算术平方根的应用
解：
由R=6400
km，h=0.02
km，得
随堂练习
（1）9的算术平方根是________;
（2）
的算术平方根是________;
（3）0.01的算术平方根是
________;
（4）10-6
的算术平方根是________;
1.填一填
（5）(-4)2的算术平方根是________;
（6）10的算术平方根是________.
3
0.1
10-3
4
随堂练习
2.(中考·南京)若
，则下列结论中正确的是（ ）
A．1B．1C．2D．2B
随堂练习
3.若
＝0，求x2019＋y2020的值．
∵
≥0，
≥0，
＝0，
∴x－1＝0，y＋1＝0，∴x＝1，y＝－1.
∴x2019＋y2020＝12019＋(－1)2020＝2.
解：
课堂小结
算术平方根
算术平方根
算术平方根的应用
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
双重非负性