(共21张PPT)
24.2
解一元二次方程
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第二十四章
一元二次方程
第1课时
配方法
知识要点
1.用直接开平方法解一元二次方程
2.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
3.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
新知导入
试一试：根据所学知识，完成下面的问题。
1.如果
x2=a,则x叫做a的
.
2.如果
x2=a(a
≥0),则x=
.
3.如果
x2=36
,则x=
.
平方根
±6
4.如果
4x2=36
,则x=
.
±3
课程讲授
1
用直接开平方法解一元二次方程
问题：用平方根的意义，解下列方程：
（1）x2=5；
（2）(x+5)2=5
；
（3）x2+12x+36=0.
解：（1）直接开平方，得x=
.
（2）直接开平方，得x+5=
.所以x1=-5+
,x2=-5-
（3）x2+12x+36=0可变形为（x+6）2=0,开平方，得x+6=0，
所以x1=x2=-6.
课程讲授
一般地，对于方程(mx+n)2=p(p≥0)：
根据平方根的意义，方程_________________根，
即
有两个不等的实数
1
用直接开平方法解一元二次方程
课程讲授
1
练一练：用直接开平方法解方程(x-3)2=8，得方程的根为(
)
A.x=3-
B.x=3+
C.x1=3+
,x2=3-
D.x1=3+
,x2=3-
C
用直接开平方法解一元二次方程
课程讲授
1
问题：先把下列方程化为（x+m）2=n（m，n为常数，且n≥0）的形式，再求出方程的根.
（1）x2+2x=48；
（2）x2-4x=12；
（3）x2-6x+5=0；
（4）
2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
课程讲授
2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解：（1）配方，得x2+2x+12=48+12，即（x+1）2=49.
两边开平方，得x+1=±7，所以x1=6,x2=-8.
（2）配方，得x2-4x+22=12+22
，即（x-2）2=16.
两边平方，得x-2=±4，所以x1=6,x2=-2.
课程讲授
2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
（3）移项，得x2-6x=-5.
配方，得x2-6x+32=-5+32，即（x-3）2=4.
两边开平方，得x-3=±2，所以x1=5,x2=1.
（4）移项，得
.
配方，得
，即
.
两边平方，得
=±1，所以x1=
,x2=
.
课程讲授
2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
定义：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含
未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为
非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两
个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元
二次方程的方法叫做配方法.
课程讲授
2
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
例
解方程x2-8x+1=0.
提示：方程的二次项系数为1，可以直接运用配方法。
解
移项，得
x2－8x=－1.
配方，得
x2－8x+42=－1+42
,
(
x－4)2=15
由此可得
课程讲授
练一练：用配方法解下列方程：
（1）－2x+x2－3=0；
（2）x2+4=－8x.
2
配方法解二次项系数为1的一元二次方程
解：（1）整理，得x2－2x－3=0.移项，得x2－2x=3.配方，得x2－2x+（－1）2=3+（－1）2，即
.开平得
.∴
，
.
（2）移项，得x2+8x=－4.配方，得x2+8x+42=－4+42，
即
.开平方，得
.
∴
，
.
课程讲授
3
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
问题：如何用配方法解方程2x2+4x+1=0？
提示：如果方程的系数不是1，我们可以在方程的两边同时除以二次项系数，这样转化为系数是1的方程，就可以利用学过的知识解方程了！
解：移项，并将二次项系数化为1，得
.
配方，得
，即
.两边开平方，得
.所以
，
.
课程讲授
3
配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
思考：用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
归纳：解一元二次方程的一般步骤：
（1）移项:把常数项移到方程的右边;
（2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程得到一元二次方程的解．
课程讲授
3
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
例
解方程3x2-6x+4=0.
解
移项，得
3x2-6x=-4.
二次项系数化为1，得
x2-2x=-
.
3
4
配方，得
x2-2x+12=-
+12
.
3
4
（x-1）2=-
+1.
3
4
（x-1）2=-
.
3
1
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
课程讲授
3
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
练一练：用配方法解方程3x2-6x-1=0，则方程可变形为(
)
A.(x-3)2=
B.(x-1)2=
C.(3x-1)2=
D.(x-1)2=
D
随堂练习
1.若代数式3x2-6的值是21，则x的值是（
）
A.3
B.±3
C.-3
D.±
B
2.已知关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7，则方程的两根为(
)
A.±2
B.±3
C.±4
D.±7
B
随堂练习
3.若x2-4x+p=(x+q)2，则p，q的值分别是（
）
A.p=4,q=2
B.p=4,q=-2
C.p=-4,q=2
D.p=-4,q=-2
4.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于（
）
A.-2
B.-2或6
C.-2或-6
D.2或-6
B
B
随堂练习
5.解下列方程：
（1）x2-2x-1=0；
（2）3x2-6x+4=0.
解：（1）移项，得x2-2x＝1.配方，得x2-2x＋（-1）2=1＋（-1）2，即（x-1）2=2.两边开平方，得x-1=
,所以x1=1+
，x2=1-
.
（2）移项，得3x2
-6x＝-4.二次项的系数化为1，得x2
-2x
＝
.配方，得x2-2x＋（-1）2=
＋（-1）2.
即（x-1）2=
.因为实数的平方都是非负数，所以上式都不成立，即原方程无实根.
随堂练习
6.一小球以15
m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中
的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t―5,小球何时能达到10
m高？
解：根据题意，得15t-5t2=10.
方程两边都除以-5，得t2-3t=-2.
配方，得
，即
.
两边开平方，得
.
所以
.答：当t为2
s或1
s时，小球的高度为10
m.
课堂小结
配方法
2.用配方法解方程
3.
用配方法解一元二次方程的一般步骤
1.
概念：过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.(共24张PPT)
24.2
解一元二次方程
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第二十四章
一元二次方程
第3课时
因式分解法
知识要点
1.用因式分解法解一元二次方程
2.用适当的方法解一元二次方程
新知导入
做一做：解下列方程：
（1）x2-2x-2=0；
解：
新知导入
做一做：解下列方程：
（2）2x2+7x=4.
解：
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
问题：解方程x2-2x=0.
配方法：
配方，得x2-2x+12=12，即（x-1）2=1.
两边开平方，得x-1=±1.
解得x1=0,x2=2.
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
公式法：
这里a=1，b=-2，c=0.
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4.
∴
.
即x1=0,x2=2.
问题：解方程x2-2x=0.
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
小亮是这样想的：如果a·b=0,那么a=0或b=0.
小亮是这样解的：将方程x2-2x=0左边进行因式分解，得x(x-2)=0，所以x=0，或x-2=0，所以x1=0,x2=2.
你认为他的解法有没有道理？
问题：解方程x2-2x=0.
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
定义：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成
两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方
程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的
方法叫做因式分解法.
课程讲授
2
用因式分解法解一元二次方程
思考：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？
归纳：解一元二次方程的一般步骤：
（1）方程的右边为0，左边可分解因式；
（2）把左边分解因式；
（3）根据“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零”转化为两个一元一次方程；
（4）分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
例
解下列方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
解
因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(x－2)(x＋1)=0.
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
例
解下列方程：
解
移项、合并同类项，得
4x2-1
=0
(
2x＋1)(
2x－1
)=0.
因式分解，得
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
x1=-
x2=
2
1
2
1
课程讲授
1
用因式分解法解一元二次方程
练一练：一元二次方程（x+1）（x-3）=0的解是（
）
A.x1=1，x2=-3
B.x1=-1，x2=3
C.x1=1，x2=3
D.x1=-1，x2=-3
B
课程讲授
2
用适当的方法解一元二次方程
例
用适当的方法解方程：
(1)
3x（x
+
5）=
5（x
+
5）；
提示：等式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解此方程较为简便.
解
移项、合并同类项，得
(3x
-5)
(x
+
5)
=
0.
于是得
3x
-5=
0，或x
+
5=
0.
x1=
，
x2=-5
3
5
课程讲授
2
用适当的方法解一元二次方程
例
用适当的方法解方程：
(2)（3x
+
1）2
=
36；
提示：方程符合直接开平方法的形式特点，采用直接开平方法解答较为简便.
解
根据平方根的定义，得
3x
+
1
=
±6
∴3x+1=6或3x+1=-6.
x1=
，
x2=-
3
5
3
7
课程讲授
2
用适当的方法解一元二次方程
（3）x2
-
12x
=
13
;
例
用适当的方法解方程：
提示：方程的二次项系数为1，适合使用配方法进行解答.
解
配方，得
x2－12x+62=13+62,
(x
-
6)2
=
49.
由此可得
x
-
6
=±7.
x1=
13
，
x2=-1
课程讲授
2
用适当的方法解一元二次方程
例
用适当的方法解方程：
（4）3x2
=
4x
+
1；
提示：方程的二次项系数不为1，
不适合使用直接开平方法和配方法进行解答，应该选择使用公式法进行解答.
解
移项，得
3x2
-4x
-
1=
0；
a＝3，b＝－4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28>0.
方程有两个不等的实数根.
课程讲授
2
用适当的方法解一元二次方程
归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
课程讲授
2
用适当的方法解一元二次方程
练一练：解方程(x+2)2=3(2+x),最适当的解法是(
)
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
D
随堂练习
1.用分解因式法解下列方程：
(1)x2-4=0.
(2)(x+1)2-25=0.
解：（1）(x+2)(x-2)=0,
∴x+2=0或x-2=0.
∴x1=-2,
x2=2.
（2）[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+6=0或x-4=0.
∴x1=-6,
x2=4.
随堂练习
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x.根据题意,得
∴x=0或2x-7=0.
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7)
=0,
随堂练习
3.观察下列各式,也许你能发现些什么.
随堂练习
解：通过观察上述的式子，可得以下两个结论：
（1）对于一元二次方程（x-p）（x-q）=0，那么它的两个实数根分别为p，q.
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成（x-p）(x-q)=0的形式.
随堂练习
归纳：一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了,即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
课堂小结
因式分解法
2.
用因式分解法解方程
1.
概念：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成
两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方
程，从而求出原方程的根，这种解一元二次方程的
方法叫做因式分解法.(共21张PPT)
24.2
解一元二次方程
课程讲授
新知导入
随堂练习
课堂小结
第二十四章
一元二次方程
第2课时
公式法
知识要点
1.一元二次方程根的判别式
2.用公式法解方程
新知导入
试一试：回顾所学知识，完成下面内容。
2x2+4x=-1
x2+2x=-
2
1
x2+2x+12=-
+12
2
1
（x+1）2=
2
1
解方程2x2+4x+1=0
解
移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
由此可得
是否有更为简便的方法？
课程讲授
1
一元二次方程根的判别式
问题：你能用配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
（1）移项，得________________.
ax2+bx=-c
（2）将二次项系数化为1，得________________.
（3）配方，得__________________________.
整理，得________________.
课程讲授
1
思考：可以直接开平方吗？
当b2-4ac＞0时，
，得
方程有两个不相等的实数根：
一元二次方程根的判别式
课程讲授
1
当b2-4ac=0时，
，得
.
方程有两个相等的实数根：
当b2-4ac＜0时，
，而
.
所以方程没有实数根.
一元二次方程根的判别式
课程讲授
1
归纳：对于一元二次方程ax2+bx+c=0：
当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
一元二次方程根的判别式
定义：我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的
根的判别式.
课程讲授
练一练：若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（
）
A.m≥1
B.m≤1
C.m＞1
D.m＜1
1
一元二次方程根的判别式
D
课程讲授
2
定义：当b2-4ac≥0时，一元二次方程的ax2+bx+c=0的两实数根可以用
求出.这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
用公式法解一元二次方程
课程讲授
2
用公式法解一元二次方程
例
用公式法解下列方程：
（1）x2-4x-7=0；
解
a＝1，b＝－4，c＝－7.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44>0.
方程有两个不等的实数根.
即
x1=2+
，x2=2-
课程讲授
2
用公式法解一元二次方程
例
用公式法解下列方程：
解
a＝2，b＝－2
，c＝1.
Δ＝b2－4ac＝(－2
)2－4×2×1＝0.
方程有两个相等的实数根.
x1=x2=
-
=
2a
b
课程讲授
2
用公式法解一元二次方程
（3）5x2-3x=x+1；
例
用公式法解下列方程：
解
方程化为5x2-4x-1=0
a＝1，b＝－4，c＝－7.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.
方程有两个不等的实数根.
即
x1=1
，x2=-
5
1
课程讲授
2
用公式法解一元二次方程
例
用公式法解下列方程：
（4）x2+17=8x.
解
方程化为x2-8x+17=0
Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.
a＝1，b＝－8，c＝17.
方程无实数根
课程讲授
2
用公式法解一元二次方程
思考：用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
归纳：解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值；
（2）求出b2-4ac的值，判断方程有无实数根；
（3）若有实数根，代入求根公式
求出方程的根.
课程讲授
2
用公式法解一元二次方程
练一练：方程2x2+5x-3=0的解是(
)
A.x=3
B.x=-3
C.x1=-3,x2=
D.x=
C
随堂练习
1.一元二次方程2x2-x+1=0根的情况是（
）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
C
A
随堂练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实数根，则k的值为（
）
A.±2
B.±
C.2或3
D.
或
A
随堂练习
4.关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（
）
A.k≥0
B.k≤0
C.k＜0且k≠-1
D.k≤0且k≠-1
5.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m-1的图象不经过(
)
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
D
D
随堂练习
6.解方程：
（1）x2
+7x
–
18
=
0；
解
a＝1，b＝7，c＝－18.
∵
b
2
-
4ac
=7
2
–
4
×
1×
(-18
)
=121>0,
方程有两个不等的实数根.
即
x1
=
-9,
x2
=
2
.
随堂练习
6.解方程：
（2）（x
-
2)
(1
-
3x)
=
6；
解
去括号，化简为一般式，得
a＝3，b＝-7，c＝8.
3x2
-
7x
+
8
=
0
∵b2
-
4ac=(-7
)2
–
4
×
3
×
8
=
49–96
=
-
47
<
0,
∴原方程没有实数根.
课堂小结
公式法
根的判别式
ax2+bx+c=0（a≠0）
=b2-4ac
求根公式
用求根公式解方程
（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根.
（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根.
（3）当Δ<0时，方程无实数根.
1.化为一般形式
2.确定各项系数
3.计算Δ=b2-4ac
4.判断是否有实数根
5.代入求根公式求解
