第2课时 最大利润问题
知识要点基础练
知识点1 直接根据函数解析式求最大利润问题
1.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y=-2(x-20)2+980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是( B )
A.976元
B.978元
C.980元
D.982元
2.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为 35 元.?
3.(改编)某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=-x2+20x-75.
(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元?
解:(1)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,
∴当x=10时,y最大=25.
(2)根据题意,当y=21时,得-x2+20x-75=21,解得x1=8,x2=12,
∴当销售单价为8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元.
知识点2 先列函数解析式再求最大利润问题
4.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( D )
A.11元/支
B.12元/支
C.13元/支
D.14元/支
【变式拓展】某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是 55 人时,这个旅行社可以获得最大的营业额.?
5.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-4x+440.要获得最大利润,该商品的销售单价应定为多少元?
解:设销售该商品每月所获总利润为w元,
∴w=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22000=-4(x-80)2+3600,
∴当x=80时,w取得最大值,最大值为3600,
即销售单价定为80元时,销售该商品所获利润最大.
综合能力提升练
6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是( D )
A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大
B.每天的最大利润为1250元
C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元
D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元
7.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高 6 元.?
8.九年级数学兴趣小组经过市场调查,了解到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表.
售价(元/件)
100
101
102
103
…
月销量(件)
200
198
196
194
…
已知该运动服的进价为每件60元,设每件售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是 (x-60) 元,②月销量是 (-2x+400) 件.(直接写出结果)?
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?
解:(2)由题意,得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,
∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
9.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间满足y=-x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?
(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?
解:(1)W=-x2+10x+2(30-x)=-x2+8x+60.
(2)W=-x2+8x+60=-(x-8)2+92,∵a=-<0,∴当x=8时,W取最大值92,此时30-x=22,
∴在甲地销售8辆车,在乙地销售22辆车时W最大,W的最大值是92.
(3)甲地每辆车的平均销售利润为÷x=-x+10,∴-x+10≤2,解得x≥16.
∵W=-(x-8)2+92,a=-<0,
∴当x≥16时,W随x的增大而减小,
∴当x=16时,W最大,此时W=-×(16-8)2+92=60,
∴可获得的最大销售利润为60万元.
拓展探究突破练
10.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:
(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利 1 元;?
(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价-单株成本)
解:(2)设直线的解析式为y1=kx+b(k≠0),把点(3,5),(6,3)代入,得解得
∴直线的解析式为y1=-x+7.
设抛物线的解析式为y2=a(x-6)2+1,
把点(3,4)代入上式得4=a(3-6)2+1,解得a=,
∴抛物线的解析式为y2=(x-6)2+1,
∴y1-y2=-x+7-(x-6)2-1=-(x-5)2+.
∵-<0,∴x=5时,函数取得最大值,∴5月销售这种“多肉植物”,单株获利最大.第2课时 最大利润问题
知识要点基础练
知识点1 直接根据函数解析式求最大利润问题
1.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y=-2(x-20)2+980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是( )
A.976元
B.978元
C.980元
D.982元
2.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为 元.?
3.(改编)某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=-x2+20x-75.
(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元?
知识点2 先列函数解析式再求最大利润问题
4.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( )
A.11元/支
B.12元/支
C.13元/支
D.14元/支
【变式拓展】某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是 人时,这个旅行社可以获得最大的营业额.?
5.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-4x+440.要获得最大利润,该商品的销售单价应定为多少元?
综合能力提升练
6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是( )
A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大
B.每天的最大利润为1250元
C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元
D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元
7.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高 元.?
8.九年级数学兴趣小组经过市场调查,了解到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表.
售价(元/件)
100
101
102
103
…
月销量(件)
200
198
196
194
…
已知该运动服的进价为每件60元,设每件售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是
元,②月销量是 件.(直接写出结果)?
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?
9.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间满足y=-x2+10x,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?
(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?
拓展探究突破练
10.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:
(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利 元;?
(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价-单株成本)第2课时 最大利润问题
1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品的售价为x元,可卖出(350-10x)件,则该商品的利润y(元)与售价x(元/件)的函数关系为
(B)
A.y=-10x2-560x+7350
B.y=-10x2+560x-7350
C.y=-10x2+350x
D.y=-10x2+350x-7350
2.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件.已知这种商品每提高2元,其销量就要减少10件.为了使每天的利润最大,该商人应将销售价(为偶数)提高
(A)
A.8元或10元
B.12元
C.8元
D.10元
3.某电影院有1000个座位,若以每张3元销售门票,则可使电影院客满;若每张门票的价格提高x元,将有200x张门票不能售出.提价后每场电影的票房收入y(元)与提高的票价x(元)之间的关系式是 y=-200x2+400x+3000 .?
4.某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1.当商品单价为160元和200元时,能获得相同的利润.要使销售商品的利润最大,则销售单价应定为 180 元.?
5.天猫商城某网店销售一款蓝牙耳机,进价为100元.在元旦即将来临之际,开展了市场调查,当蓝牙耳机销售单价是180元时,平均每月的销售量是200件;若销售单价每降低2元,平均每月就可以多售出10件.
(1)设每件商品降价x元,该网店销售此款耳机平均每月获得的利润为y元,请写出y与x之间的函数关系式.
(2)该网店应该如何定价才能使得平均每月获得的利润最大,最大利润是多少元?
解:(1)由题意,得y=(180-100-x)(200+)=-5x2+200x+16000.
(2)∵a=-5<0,∴函数有最大值,当x=-=20时,y=18000,
答:网店应将这款蓝牙耳机的单价定为160元,才能使平均每月获得的利润最大,最大利润是18000元.(共14张PPT)
第2课时 最大利润问题
第二十二章 二次函数
知识点1 直接根据函数解析式求最大利润问题
1.商场销售某种品牌的电磁炉.在销售过程中,发现一周利润y(元)与每台销售价x(元)之间满足y=-2(x-20)2+980.由于某种原因,x的取值范围只能是15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是( )
A.976元
B.978元
C.980元
D.982元
2.某鞋帽专卖店销售一种绒帽,若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2+70x-800.要想获得最大利润,则销售单价应该定为__________元.?
B
35
3.(改编)某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=-x2+20x-75.
(1)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(2)当销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润为21元?
解:(1)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,
∴当x=10时,y最大=25.
(2)根据题意,当y=21时,得-x2+20x-75=21,解得x1=8,x2=12,
∴当销售单价为8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元.
知识点2 先列函数解析式再求最大利润问题
4.某品牌钢笔进价为8元/支,按10元/支出售时每天能卖出20支.市场调查发现如果每支每涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为( )
A.11元/支
B.12元/支
C.13元/支
D.14元/支
【变式拓展】某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团的人数每增加一人,每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是________人时,这个旅行社可以获得最大的营业额.?
D
55
5.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-4x+440.要获得最大利润,该商品的销售单价应定为多少元?
解:设销售该商品每月所获总利润为w元,
∴w=(x-50)(-4x+440)=-4x2+640x-22000=-4(x-80)2+3600,
∴当x=80时,w取得最大值,最大值为3600,
即销售单价定为80元时,销售该商品所获利润最大.
6.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.经过调查发现,销售单价每降低5元,每天可多售出10件,下列说法错误的是( )
A.销售单价降低15元时,每天获得利润最大
B.每天的最大利润为1250元
C.若销售单价降低10元,则每天的利润为1200元
D.若每天的利润为1050元,则销售单价一定降低了5元
D
7.某旅行社有100张床位,每张床位每晚收费10元时,客床可全部租出.若每张床位每晚收费提高2元,则减少10张床位的租出;若每张床位每晚收费再提高2元,则再减少10张床位的租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每张床位每晚的收费应提高__________元.?
6
8.九年级数学兴趣小组经过市场调查,了解到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表.
已知该运动服的进价为每件60元,设每件售价为x元.
(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润是__________元,②月销量是__________件.(直接写出结果)?
(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?
(x-60)
(-2x+400)
解:(2)由题意,
得y=(x-60)(-2x+400)=-2x2+520x-24000=-2(x-130)2+9800,
∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.
9.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车,已知在甲地的总销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间满足
,在乙地每销售一辆汽车可获得2万元的销售利润.若该公司在甲、乙两地共销售30辆该品牌的汽车,甲、乙两地总的销售利润为W万元,其中在甲地销售x辆.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)甲、乙两地各销售多少辆车时W最大?W的最大值是多少?
(3)为了开拓甲地市场,公司规定甲地平均每辆汽车的销售利润不高于2万元,那么公司销售这30辆汽车可获得的最大销售利润是多少?
∴当x=8时,W取最大值92,此时30-x=22,
∴在甲地销售8辆车,在乙地销售22辆车时W最大,W的最大值是92.
10.小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:
(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利__________元;?
(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种“多肉植物”,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价-单株成本)
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