2011-2020年高考物理试卷分类汇编之051c.带电粒子在磁场中的圆周运动(下)（含答案及解析）

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第51c节 带电粒子在磁场中的圆周运动（下）
1.2019年海南卷9.如图，虚线MN的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的粒子P、Q从磁场边界的M点先后射入磁场，在纸面内运动。射入磁场时，P的速度vP垂直于磁场边界，Q的速度vQ与磁场边界的夹角为45°。已知两粒子均从N点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则（ ）
A. P和Q的质量之比为1：2
B. P和Q的质量之比为
C. P和Q速度大小之比为
D. P和Q速度大小之比为2：1
答案：AC
解析：画出粒子在磁场中的轨迹示意图如答图示，
粒子P运动的圆心在O，半径为r，运动半个周期，
粒子Q运动的圆心在O'，半径为R，运动周期，
由洛伦兹力提供向心力有 ，
得
两粒子在磁场中运动的时间相同，即，解得，选项A正确B错误；
由几何关系得 ，即，解得，选项D错误C正确。
2.2019年全国卷Ⅱ 17.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
答案：B
解析：a点射出粒子半径，得： ，
d点射出粒子半径为 ，R=
故vd= =，故B选项符合题意。
3.2019年全国卷I 24.（12分）
如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
解：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。
由动能定理有 ①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛领第二定律有 ②
由几何关系知d=r ③
联立①②③式得
④
（2）由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为 ⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为 ⑥
联立②④⑤⑥式得 ⑦
4.2019年全国卷Ⅲ18.如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为
A. B.
C. D.
答案：B
解析：运动轨迹如图:
即运动由两部分组成，第一部分是个周期，第二部分是个周期，
故选B 。
5.2020年天津卷7．如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。则
A．粒子带负电荷
B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D．N与O点相距
【答案】AD
【解析】A．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y轴正方向的夹角，根据几何关系可知
，
则粒子运动的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得，BC错误；
D．与点的距离为 ，D正确。
故选AD。
6.2019年北京卷16.如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是
A. 粒子带正电
B. 粒子在b点速率大于在a点速率
C. 若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点右侧射出
D. 若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
答案：C
解析：由题可知，粒子向下偏转，根据左手定则，所以粒子应带负电，故A错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；
若仅减小磁感应强度，由公式得： 所以磁感应强度减小，半径增大，所以粒子有可能从b点右侧射出，故C正确； 若仅减小入射速率，粒子运动半径 ，在磁场中运动的偏转角θ增大，由公式及可知，则粒子在磁场中运动时间一定变长，故D错误。
7.2018年海南卷13．（10分）如图，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，。一质量为m、电荷量为q（）的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
解：（1）如图，PMON为粒子运动轨迹的一部分，圆弧PM为粒子在磁场中运动的轨迹，C为圆心，半径为R；MON为圆O的直径，。粒子在圆O内沿MON做匀速直线运动，由几何关系知
①
由上式和题给条件得
②
（2）设粒子在磁场中运动的速度大小为，由洛仑兹力公式和牛顿定律有
③
由题意，粒子在圆形区域内运动的距离为
④
设粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间为，由运动学公式有
⑤
联立②③④⑤式得
⑥
8.2020年江苏卷23.空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔；
(3)乙的比荷可能的最小值。
【答案】(1)； (2)； (3)
【解析】】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得，
，
Q、O的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期，
所以，再次经过P点的时间为
由匀速圆周运动的规律得，
绕一周的时间为：
解得：
所以，再次经过P点的时间为
两次经过P点时间间隔为：
解得：
(3)由洛伦兹力提供向心力，由 得，
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则：
结合以上式子，n无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q点相遇，则：
计算可得（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷最小，为
9.2020年新课标Ⅲ卷18．（6分）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（　　）
A． B． C． D．
答案：C
解析：当电子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，电子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，
电子的运动轨迹如图，
令电子的半径为r，根据几何知识有，
所以电子的最大半径为，
因为，所以，
则磁感应强度的最小值为，故ABD错误，C正确。
故选：C。
10.2020年新课标Ⅱ卷24．（12分）如图，在0≤x≤h，﹣∞＜y＜+∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
答案：（1）磁场的方向垂直于纸面向里， ； （2）30°， （2﹣）h。
解：（1）根据题意可知，粒子进入磁场时受到竖直向上的洛伦兹力，因此根据左手定则可知，磁场的方向垂直于纸面向里；
设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动的规律有：①
由此可得： ②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴的正半轴，半径应满足R≤h ③，由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的半径最大，由此可得： ④；
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为 ⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系
⑥
即 ⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得 ⑨
11.2020年新课标Ⅰ卷5.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动 ，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。
当半径和时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。
当0.5R粒子运动最长时间为 ,
故选C。
12.2020年浙江卷22.（10分）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
.解：(1)离子在磁场中做圆周运动，得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得
，
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O'，从磁场边界HG边射出时距离H点的距离为x，
由几何关系可得
即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别与竖直方向的夹角为β、，
由几何关系可得 β=
探测到三束离子，则c束中离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界的距离最大，
则
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量
当时，所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当时， 只有b和c束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当时， 只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
13.2018年全国卷III、24．（12分）如图,从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为,并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
解：（1）设甲种离子所带电荷量为、质量为，在磁场中做匀速圆周运动的半径为，磁场的磁感应强度大小为，由动能定理有
①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 ②
由几何关系知 ③
由①②③式得 ④
（2）设乙种离子所带电荷量为、质量为，射入磁场的速度为，在磁场中做匀速圆周运动的半径为。同理有 ⑤
⑥
由题给条件有 ⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为 ⑧
14.2019年江苏卷23.如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离dm；
（3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，QN=，求粒子从P到Q的运动时间t．
答案：（1）；（2）；
（3）A.当时， ，
B.当时，
解析：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有：，解得：
由题意可得： ，解得；
（2）如右图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°）
解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
如右图所示，
A.当时，粒子斜向上射出磁场
， 解得
B.当时，粒子斜向下射出磁场
， 解得 。
15.2015年江苏卷15. (16 分)一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为+q、质量不同的离子飘入电压为 U0的加速电场，其初速度几乎为零。 这些离子经加速后通过狭缝 O 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场，最后打在底片上。 已知放置底片的区域 MN = L，且 OM = L。某次测量发现 MN 中左侧 区域 MQ 损坏，检测不到离子，但右侧 区域 QN 仍能正常检测到离子. 在适当调节加速电压后，原本打在 MQ 的离子即可在 QN 检测到。
(1)求原本打在 MN 中点P的离子质量 m；
(2)为使原本打在 P 的离子能打在 QN 区域，求加速电压 U 的调节范围；
(3)为了在 QN 区域将原本打在 MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节 U 的最少次数. (取 lg2 = 0. 301，lg3 = 0. 477，lg5 = 0. 699)
答案：（1） （2） （3）3次
解析：（1）离子在电场中加速：
在磁场中做匀速圆周运动：
解得：
代入，解得
（2）由（1）知， 离子打在Q点，，
离子打在N点，，，
则电压的范围
（3）由（1）知，
由题意知，第1次调节电压到U1，使原本Q点的离子打在N点，
此时，原本半径为r1的打在Q1的离子打在Q上
解得
第2次调节电压到U2，使原本Q1点的离子打在N点，原本半径为r2的打在Q2的离子打在Q上，则 ， 解得
同理第n次调节电压，有 ，
检测完整，有，解得
最少次数为3次。
16.2015年理综山东卷24．（20分）如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域（Ⅰ区）和小圆内部（Ⅱ区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔。一质量为m电量为+q的粒子由小孔下方d/2?处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆内侧射入磁场。不计粒子的重力。
（1）求极板间电场强度的大小；
（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；
（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为、，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程。
【答案】（1） （2）或 （3）5.5πD
解析：（1）粒子在电场中，由动能定理，解得
（2）若粒子的运动轨迹与小圆相切，如图甲示，则当内切时，半径为，
由
解得，
当外切时，半径为，由解得
（3）若Ⅰ区域的磁感应强度为，则粒子运动的半径为；
Ⅱ区域的磁感应强度为，则粒子运动的半径为；
设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T1、T2，由运动公式可得：
；
据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对的圆心角相同，设为，Ⅱ区内圆弧所对圆心角为，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角设为，由几何关系可得：；；
粒子重复上述交替运动回到H点，轨迹如图丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t1、t2，可得：；
设粒子运动的路程为s，由运动公式可知：s=v(t1+t2)
联立上述各式可得：s=5.5πD
17. 2018年江苏卷15．（16分）如图所示，真空中四个相同的矩形匀强磁场区域，高为4d，宽为d，中间两个磁场区域间隔为2d，中轴线与磁场区域两侧相交于O、O′点，各区域磁感应强度大小相等．某粒子质量为m、电荷量为+q，从O沿轴线射入磁场．当入射速度为v0时，粒子从O上方处射出磁场．取sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求磁感应强度大小B；
（2）入射速度为5v0时，求粒子从O运动到O′的时间t；
（3）入射速度仍为5v0，通过沿轴线OO′平移中间两个磁场（磁场不重叠），可使粒子从O运动到O′的时间增加Δt，求Δt的最大值。
解：（1）粒子圆周运动的半径 由题意知，解得
（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为α
由d=rsinα，得sinα=，即α=53°
在一个矩形磁场中的运动时间，解得
直线运动的时间，解得
则
（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x
粒子向上的偏移量y=2r（1–cosα）+xtanα
由y≤2d，解得
则当xm=时，Δt有最大值
粒子直线运动路程的最大值
增加路程的最大值
增加时间的最大值
18. 2014年理综山东卷
24、（20分）如图甲所示，间距为d垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t=0时刻入射的粒子经时间恰能垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、d、v0为已知量。
（1）若，求B0；
（2）若，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
（3）若，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。
【解析】（1）设粒子做圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得
①
据题意由几何关系得
②
联立①②式得
③
（2）若，垂直打在P板上,如图示。设粒子做圆周运动的半径为R2，加速度大小为a，由圆周运动公式得：
④
据题意由几何关系得
⑤
联立④⑤式得
⑥
（3）设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得
⑦
由牛顿第二定律得
⑧
由题意知，代入⑧式得
⑨
粒子运动轨迹如图所示，O1、O2为圆心，O1O2连线与水平方向夹角为，在第个TB内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且均要求，由题意可知
⑩
设经历整个完整TB的个数为n（n=0、1、2、3……）
若在A点击中P板，据题意由几何关系得
⑾
当n=0时，无解 ⑿
当n=1时，联立⑨式得
⒀
联立⑦⑨⑩式得
⒁
当时，不满足的要求 ⒂
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
⒃
当n=0时，无解
当n=1时，联立⑨⒃式得

联立⑦⑨⑩式得

当时，不满足的要求
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