21.1 一元二次方程
知识要点基础练
知识点1 一元二次方程的概念
1.(原创)下列方程中是一元二次方程的是( C )
A.5x-3=0
B.-x=2
C.x2+1=3
D.4y2+2x=1
2.已知方程(a-2)x2+ax+b=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是( B )
A.a≠0
B.a≠2
C.a=2
D.a=0
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.(原创)一元二次方程4x2+2x=3的二次项系数和常数项分别为( B )
A.4和3
B.4和-3
C.2和-3
D.2和3
4.一元二次方程x(x-1)=2(1-x)的一般形式是 x2+x-2=0 .?
知识点3 一元二次方程根的定义
5.(原创)若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解,则下列各式一定成立的是( C )
A.a+b+c=1
B.a+b+c=0
C.a-b+c=0
D.a-b+c=1
知识点4 分析实际问题列一元二次方程
6.(大连中考)如图,有一张矩形纸片,长10
cm,宽6
cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32
cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是x
cm,根据题意可列方程为( B )
A.10×6-4×6x=32
B.(10-2x)(6-2x)=32
C.(10-x)(6-x)=32
D.10×6-4x2=32
综合能力提升练
7.(改编)如果(m-3)x|m-1|+mx-1=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为( C )
A.3或-1
B.3
C.-1
D.以上都不正确
8.若关于x的一元二次方程(x+2)2=a(2x+1)中不含常数项,则a的值是( C )
A.3
B.-3
C.4
D.-4
9.已知两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0,其中a,b,c是常数,且a+c=0.如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根,那么下列各数中,一定是方程cx2+bx+a=0的根的是( D )
A.±2
B.-
C.2
D.-2
10.(乌鲁木齐中考)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10
890元?设房价定为x元,则有( B )
A.(180+x-20)=10
890
B.(x-20)=10
890
C.x-50×20=1
0890
D.(x+180)-50×20=1
0890
11.(原创)若a是方程3x2+2x=1的一个根,则9a2+6a的值为 3 .?
12.(原创)已知a是方程x2-2020x+1=0的一个根,则a3-2020a2-= -2
020 .?
13.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是 -1 .?
【变式拓展】当m= 3 时,关于x的一元二次方程(m+3)x2-(m2-9)x+m+2=0的一次项系数为零.?
14.(原创)为了激发学生的爱国热情,提高学生的文化素养,我校开展以“弘扬中华优秀传统文化”为主题的知识竞赛活动.第一轮比赛规定每两个队之间都要比赛一场,这样一共进行了28场比赛.设第一轮比赛一共有x个队参赛,根据题意,可列方程为?x(x-1)=28 .?
15.已知关于x的一元二次方程2xa-3xb-5=0,试写出所有满足要求的a,b的值.
解:根据题意,得
16.定义新运算:m,n是实数,m
n=m(2n-1).若m,n是方程2x2-x+k=0(k<0)的两个根,求m
m-n
n的值.
解:∵m,n是方程2x2-x+k=0(k<0)的两个根,∴2m2-m+k=0,2n2-n+k=0,即2m2-m=-k,2n2-n=-k,
∴m
m-n
n=m(2m-1)-n(2n-1)=2m2-m-(2n2-n)=-k-(-k)=0.
17.(改编)某服装店销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了减少库存,商店采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装的利润为1000元,那么每件童装应降价多少元?(列方程,并化为一般形式)
解:设每件童装应降价x元.
根据题意,可列方程为(30+3x)(40-x)=1000,整理得3x2-90x-200=0.
拓展探究突破练
18.阅读材料:
已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.把x=代入已知方程,得-1=0,化简得y2+2y-4=0,所以所求方程为y2+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”.
利用阅读材料提供的“换根法”求:
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数;
(2)已知方程x2+3x-5=0,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1.
解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y.
把x=-y代入已知方程,得(-y)2+(-y)-2=0,化简得y2-y-2=0,
所以所求方程为y2-y-2=0.
(2)设所求方程的根为y,则y=x+1,所以x=y-1.
把x=y-1代入已知方程,得(y-1)2+3(y-1)-5=0,化简得y2+y-7=0,
所以所求方程为y2+y-7=0.21.1 一元二次方程
知识要点突破练
知识点1 一元二次方程的概念
1.(原创)下列方程中是一元二次方程的是( )
A.5x-3=0
B.-x=2
C.x2+1=3
D.4y2+2x=1
2.已知方程(a-2)x2+ax+b=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是( )
A.a≠0
B.a≠2
C.a=2
D.a=0
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.(原创)一元二次方程4x2+2x=3的二次项系数和常数项分别为( )
A.4和3
B.4和-3
C.2和-3
D.2和3
4.一元二次方程x(x-1)=2(1-x)的一般形式是
.?
知识点3 一元二次方程根的定义
5.(原创)若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解,则下列各式一定成立的是( )
A.a+b+c=1
B.a+b+c=0
C.a-b+c=0
D.a-b+c=1
知识点4 分析实际问题列一元二次方程
6.(大连中考)如图,有一张矩形纸片,长10
cm,宽6
cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32
cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是x
cm,根据题意可列方程为( )
A.10×6-4×6x=32
B.(10-2x)(6-2x)=32
C.(10-x)(6-x)=32
D.10×6-4x2=32
综合能力提升练
7.(改编)如果(m-3)x|m-1|+mx-1=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为( )
A.3或-1
B.3
C.-1
D.以上都不正确
8.若关于x的一元二次方程(x+2)2=a(2x+1)中不含常数项,则a的值是( )
A.3
B.-3
C.4
D.-4
9.已知两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0,其中a,b,c是常数,且a+c=0.如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根,那么下列各数中,一定是方程cx2+bx+a=0的根的是( )
A.±2
B.-
C.2
D.-2
10.(乌鲁木齐中考)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10
890元?设房价定为x元,则有( )
A.(180+x-20)=10
890
B.(x-20)=10
890
C.x-50×20=1
0890
D.(x+180)-50×20=1
0890
11.(原创)若a是方程3x2+2x=1的一个根,则9a2+6a的值为 .?
12.(原创)已知a是方程x2-2020x+1=0的一个根,则a3-2020a2-=
.?
13.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是
.?
【变式拓展】当m= 时,关于x的一元二次方程(m+3)x2-(m2-9)x+m+2=0的一次项系数为零.?
14.(原创)为了激发学生的爱国热情,提高学生的文化素养,我校开展以“弘扬中华优秀传统文化”为主题的知识竞赛活动.第一轮比赛规定每两个队之间都要比赛一场,这样一共进行了28场比赛.设第一轮比赛一共有x个队参赛,根据题意,可列方程为?
.?
15.已知关于x的一元二次方程2xa-3xb-5=0,试写出所有满足要求的a,b的值.
16.定义新运算:m,n是实数,m
n=m(2n-1).若m,n是方程2x2-x+k=0(k<0)的两个根,求m
m-n
n的值.
17.(改编)某服装店销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了减少库存,商店采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装的利润为1000元,那么每件童装应降价多少元?(列方程,并化为一般形式)
拓展探究突破练
18.阅读材料:
已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.把x=代入已知方程,得-1=0,化简得y2+2y-4=0,所以所求方程为y2+2y-4=0.这种利用方程根的代换求新方程的方法叫做“换根法”.
利用阅读材料提供的“换根法”求:
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数;
(2)已知方程x2+3x-5=0,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1.第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1.下列方程是一元二次方程的是
(A)
A.x2=2x+3
B.x2+1=2xy
C.x2+=3
D.2x+y=1
2.将关于x的一元二次方程x(x+2)=5化成一般式后,a,b,c的值分别是
(D)
A.1,2,5
B.1,-2,-5
C.1,-2,5
D.1,2,-5
3.若关于x的方程2xm-2=5是一元二次方程,则m的值为 4 .?
4.若关于x的方程x2+5x-m=0的一个根是-2,则m= -6 .?
5.如果关于x的方程(m-3)x|m-1|-x+3=0是一元二次方程,则m的值为 -1 .?
6.将4个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖线,记成,定义=ad-bc.上述记法就叫做二阶行列式,那么=22表示的方程是一元二次方程吗?请写出它的一般形式.
解:根据题意,得(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22,
整理,得2x2+2x-x2+4=22,即x2+2x-18=0,
它是一元二次方程,一般形式为x2+2x-18=0.(共14张PPT)
21.1 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
知识点1 一元二次方程的概念
1.(原创)下列方程中是一元二次方程的是( )
2.已知方程(a-2)x2+ax+b=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是( )
A.a≠0
B.a≠2
C.a=2
D.a=0
C
B
知识点2 一元二次方程的一般形式
3.(原创)一元二次方程4x2+2x=3的二次项系数和常数项分别为( )
A.4和3
B.4和-3
C.2和-3
D.2和3
4.一元二次方程x(x-1)=2(1-x)的一般形式是_______________.
B
x2+x-2=0
知识点3 一元二次方程根的定义
5.(原创)若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解,则下列各式一定成立的是( )
A.a+b+c=1
B.a+b+c=0
C.a-b+c=0
D.a-b+c=1
C
知识点4 分析实际问题列一元二次方程
6.(大连中考)如图,有一张矩形纸片,长10
cm,宽6
cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32
cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是x
cm,根据题意可列方程为( )
A.10×6-4×6x=32
B.(10-2x)(6-2x)=32
C.(10-x)(6-x)=32
D.10×6-4x2=32
B
7.(改编)如果(m-3)x|m-1|+mx-1=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为( )
A.3或-1
B.3
C.-1
D.以上都不正确
8.若关于x的一元二次方程(x+2)2=a(2x+1)中不含常数项,则a的值是( )
A.3
B.-3
C.4
D.-4
C
C
9.已知两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0,其中a,b,c是常数,且a+c=0.如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根,那么下列各数中,一定是方程cx2+bx+a=0的根的是( )
D
10.(乌鲁木齐中考)宾馆有50间房供游客居住,当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价定为x元,则有( )
B
11.(原创)若a是方程3x2+2x=1的一个根,则9a2+6a的值为__________.?
13.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是__________.?
【变式拓展】当m=______时,关于x的一元二次方程(m+3)x2-(m2-9)x+m+2=0的一次项系数为零.?
3
-2020
-1
3
14.(原创)为了激发学生的爱国热情,提高学生的文化素养,我校开展以“弘扬中华优秀传统文化”为主题的知识竞赛活动.第一轮比赛规定每两个队之间都要比赛一场,这样一共进行了28场比赛.设第一轮比赛一共有x个队参赛,根据题意,可列方程为____________________.?
15.已知关于x的一元二次方程2xa-3xb-5=0,试写出所有满足要求的a,b的值.
16.定义新运算:m,n是实数,m
n=m(2n-1).若m,n是方程2x2-x+k
=0(k<0)的两个根,求m
m-n
n的值.
解:∵m,n是方程2x2-x+k=0(k<0)的两个根,
∴2m2-m+k=0,2n2-n+k=0,即2m2-m=-k,2n2-n=-k,
∴m
m-n
n=m(2m-1)-n(2n-1)=2m2-m-(2n2-n)=-k-(-k)=0.
17.(改编)某服装店销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.为了减少库存,商店采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装的利润为1000元,那么每件童装应降价多少元?(列方程,并化为一般形式)
解:设每件童装应降价x元.
根据题意,可列方程为(30+3x)(40-x)=1000,
整理得3x2-90x-200=0.
18.阅读材料:
已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数;
(2)已知方程x2+3x-5=0,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1.
解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x,所以x=-y.
把x=-y代入已知方程,得(-y)2+(-y)-2=0,化简得y2-y-2=0,
所以所求方程为y2-y-2=0.
(2)设所求方程的根为y,则y=x+1,所以x=y-1.
把x=y-1代入已知方程,得(y-1)2+3(y-1)-5=0,化简得y2+y-7=0,
所以所求方程为y2+y-7=0.
