21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识要点基础练
知识点1 利用根与系数的关系直接求根
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为( A )
A.-4
B.2
C.4
D.-3
【变式拓展】若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则这个方程的另一个根是( B )
A.
B.-
C.1
D.-1
2.(原创)已知-5是一元二次方程x2+mx-10=0的一个根,则方程的另一个根是 2 .?
知识点2 利用根与系数的关系求方程中所含字母的值
3.(改编)已知一元二次方程x2+6x+c=0的一个根为-2,则c的值是( D )
A.-8
B.4
C.-4
D.8
4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-5=0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.
解:将x=1代入方程得,1+a+a-5=0,解得a=2.
由根与系数的关系可知,该方程的另一个根为-3.
知识点3 利用根与系数的关系求两根组成的代数式的值
5.设m,n分别为一元二次方程4x2+2x-1=0的两个实数根,则m+n+mn的值为( A )
A.-
B.
C.-
D.
6.(原创)设a,b是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根,则a2+2a-3b的值为( D )
A.-12
B.12
C.-18
D.18
综合能力提升练
7.(改编)已知α,β是方程x2+2
020x+1=0的两个根,则(1+2
022α+α2)(1+2
022β+β2)的值为( D )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( B )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
9.设a,b是方程x2-8x+4=0的两个根,则的值为( C )
A.18
B.
C.2
D.±3
10.(原创)关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是( D )
A.-2
B.2
C.-5
D.5
11.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为 1 .?
12.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是 3 .?
13.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是 4 .?
14.已知(x≠y),求的值.
解:∵(x≠y),
∴x,y可看作方程t2+3t-4=0的两个根,
∴x+y=-3,xy=-4,∴=-.
15.已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0,
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.
解:(1)由题意得Δ=(2m)2-4(m+1)(m-3)=8m+12,要使方程有两个不相等的实数根,需要Δ>0,即8m+12>0,解得m>-且m≠-1.
(2)∵方程有一个根为零,∴m-3=0,解得m=3.∴另一个根为x=-,∴x=-.
16.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?
解:(1)由题意得Δ>0,
∴(2k-1)2-4(k2+3)>0,解得k<-.
(2)令方程的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=1-2k,x1·x2=k2+3.
∵此方程的两个根分别是某直角三角形的两条直角边长,且此直角三角形的斜边长为5,
∴=52,∴(x1+x2)2-2x1·x2=25,
∴(1-2k)2-2(k2+3)=25,即k2-2k-15=0,
解得k1=5,k2=-3.∵k<-,∴k=-3.
把k=-3代入原方程得到x2-7x+12=0,
解得x1=3,x2=4,
∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.
拓展探究突破练
17.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
解:(1)不是.
理由:解方程x2+x-12=0,得x1=3,x2=-4.
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5.
∵3.5不是整数,∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.
(2)存在.
理由:∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是“偶系二次方程”,∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,-27=36m+n.
∵x2=0是“偶系二次方程”,∴n=0,∴m=-,
∴c=-b2.
∵x2+3x-=0是“偶系二次方程”,
当b=3时,c=-×32=-.∴可设c=-b2.
对于任意一个整数b,c=-b2时,Δ=b2-4ac=4b2.
x=,∴x1=-b,x2=b,∴|x1|+|x2|=2|b|,
∵b是整数,
∴对于任何一个整数b,当c=-b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识要点基础练
知识点1 利用根与系数的关系直接求根
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为( )
A.-4
B.2
C.4
D.-3
【变式拓展】若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则这个方程的另一个根是( )
A.
B.-
C.1
D.-1
2.(原创)已知-5是一元二次方程x2+mx-10=0的一个根,则方程的另一个根是 .?
知识点2 利用根与系数的关系求方程中所含字母的值
3.(改编)已知一元二次方程x2+6x+c=0的一个根为-2,则c的值是( )
A.-8
B.4
C.-4
D.8
4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-5=0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.
知识点3 利用根与系数的关系求两根组成的代数式的值
5.设m,n分别为一元二次方程4x2+2x-1=0的两个实数根,则m+n+mn的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
6.(原创)设a,b是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根,则a2+2a-3b的值为( )
A.-12
B.12
C.-18
D.18
综合能力提升练
7.(改编)已知α,β是方程x2+2
020x+1=0的两个根,则(1+2
022α+α2)(1+2
022β+β2)的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
9.设a,b是方程x2-8x+4=0的两个根,则的值为( )
A.18
B.
C.2
D.±3
10.(原创)关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是( )
A.-2
B.2
C.-5
D.5
11.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为 .?
12.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是 .?
13.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是 .?
14.已知(x≠y),求的值.
15.已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0,
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.
16.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?
拓展探究突破练
17.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-=0,x2+6x-27=0,x2+4x+4=0都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1.方程x2-x+2=0的根的情况是
(C)
A.两实数根的积为2
B.两实数根的和为1
C.没有实数根
D.有两个不相等的实数根
2.关于x的方程x2-mx-4=0的一个根是x1=3,则它的另一个根x2是
(C)
A.3
B.
C.-
D.
3.一元二次方程的x2+2x-10=0两根之和为 -2 .?
4.关于x的方程x2-6x+3=0的两根分别是x1和x2,则+= 2 .?
5.已知关于x的方程(m-2)x2+x-2=0.
(1)若方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若方程的两实数根为x1,x2,且+=5,求m的值.
解:(1)当m-2≠0时,Δ=1+8(m-2)≥0,∴m≥且m≠2,当m-2=0时,方程为x-2=0,符合题意.
综上所述,m≥.
(2)由根与系数的关系可知x1+x2=-,x1x2=-.∵+=-2x1x2=5,
∴+=5,∴=1或=-5,∴m=3或m=(舍去).(共14张PPT)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章 一元二次方程
知识点1 利用根与系数的关系直接求根
1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为(
)
A.-4
B.2
C.4
D.-3
A
B
【变式拓展】若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则这个方程的另一个根是(
)
2.(原创)已知-5是一元二次方程x2+mx-10=0的一个根,则方程的另一个根是__________.?
2
知识点2 利用根与系数的关系求方程中所含字母的值
3.(改编)已知一元二次方程x2+6x+c=0的一个根为-2,则c的值是( )
A.-8
B.4
C.-4
D.8
4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a-5=0,若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一个根.
D
解:将x=1代入方程得,1+a+a-5=0,解得a=2.
由根与系数的关系可知,该方程的另一个根为-3.
知识点3 利用根与系数的关系求两根组成的代数式的值
5.设m,n分别为一元二次方程4x2+2x-1=0的两个实数根,则m+n+mn的值为( )
6.(原创)设a,b是一元二次方程x2+5x-3=0的两个根,则a2+2a-3b的值为( )
A.-12
B.12
C.-18
D.18
A
D
7.(改编)已知α,β是方程x2+2020x+1=0的两个根,则(1+2022α+α2)(1+2022β+β2)的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为( )
A.2
B.0
C.1
D.2或0
D
B
10.(原创)关于x的一元二次方程2x2+4x-7=0和x2-7x+5=0中所有的实数根之和是( )
A.-2
B.2
C.-5
D.5
C
D
11.若关于x的方程x2=P的两个根分别为m+1和m-1,则P的值为__________.?
12.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2=0有两个实数根,且满足x1+x2=m2,则m的值是__________.?
13.已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2-10x+9
=0的两个实数根,则这个直角三角形的斜边长是__________.?
1
3
4
15.已知关于x的一元二次方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0,
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若方程有一个根为零,求m的值及另一个根.
16.已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2+3=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)如果此直角三角形的斜边长是5,求它的两条直角边长分别是多少?
17.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|
=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,
x2+6x-27=0,x2+4x+4=0
都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
解:(1)不是.
理由:解方程x2+x-12=0,得x1=3,x2=-4.
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5.
∵3.5不是整数,∴x2+x-12=0不是“偶系二次方程”.
(2)存在.
理由:∵x2-6x-27=0和x2+6x-27=0是“偶系二次方程”,
∴假设c=mb2+n,
当b=-6,c=-27时,-27=36m+n.
