人教版九年级数学上册同步练习：21.2.3 因式分解法（word版，含答案）

21．2.3　因式分解法
1．方程x(x－4)＋x－4＝0的解是(　　)
A．x＝4
B．x＝－4
C．x＝－1
D．x1＝4，x2＝－1
2．计算整式3x－5与x＋3的积得3x2＋4x－15，则一元二次方程3x2＋4x－15＝0的根是(　　)
A．x1＝，x2＝3
B．x1＝，x2＝－3
C．x1＝－，x2＝3
D．x1＝－，x2＝－3
3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(　　)
A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2x－2＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
4．解一元二次方程5x2－2x＝0时，最合适的解法是(　　)
A．直接开平方法
B．配方法
C．公式法
D．因式分解法
5．解下列方程：①3x2－27＝0；②2x2－3x－1＝0；③x2－5x＋2＝0；④2(3x－1)2＝3x－1.较简便的方法是(　　)
A．依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B．依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C．①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D．①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
6．
若实数x，y满足(x2＋y2＋3)·(x2＋y2－3)＝0，则x2＋y2的值为________．
7．若定义一种新运算：a@b＝a2－b，则方程(x－1)@2x＝－3的解是__________．
8．方程x2－9x＋18＝0的两个根分别是等腰三角形的底边长和腰长，则这个等腰三角形的周长为________．
9．若一元二次方程(x－4)2＝x－4的两个根是等腰三角形的两条边长，则这个等腰三角形的周长为________．
10．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4＝0;
(2)y2－4y＝－4；
(3)9t2－(t－1)2＝0;
(4)2(x＋2)2＝x(x＋2)；
(5)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
11．阅读下列材料，解答问题：
解方程：(2x－5)2＋(3x＋7)2＝(5x＋2)2.
解：设m＝2x－5，n＝3x＋7，则m＋n＝5x＋2，原方程可化为m2＋n2＝(m＋n)2，所以mn＝0，即(2x－5)(3x＋7)＝0，解得x1＝，x2＝－.
请利用上述方法解方程：(4x－5)2＋(3x－2)2＝(x－3)2.
12．已知a>1，且关于x的方程(ax－2)(x－2a＋1)＝0的一个根为x＝3.
(1)求a的值及方程的另一个根；
(2)如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
易错警示(10题)
不要漏掉三边相等的情况.
13．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x＋1＝0；
(2)2x2－7x－3＝0;
(3)x2－6x＋9＝7x－21.
14．由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)·(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：
x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
方法点拨(14题)
(1)二次项系数是1的二次三项式使用十字相乘法分解因式的方法：先将常数项分解成两个数的乘积形式，再观察哪两个数的和恰好等于一次项系数.
(2)对于二次项系数为1的一元二次方程，若一次项系数能写成两个数的和，且常数项恰好是这两个数的积，则这两个数的相反数就是这个一元二次方程的两个根．
15．探究下表中的规律，并填空.
一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
x2－2x＋1＝0
x1＝1，x2＝1
x2－2x＋1＝(x－1)(x－1)
x2－3x＋2＝0
x1＝1，x2＝2
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)
3x2＋x－2＝0
x1＝，x2＝－1
3x2＋x－2＝3(x＋1)
2x2＋5x＋2＝0
x1＝－，x2＝－2
2x2＋5x＋2＝2(x＋2)
4x2＋13x＋3＝0
x1＝______，
x2＝______
4x2＋13x＋3＝4(x＋
______)(x＋______)
对于一般的二次三项式ax2＋bx＋c(b2－4ac≥0)，用你发现的结论对其进行因式分解．
模型建立(15题)
若已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则可以利用这两个根将二次三项式ax2＋bx＋c分解为ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2).
答案
1．D
2．B　3．A　4．D
5．C　
6．3
7．x1＝x2＝2
8．15
9．13或14　
10．解：(1)x1＝2，x2＝－2.(2)y1＝y2＝2.
(3)t1＝－，t2＝.
(4)原方程可变形为2(x＋2)2－x(x＋2)＝0，
∴(x＋2)(x＋4)＝0，
∴x＋2＝0或x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝－4.
(5)原方程可变形为(x＋2－5)2＝0，
即(x－3)2＝0，∴x－3＝0，解得x1＝x2＝3.
11．解：设m＝4x－5，n＝3x－2，则m－n＝(4x－5)－(3x－2)＝x－3，
原方程可化为m2＋n2＝(m－n)2，整理得mn＝0，
即(4x－5)(3x－2)＝0，
解得x1＝，x2＝.
12．解：(1)把x＝3代入原方程，得(3a－2)(3－2a＋1)＝0，所以3a－2＝0或3－2a＋1＝0，
解得a＝(舍去)或a＝2.
把a＝2代入原方程，可得(2x－2)(x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝3，则方程的另一个根是x＝1.
(2)由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
①三边相等，边长为1，1，1或3，3，3，
那么这个三角形的周长是3或9；
②仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，
所以这个三角形的三边长只能为3，3，1，
那么这个三角形的周长是7.
综上，这个三角形的周长是3或7或9.
13．解：(1)x2－4x＋1＝0，x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3，
开平方，得x－2＝±，
即x1＝2＋，x2＝2－.
(2)在此方程中a＝2，b＝－7，c＝－3，
Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×2×(－3)＝73＞0，
∴x＝，即x1＝，x2＝.
(3)原方程可变形为(x－3)2＝7(x－3)，
∴(x－3)(x－3－7)＝0，解得x1＝3，x2＝10.
14．解：(1)x2＋6x＋8＝x2＋(2＋4)x＋2×4＝(x＋2)(x＋4)．故答案为2，4.
(2)∵x2－3x－4＝0，∴(x＋1)(x－4)＝0，则x＋1＝0或x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.
15．解：表中依次填：－，－3，，3.
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两根为x1＝，
x2＝，
则二次三项式ax2＋bx＋c(b2－4ac≥0)可进行因式分解：ax2＋bx＋c＝a(x－)(x－
)．