(共39张PPT)
3．1.2 用二分法求方程的近似解
1.理解二分法求方程近似解的原理.
2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.
3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.
1.利用二分法求方程的近似解．(重点)
2.判断函数零点所在的区间．(难点)
3.精确度ε与近似值．(易混点)
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函
数，则b的取值范围为_____.
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为_______.
3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为__.
b≥0
－1,1,3
1
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上________且__________的
函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所
在的区间_________，使区间的两个端点逐步
逼近_____进而得到零点的近似值的方法，叫
做二分法．由函数的零点与相应方程根的关
系，可以用二分法求方程的近似解．
连续不断
f(a)·f(b)<0
一分为二
零点
2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤
如下：
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确
度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈______；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈______．
(4)判断是否达到精确度ε：即若________，则得到
零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
f(a)·f(b)<0
c就是函数的零点
(a，b))
(c，b))
|a－b|<ε
解析： 由题意知选C.
答案： C
2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为( )
A．1.5
B．1.4
C．1.3
D．1.2
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.437
5)＝0.162
f(1.406
25)＝－0.054
解析： ∵|1.437
5－1.375|＝0.062
5＜0.1
∴f(x)的零点近似值可取1.437
5≈1.4或1.375≈1.4.
答案： B
3．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．
解析： 区间长度为0.1，等分1次区间长度变为0.05，等分2次，区间长度变为0.025，等分3次，区间长度变为0.012
5，等分4次，区间长度变为0.00625<0.01.符合条件．
答案： 4
[解题过程] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案： B
[题后感悟] 二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点的两侧的函数值异号才能求解，所以理解好零点存在定理才能正确地使用二分法．
解析： 须符合连续不间断且零点附近对应函数值符号相异，故选B.
答案： B
[解题过程] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区
间，如下表：
由于|0.687
5－0.75|＝0.062
5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
(2)二分法中对结果要求的“精确度”与“精确到”有何区别？
精确度为0.1，是指二分法停止二分区间时，区间[a，b]的长度|b－a|<0.1，此时a(或b)即为零点近似值．而精确到0.1，是指a，b四舍五入精确到0.1的近似值相同，这个相同的近似值即为零点近似值．
解析： 作出y＝lg
x，y＝3－x的图象可以发现，方程lg
x＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)＝lg
x＋x－3，用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0?x0∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0?x0∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0?x0∈(2.5,2.625)；
f(2.562)<0，f(2.625)>0?x0∈(2.562,2.625)．
∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1
∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
[题后感悟] (1)本题考查函数零点个数问题，这个知识点主要包括以下几个类型：
①一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．
②指数函数和对数函数等函数的零点个数问题我们一般用图象来解决．
(2)利用函数的单调性来判断函数零点的个数．如果已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
解析： 设y1＝log2x，y2＝4－x
则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象
由图知，y1与y2在区间(2,3)有一个交点
当x＝2时，y1＝1，y1＝2
当x＝3时，y1＝log23>1，y2＝1
∴在(2,3)内两曲线有一个交点．
∴函数f(x)＝log2x＋x－4只有一个零点．
1．准确理解“二分法”的含义
顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．运用二分法求方程f(x)＝0的实数解应注意以下几点
(1)条件：函数y＝f(x)的图象在[a，b]上为一条连续曲线，且f(a)·f(b)＜0时，方可使用二分法．
(2)技巧：①在选择实数解所在的大致区间时，应尽可能地使其长度越小越好．
②利用表格展现二分法求方程实数解的过程时，表格一般可分为三列：第一列是运算次数；第二列是左端点值；第三列是右端点值．后两列决定了运算的终止与否，当左端点与右端点满足要求精确度的近似值相同时，即可终止运算．
◎用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确度为0.1)．
【错解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝2.32－5＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25.
f(2.25)＝0.062
5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
同理可得x0∈(2.225,2.25)，(2.225,2.237
5)，
又f(2.225)≈－0.049
4，f(2.237
5)≈0.006
4，
且|0.006
4－(－0.049
4)|＝0.055
8<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.225.
【错因】 本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|<ε，而本题错解中误认为是|f(a)－f(b)|<ε.
【正解】 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，
说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.062
5，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
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第三章 函数的应用
3．1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
1.利用思考问题，结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数.
2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.
3.掌握函数零点的存在性定理.
1.求函数的零点．(重点)
2.判断函数零点的个数．(难点)
3.函数的零点与方程的根的关系．(易混点)
1．方程x2－2x－3＝0的根为_____；函数y＝x2－
2x－3与x轴的交点为___________．
2．函数y＝2x2－8x＋1的对称轴为_____，顶点坐
标为________．
3．函数图象作图方法：以解析式表示的函数作
图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．
作函数图象的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)
化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即单调性
、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；(4)描
点连线，画出函数的图象．
(－1,0)(3,0)
－1,3
x＝2
(2，－7)
1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把_______________叫做函数
y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0________?函数y＝f(x)的图象_____
______?函数y＝f(x)_______．
3．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_____
_____的一条曲线，并且有___________，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在
c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程f(x)
＝0的根．
使f(x)＝0的实数x
有实数根
与x轴
有交点
有零点
连续
不断
f(a)·f(b)<0
f(c)＝0
1．y＝x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A．2；2
B．(2,0)；2
C．－2；－2
D．(－2,0)；－2
解析： 由y＝x－2＝0，得x＝2，
故交点坐标为(2,0)，零点是2.
答案： B
答案： D
答案： 1
4．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
[解题过程] (1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3或1.
故函数的零点是－3,1.
(2)∵f(x)＝x4－1
＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
故函数的零点是－1,1.
[题后感悟] 当函数对应的方程比较容易求解时，可通过解方程的方法求函数的零点，方程有几个解，函数就有几个零点．
(3)令f(x)＝0，即x3－5x2－6x＝0
∴x·(x2－5x－6)＝0
x(x－6)(x＋1)＝0
∴x1＝－1或x2＝0或x3＝6
∴f(x)有三个零点－1,0,6.
答案： B
[题后感悟] (1)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
(2)如果函数通过零点时函数值的符号发生改变，称这样的零点为变号零点；否则，若函数通过零点时不变号，称之为不变号零点．如函数y＝x2的零点就是不变号零点．
解析： f(x)＝ex＋x－2
f(0)＝e0－2＝－1<0
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0
∴f(0)·f(1)<0
∴在区间(0,1)上至少存在一个零点．故选C.
答案： C
(2)若方程x2－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实根，
①当只有一根在(0,1)上时，f(0)·f(1)<0，
即2m(m＋2)<0，得－2②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x2＋x＝0，根为x1＝0，x2＝－1，满足题意；
③当f(1)＝0时，m＝－2，方程化为x2＋3x－4＝0，根为x1＝1，x2＝－4，满足题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2,0]．
[题后感悟] 二次函数零点问题即是二次方程根的分布问题．
解决有关根的分布问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
(2)结合草图考虑四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
②若方程2ax2－x－1＝0有两个不相等的实根，其中一根在(0,1)内，则有f(0)·f(1)<0，即(－1)·(2a－2)<0.解得a>1.综上所述，a的取值范围是(1，＋∞)．
1．函数的零点的理解
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
[注意] 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．函数零点与方程的根的关系
根据函数零点的定义可知：函数f(x)的零点，就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实数根、有几个实数根．
函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数根就是f(x)的零点．
3．函数零点的判定
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
[注意] 对于函数f(x)，若存在f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有零点，若只有一个零点，则称此零点为变号零点，反过来，若f(a)与f(b)不变号，而是同号，即不满足f(a)·f(b)<0，也不能说函数无零点．
【错解】 因为f(－1)＝－2，f(1)＝2，且x<0时，f(x)<0，x>0时，f(x)>0，所以y＝f(x)有一个零点，故选B.
【正解】 函数的定义域为x∈R，且x≠0，当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A.
答案： A
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