(共49张PPT)
1．2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
1．理解函数的概念，明确函数的三要素．
2．能正确使用区间表示数集．
3．会求一些简单函数的定义域．
1．求函数定义域．(重点)
2．对函数符号y＝f(x)的理解．(难点)
1．函数的概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的_____，如果按照某种确定的对
应关系f，使对于集合A中的____________，在集
合B中都有_________________和它对应，那么就
称__________为从集合A到集合B的一个函数，记
作____________.
函数y＝f(x)中，x叫自变量，_____________叫函
数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_______，
函数值的集合___________叫做函数的值域．显
然，值域是集合B的_____．
数集
任意一个数x
唯一确定的数f(x)
f：A→B
y＝f(x)，x∈A
x的取值范围
函数值
{f(A)|x∈A}
子集
2．区间与无穷的概念
(1)区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a＜b.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
左闭
右开
[a，b)
{x|a＜x≤b}
左开
右闭
(a，b]
(2)无穷概念及无穷区间
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
3.函数的三要素
(1)函数的三要素是函数的__________________和
_____．
(2)函数相等：由于函数的值域是由_________和
________确定的，所以，如果两个函数的______
相同，并且________完全一致，就称这两个函数
相等．
定义域、对应关系
值域
定义域
对应关系
定义域
对应关系
解析： 对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同，故选B.
答案： B
答案： A
3．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________.
(2){x|2(3){x|x>－1且x≠2}＝________.
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
[解题过程]
题号
正误
原因
①
×
A中的元素0在B中没有对应元素
②
√
对于集合A中的任意一个整数x，按照
对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应
③
×
A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素
④
√
对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应集合.
⑤
×
集合B不是数集
⑥
×
集合A中的元素3在B中没有对应元素，且A中元素2在B中有两个元素5和6与之对应
[题后感悟] 判断一个对应关系是否为函数要依据函数的定义，把握3个要点：
①两集合是否为非空数集；
②对集合A中的每一个元素，在B中是否都有元素与之对应；
③A中任一元素在B中的对应元素是否唯一．简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．
(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有对应元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故是集合A到集合B的函数．
[题后感悟] 定义域的求法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
[策略点睛] ：
[题后感悟] (1)已知f(x)定义域为A，如何求f(g(x))的定义域？
①将g(x)放入f(x)的定义域之内，即g(x)∈A；
②解不等式g(x)∈A，求x范围．
如：已知f(x)定义域为[1,2]，求f(2x－1)定义域，只需解不等式1≤2x－1≤2；
③结论．
[注意] f(g(x))中的g(x)相当于f(x)中的x.
(2)已知f(g(x))定义域为A，如何求f(x)定义域？
①由x∈A，求g(x)范围；
②f(x)的定义域就是g(x)的范围．
[注意] f(g(x))定义域为A，指的是x∈A，而不是g(x)∈A.
(3)经过分类讨论求变量的取值范围，如何判断分类的结果是取交集还是并集，还是既不取交集也不取并集？
①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m的范围；
②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对m进行分类，而不是对x分类；
③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围,也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取并集；
④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例,则最后既不取交集也不取并集．
[注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．
解析： (1)∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴f(x－1)的自变量满足0≤x－1≤2.
∴1≤x≤3，
∴f(x－1)的定义域为[1,3]．
(2)∵f(x＋1)的定义域为[－1,1]
∴－1≤x≤1，∴0≤x＋1≤2，
∴f(x)的定义域为[0,2]．
[解题过程] (1)两个函数的定义域相同，都是R，但f(x)＝|x|，g(x)＝x，它们的对应关系不同，故不是相等函数．
(2)函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，函数g(x)的定义域为R，定义域不同，故不是相等函数．
(3)函数f(x)，g(x)定义域，对应关系，值域都相同，故是相等函数．
[题后感悟] (1)如何判断两个函数是否相同？
①判断定义域是否相同；
②判断对应法则是否相同；
③结论：如果①和②都肯定，则两个函数相同；如果①和②中有一个否定，则两个函数不同．
(2)判断两个函数是否相同的注意事项：
①如果两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数不一定相同，如f(x)＝x2＋1与g(x)＝|x|＋1，两个函数的定义域、值域分别相同，都是[1，＋∞)，但它们的对应法则不同，因此它们不是同一函数．
②因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4表示同一函数． ,
解析： (1)两个函数的定义域显然不同，故两个函数不是相等函数；
(2)定义域不相同，故两个函数不是相等函数；
(3)定义域、对应关系、值域均相同，故两个函数是相等函数；
(4)两个函数的定义域相同，都是R；
∵f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，对应关系，值域均不同，故两个函数不是相等函数．
1．函数符号的理解
(1)对应关系f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y＝f(x)仅仅是函数符号，不能理解为“y等于f与x的乘积”．
(2)虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于f施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此两个函数的解析式是不同的．
2．正确使用区间符号
区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．应用时一定要弄清各种区间的含义及它们的区别，如[－1,1]表示{x|－1≤x≤1}，而[－1,1)表示{x|－1≤x＜1}等．
[注意] (1)无穷大是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]；
(2)若[a，b]是确定区间，则一定有a＜b.
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1．2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数.
1.求函数解析式的两种常用方法——换元法和待定系数法．(难点)
2.函数图象的作法(重点)
1．函数的概念及对应关系“f”的理解
2．函数的三要素是______________________．
3．函数图象的画法——①列表，②描点，③连线
定义域、对应关系、值域
1．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是( )
答案： C
2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2
B．6
C．1
D．0
解析： 方法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，
∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三：令x－1＝2，
∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B.
答案： B
3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，(3,3)则此二次函数的解析式为________．
答案： f(x)＝x2－2x
4．作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
解析： (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图1所示：
(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图2所示.
由题目可以获取以下主要信息：①对应关系f对自变量x起作用，可用代入法求解.
②对应关系f对(x＋1)起作用，需要寻找对应关系f怎样对自变量x起作用，可用配凑法或换元法求解.
[解题过程] (1)(代入法)：∵f(x)＝x2＋2
∴f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋3
f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6
(2)方法一(换元法)：令x＋1＝t则x＝t－1
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1
方法二(配凑法)：
∵x2＋2x＝(x＋1)2－1
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1
(2)求f(g(x))时，往往遵循先内后外的原则．
(3)已知f(g(x))的解析式，如何求f(x)?
①换元法：
令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)；
②配凑法：
将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式．
[策略点睛]
[解题过程] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，
(∵x∈Z，从而y∈Z)，这些点称为整点，如图(1)．
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧，如图(2)．
(3)当x＝1时，y＝1，所画函数的图象如图(3)．
[题后感悟] (1)描点法作函数图象的步骤：
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
函数的三种表示方法的优缺点比较
优点
缺点
解
析法
一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值
不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来
[注意] 函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以用三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
列表法
不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系
图象
法
能形象直观地表示出函数的变化情况
只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大
◎已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．
事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成．所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定．因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥．
【正解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
则f(t)＝t2－4(t≥2)，
∴f(x)＝x2－4(x≥2).
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第2课时 分段函数及映射
1.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
2.了解映射的概念.
1.分段函数求值．(重点)
2.对映射概念的理解．(难点)
1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上．(这样的点叫做整点)
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不
同的取值范围，有着不同的_________，则称这
样的函数为分段函数．
2．映射
设A、B是两个_____的集合，如果按某一个确
定的对应关系f，使对于集合A中的________元
素x，在集合B中都有_________的元素y与之对
应，那么就称对应_______为从集合A到集合B
的一个映射．
对应关系
非空
任意一个
唯一确定
f：A→B
答案： B
解析： A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．故选C.
答案： C
(2)如图所示．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值为6.
[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
(2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，
∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去．
②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，
即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
∴a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
∴a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，
∴a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
(2)函数f(x)的图象如图所示，10分
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3).12分
①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出对应的x值，设为x1，x2；
②把求出的x值标在x轴上，如图．
③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x＞1或x＜－1时，
f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．
[解题过程]
序号
是否为映射
原因
①
是
满足取元任意性、对应元素唯一性.
②
是
满足取元任意性、对应元素唯一性.
③
是
满足取元任意性、对应元素唯一性.
答案： A
④
不是
是一对多，不满足对应元素唯一性.
⑤
不是
是一对多，不满足对应元素唯一性.
⑥
不是
a3，a4无对应元素、不满足取元任意性.
[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键是什么？
①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有元素与它对应；
②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯一．
[注意] ①映射允许多对一，一对一，不允许一对多．
②想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．
解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D.
答案： D
4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析： 图①，图②符合映射定义，图③集合M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应，故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不能构成映射．
答案： C
1．正确认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．
(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．正确理解映射概念
(1)映射f：A→B是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确定的．
(2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性．
(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形式．
【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)
【正解】 (1)
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