(共62张PPT)
3．2.2 函数模型的应用实例
1.应用自建模型与已知模型解决实际问题.
2.理解分段函数、指数函数、对数函数、幂函数模型.
3.理解运用函数建立数学模型的过程与方法.
4.了解函数拟合的思想方法及函数模型的广泛应用.
1.利用已知函数模型求实际问题．(重点)
2.自建函数模型求实际问题．(难点)
3.解决实际问题时具体选用哪种函数模型．(易混点)
1．向高为H的水瓶内注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，则水瓶的形状是( )
答案： B
2．能使不等式log2xA．(0,2)
B．(2,4)
C．(4，＋∞)
D．(0,2)∪(4，＋∞)
答案： D
1．函数模型应用的两个方面
(1)利用已知函数模型解决问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．
2．应用函数模型解决问题的基本过程
1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元
B．0.90元
C．1.20元
D．0.80元
答案： B
2．某林场计划第一年造林10
000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14
400亩
B．172
800亩
C．20
736亩
D．17
280亩
解析： 设年份为x，造林亩数为y，
则y＝10
000×(1＋20%)x－1，
∴x＝4时，y＝17
280(亩)．
答案： D
3．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月电量(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析： 高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．
低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．
故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．
答案： 148.4
4．商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元/台，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么豆浆机的标价应为每台多少元？
解析： 设购买人数为z，标价为x，则z是x的一次函数，
有z＝ax＋b(a<0)．又当x＝300时，z＝0，∴0＝300a＋b，
∴b＝－300a，∴有z＝ax－300a.
(1)设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x元，此时，
所获利润为y.
则y＝(x－100)(ax－300a)
＝a(x2－400x＋30
000)(100又∵a<0，∴当x＝200时，y最大．
所以，标价为每台200元时，所获利润最大．
(2)当x＝200时，ymax＝－10
000a，
令y＝－10
000a×75%，
即a(x2－400x＋30
000)＝－10
000a×75%，
解得x＝150或x＝250.
所以定价为每台150元或250元时，所获利润为最大利润的75%.
甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只；
乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明现由．
[策略点睛]
[题后感悟] (1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
(2)一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
(3)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．
解析： 由题意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3
000x－20x2)－(500x
＋4
000)
＝－20x2＋2
500x－4
000，x∈[1,100]，x∈N＋，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2
500(x＋1)－4
000－(－20x2＋2
500x－4
000)＝2
480－
40x，x∈[1,100]，x∈N＋.
(1)12月份小王WAP手机上网使用量20小时，要付多少钱？
(2)小舟10月份付了90元的WAP手机上网费，那么他上网时间是多少？
(3)电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
(2)90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟．
(3)令60＝30＋0.15([x]－500)，
解得[x]＝700分钟．
故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月上网时间不超过700分钟)时选择WAP手机上网．
[题后感悟] 本例是分段函数的模型．如果题目给出自变量不同时对应的函数关系不同，我们就要利用分段函数形式写出表达式．
解析： (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨时，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x≤4且5x>4，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；
当乙的用水量超过4吨时，即3x>4，y＝1.8×8＋3(5x－4＋3x－4)＝24x－9.6.
[解题过程] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按复利计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5＝153.86(万元)．
由此可见，按年利率9%复利计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
[题后感悟] (1)复利是一种计算利息的方法，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算的储蓄，复利问题实质也是增长率的问题．
(2)有关利率问题，如果原来投资数为a，年利率p，经过x年后的本金和利息和y为：
按单利计算：y＝a(1＋px)；
按复利计算：y＝a(1＋p)x.
比较上述四个模拟函数的优势，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性．经过筛选，以类指数函数模拟为最佳．一是误差小，二是由于新建厂开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而类指数函数模拟恰好反映了这种趋势．因此，选用y＝－0.8·0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．
[题后感悟] (1)自己建立模型解决问题时，要依据收集到的数据特点，画出散点图，经观察分析恰当地选择函数模型，再解函数模型，进而检验结合实际问题确定结果．
(2)选择的函数模型不同，与已知数据拟合的程度则不同．
(3)由模拟函数得到的结果与客观实际存在着一定的误差．
4.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，还可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进入芦荟市场，栽培芦荟为了了解行情，进入市场调研．从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10
kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b；Q＝at2＋bt＋c；Q＝a·bt；Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本．
1．解函数应用问题的方法和步骤
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
2．数据拟合过程中的假设
就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手了，假设的作用主要表现在以下几个方面：
(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用，通常，初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗，在假设时就可以设这些因素不需考虑．
(2)降低解题难度，虽然每一个解题者的能力不同，但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解．
一般情况下，是先在最简单的情形下组建模型，然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际，从而得到更满意的解．
◎某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606
B．45.6
C．46.8
D．46.806
【正解】 设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，
则总利润L＝L1＋L2＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
根据二次函数图象知x∈N
，∴当x＝10时，获得最大利润
L＝－0.15×102＋3.06×10＋30＝45.6万元．
答案： B
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3．2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢.
2.理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.
3.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题.
4.培养对数学模型的应用意识.
1.比较函数值的大小．(重点)
2.三种函数模型的性质比较．(易混点)
3.利用几种简单函数模型求解应用题．(难点)
(0，＋∞)
增
(0，＋∞)
3．某地的水电资源丰富，并且得到了电费
y(元)与用电量x(度)之间的函数关系如图所示：
则月用电量为100度时，应交电费___元．
60
1．三种函数模型的性质
增函数
增函数
增函数
越来越快
越来越慢
与y
轴平行
与x轴平
行
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
_______
_______
_______
增长的速度
________
_________
相对平稳
图象的变化
随x增大
逐渐____
_______
随x增大逐
渐_______
__
随n值而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝
logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是_______，但______
___不同，且不在同一个“档次”上．
(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)增长速度越来越
快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，
而y＝logax(a>1)的增长速度________．
(3)存在一个x0，当x>x0时，有____________.
增函数
增长速
度
相对平稳
1．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设第二年有100只，则到第八年它们发展到( )
A．200只
B．400只
C．500只
D．600只
解析： 由已知第二年有100只，得100＝alog33，
∴a＝100，将a＝100，x＝8代入得
y＝100×log3(8＋1)＝200.故选A.
答案： A
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x
B．y＝log100x
C．y＝x100
D．y＝100x
解析： 由于指数函数的增长是爆炸式的，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
答案： D
解析： 由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．
答案： ②③
4．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2
2.639
3.482
4.595
6.063
8
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1
1.96
3.24
4.84
6.76
9
11.56
…
y＝log2x
－2.322
－0.737
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766
…
问：(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
解析： (1)随着x的增大，各函数的函数值都增大．
(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢.
[题后感悟] (1)解答函数应用题，要分四步进行：
①阅读，理解题意，引入变量x，y.
②建立函数模型，列出关于x，y的关系式．
③解答函数模型，求得结果．
④把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
(2)建立函数模型时，要注意实际问题中的函数定义域，如本题要求x≥4.
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg
1.2≈0.079，
lg
2≈0.301
0，lg
1.012≈0.005，lg
1.009≈0.003
9
[解题过程] (1)2009年底人口总数为100万人，
经过1年，2010年底人口总数为100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)(万)
经过2年，2011年底人口总数为100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2(万)
经过3年，2012年底人口总数为100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3(万)
…
∴经过的年数x与(1＋1.2%)的指数相同．
∴经过x年后，该城市人口总数为100×(1＋1.2%)x(万)
∴y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10
≈112.7(万)．
(3)由题意得100×(1＋1.2%)x>120
两边取常用对数得lg[100×(1＋1.2%)x]>lg
120
整理得2＋xlg
1.012>2＋lg
1.2
x>≈≈16
∴大约16年以后，该城市人口将达到120万人．
[题后感悟] 递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中学数学的重要应用方向之一，这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题，然后，求解此数学问题．
以下数据供计算时使用：
数N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
对数lgN
0.004
3
0.006
5
0.007
3
0.117
3
0.301
0
数N
3.000
5.000
12.48
13.11
13.78
对数lgN
0.477
1
0.699
0
1.091
2
1.117
6
1.139
2
[题后感悟] 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多，此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．
回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12
W/m2，耳语的强度是1×10－10
W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8
W/m2，试分别求出它们的强度水平．
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
[题后感悟] 解决此题的关键是分析清楚题意，用待定系数法设出解析式将点(100,1.6)，(200,3)代入求出解析式，再将自变量代入，即可得到答案．
函数模型的选择和建立
(1)根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型．
(2)建立数学模型的三关
①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；
②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；
③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学问题．
◎某工厂转换机制，两年内生产的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的增长率是多少？
【错因】 对增长率问题的公式y＝N(1＋P)x未能理解透彻而造成指数写错，或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．若某月的产值是b，则此月第x月后的产值是b(1＋a)x，指数x是基数所在时间后所跨过的时间间隔数．
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