(共44张PPT)
2．2 对数函数
第2课时 对数的运算
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算.
2.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.
1.利用对数的运算性质进行对数运算．(重点)
2.对数运算性质的形式．(易混点)
3.利用换底公式解题．(难点)
答案： 3
解析： 当x≤1时，f(x)＝2，即为3x＝2，
∴x＝log32
当x>1时，f(x)＝2，即为－x＝2，
∴x＝－2矛盾(舍去)．
故应填log32.
答案： log32
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
1
答案： C
答案： D
3．lg
8＋3lg
5的值为________．
解析： lg
8＋3lg
5＝lg
8＋lg
53＝lg(8×53)＝lg
1
000＝3.
答案： 3
[题后感悟] (1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg
2＝1－lg
5，lg
5＝1－lg
2的运用．
(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
[题后感悟] 解决这一类问题的关键在于抓住所求的对数与已知对数之间的联系，选择恰当的底数和真数的对数作为它们之间联系的中介．在这个过程中，灵活运用换底公式和对数运算性质是重要的．而运用指数、对数的互化，也是解决这类问题应予以考虑的方法．在这些方法的选择中，运用解方程(组)的思想会使问题的求解思路更清晰，运算目标更明确．
[题后感悟] 对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质对对数式进行变换，实现从等式的一端过渡到另一端．
【错解】 D
【正解】 A
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第2课时 对数函数及其性质的应用
1.进一步加深理解对数函数的性质.
2.掌握对数函数的性质及其应用.
1.利用对数函数的单调性解题．(重点)
2.常与方程、不等式等结合命题．(难点)
3.对于底数含有参数的对数函数进行分类讨论．(易混点)
1．形如y＝logax的函数是对数函数，其中x是
自变量，定义域为_________，值域为R.
2．对数函数的奇偶性，___________________
_______；单调性_________________________，
____________________________，过定点_____．
(0，＋∞)
既不是奇函数也不是
偶函数
a>1，在(0，＋∞)上是增函数
0
(1,0)
复合函数y＝logaf(x)，x∈D的单调性：设集合
M?D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增
(减)，集合M对应的区间是函数y＝logaf(x)的
___________；若0单调递增(减)，集合M对应的区间是函数y＝
ogaf(x)的___________．
单调增区间
单调减区间
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．a＜c＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
解析： ∵log54>log53>0
1>log53>0
∴log54>(log53)2即a>b
又∵log45>1>log54
即c>a
∴c>a>b
答案： D
解析： ①若0②若a>1，loga2∴a<2，
∴1答案： A
3．已知函数f(x)＝loga(x－1)(a>0，a≠1)在区间(1,2)上满足f(x)<0，则函数f(x)在(1，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
解析： 已知1根据对数函数的图象知a>1.所以函数f(x)为增函
数．
答案： 增
[解题过程] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，所以log2π>log20.9.
(2)由于log20.3log0.21＝0，
所以log20.3(3)3log45＝log453＝log4125，
2log23＝log481，
∵对数函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log4125>log481，即3log45>2log23.
解析： (1)∵y＝log2x在(0，＋∞)内是增函数，且3＜3.5，
∴log23＜log23.5.
(2)考查对数函数y＝log2x和y＝log3x，
当x＞1时，y＝log2x的图象在y＝log3x图象上方(即底大图低)，这里x＝5，故log25＞log35.
(3)找中间量“搭桥”．
∵log3π＞log33＝1，
log20.8＜log22＝1，
∴log2π＞log20.8.
答案： C
[题后感悟] 如何解同底对数不等式与对数方程？
①a>1时，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0.
②0logag(x)?0③a>0，a≠1时，logaf(x)＝logag(x)?f(x)＝g(x)且f(x)>0，g(x)>0.
[解题过程] 设t＝lg(x2－2x＋3)＝lg[(x－1)2＋2]．
当x∈R时，t有最小值为lg2.
又∵y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0由f(x)＝loga(3－2x－x2)，得其定义域为(－3,1)．
设u(x)＝3－2x－x2，x∈(－3,1)，则y＝logau.
∵u(x)＝3－2x－x2在(－3，－1]上是增函数，在[－1,1)上是减函数，且y＝logau在(0，＋∞)是减函数．
∴f(x)＝loga(3－2x－x2)单调减区间为(－3，－1]，单调增区间为[－1,1)．
[题后感悟] 函数y＝logaf(x)可看做是y＝logat与t＝f(x)两个简单函数复合而成的，则由复合函数的判断法则同增异减知：当a>1时，若t＝f(x)为增函数，则y＝logaf(x)为增函数，若f(x)为减函数，则y＝logaf(x)为减函数；当0答案： B
[题后感悟] 本题综合了多个知识点，解题需要概念清楚、推理正确．本题的解法是处理对数函数单调性问题的常用方法，理解并掌握对数函数概念、图象和性质，特别是函数的定义域，是解决这类题的前提．
1．对数值的大小比较
利用函数的单调性进行对数值的大小比较，常用的方法：
(1)若底数为同一常数，则可利用对数函数的单调性进行判断；
(2)若底数为同一字母，则可按对数函数的单调性对底数进行分类讨论；
(3)若底数不同，真数相同，则可利用对数函数的图象或利用换底公式化为同底，再作比较．
(4)若底数、真数均不相同，则可借助中间值－1,0,1等作比较．
2．复合函数单调区间的求法
关于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)一类函数的单调性：
设u＝f(x)(f(x)>0)．当a>1时，y＝logaf(x)与u＝f(x)的单调性相同；当0◎求y＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间．
【错解】 由y＝log2u在(0，＋∞)上单调递增，要求解
y＝log2(x2－2x－3)的单调递增区间，只需求解u＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的单调递增区间．
故y＝log2(x2－2x－3)在[1，＋∞)上单调递增．
【错因】 忽略函数定义域，导致出错．
【正解】 令x2－2x－3>0得x<－1或x>3，
故y＝log2(x2－2x－3)在(3，＋∞)上单调递增．
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第2课时 对数函数及其性质的应用
1．在同一坐标系中画出函数y＝3x与y＝4x的图
象，结合图象比较大小：
(1)30.2__30.4；(2)30.4__40.4.
2．注意到30.4与40.4的指数均是0.4，我们还可
以用函数________的性质来比较大小．
3．求下列函数的定义域：
<
<
y＝x0.4
(－∞，0)∪(0，＋∞)
[0，＋∞)
1．幂函数的概念
函数______叫做幂函数，其中__是自变量，__是
常数．
y＝xα
x
α
3．幂函数的图象与性质
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)
∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)
∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
减
减
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，___
增
增
x∈(0，＋∞)
x∈(－∞，0]时，___
时，减x∈
(－∞，0)时，
___
定点
(0,0)
(1,1)
(1,1)
(－1，－1)
答案： A
答案： C
答案： ①⑤
[解题过程] 根据幂函数定义得
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3.
[题后感悟] (1)形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1，②指数为一常数，③后面不加任何项．
例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1等均不是幂函数，另外还要注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．
(2)利用幂函数的定义，抓住其本质特征，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．
解析： 根据幂函数定义得m2－m－1＝1，
解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
不合题意；
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函
数．
故m＝－1，f(x)＝x－3.
答案： B
[题后感悟] 通过幂函数的图象比较指数的大小时，可作直线x＝m(m>1)，依据直线x＝m(m>1)与图象的交点的高低判断，其规律为：按交点自上而下，幂指数逐渐减小．
[题后感悟] 幂函数的定义域要根据解析式来确定，当幂函数的指数为分数形式时，需将其转化为熟悉的根式形式，利用根式的有关要求求出自变量的取值范围．
[题后感悟] 本题综合性较强，关键是弄清幂函数的概念及性质，解答此类问题可分两步：(1)利用单调性和奇偶性(图象的对称性)求出m的值；(2)结合函数图象求出a的取值范围．
解析： 由y＝(m2－m－1)xm是幂函数得m2－m－1＝1，
∴m＝2或m＝－1.
当m＝－1时，y＝x－1是奇函数，图象关于原点对称，不合题意舍去．
当m＝2时，y＝x2是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，
故m＝2.
解析： ∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p－3<0即p<3
又∵p∈N
，∴p＝1或2
∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称
幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限．
(2)α>0时，①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；
②并且在[0，＋∞)上都是增函数．
(3)α<0时，①幂函数的图象都通过点(1,1)；
②在[0，＋∞)上都是减函数；
③在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
[注意] 幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
【错因】 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．
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2．2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
1.理解对数的概念.
2.掌握对数的基本性质.
3.掌握对数式与指数式的相互转化.
1.指数式与对数式的互化．(重点)
2.对数的底数与真数的范围．(易混点)
3.对数性质及对数恒等式．(难点)
1．在指数ab＝N中，a称为_____，b称为____，
N称为幂，在引入了分数指数幂与无理数指数
幂之后，b的取值范围由初中时的限定为整数
扩充到了_____．
2．若a>0且a≠1，则a0＝__；a1＝__；对于任意
x∈R，ax>0.
底数
指数
实数
1
a
4
4
－4
1．对数的概念
x
a
N
10
N
条件
ax＝N，且a>0，a≠1
结论
__叫做以__为底__的对数，记作x
＝logaN
常用对数
以___为底__的对数，记作lg
N
自然对数
以e为底N的对数，记作ln
N
ax＝N
x＝logaN
表达形式
各名称的意义
a
N
x
指数式
______
底数
幂值
指数
对数式
_________
底数
真数
对数
3.对数的基本性质
0
0
1
性质1
负数和零没有对数
性质2
1的对数是__，即loga1＝__
(a>0且a≠1)
性质3
底数的对数等于__，即logaa＝1
1．如果a3＝N(a>1且a≠1)，则有( )
A．log3N＝a
B．log3a＝N
C．logNa＝3
D．logaN＝3
答案： D
答案： A
3．方程log5(2x－3)＝1的解x＝________.
解析： 由log5(2x－3)＝1得2x－3＝5.
∴x＝4.
答案： 4
(2)在指数式ab＝N中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.
(3)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39，只有符合a>0，a≠1且N>0时，才有ax＝N?x＝logaN.
[题后感悟] (1)求解此类式子中参数的范围时，应根据对数中对底数和真数的要求列出不等式组解出即可．
(2)在理解对数的概念时，需注意掌握：
①基本点：底数大于0且不等于1；
②简单应用：指数式与对数式的互化；
③对数性质的应用．
[题后感悟] 有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
2．准确认识指数式与对数式的关系
(1)在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求x，就是对数运算．两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
(2)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log－39，只有符合a>0，a≠1且N>0时，才有ax＝N?x＝logaN.
◎求log(1－2x)(3x＋2)中的x的取值范围．
【错因】 本题错解的原因是忽视对数底数的限制范围．
底数1－2x需大于零且不等于1.
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