(共37张PPT)
1．3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2.掌握判断函数奇偶性的方法；
3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.
1.对函数奇偶性概念的理解．(难点)
2.函数奇偶性的判定方法．(重点)
1．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点
关于某一条____的对称点仍是这个图形上的点，
就称该图形关于该直线成轴对称图形，这条直
线称作该轴对称图形的______．
2．中心对称图形：如果一个图形上的任意一
点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点，
就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点
称作该中心对称图形的_________．
直线
对称轴
对称中心
3．点P(x，f(x))关于原点的对称点P1的坐标为
_____________，关于y轴对称点的点P2的坐标
为__________．
(－x，－f(－x))
(－x，f(x))
原点
y轴
函数的奇偶性
有f(－x)＝
f(x)
f(－x)＝－f(x)
奇偶性
项目
偶函数
奇函数
定义
一般地，如果对
于函数f(x)的定
义域内任意一个
x，都_________
____，那么函数
f(x)就叫做偶函
数.
一般地，如果
对于函数f(x)的
定义域内任意
一个x，都有
____________，
那么函数f(x)就
叫做奇函数.
定义域
关于原点对称
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
与单调性关系
在对称区间上，单调性相反
在对称区间上，单调性相同
1．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
解析： 函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数．
答案： C
答案： D
3．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.
答案： －1
解析： (1)f(x)的定义域为R，
且满足f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
从而可知f(x)为偶函数；
[题后感悟] (1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对称；
②有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误．如本例(4)中，若不化简可能会判断为偶函数．注意下面变式训练中的第(4)小题．
③若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可．
(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．
另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域
)
解析： (1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：
①根据－x所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写x的所属区间；
②f(－x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为－x与x所属区间不同；
③定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏．
解析： 当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．
解析： ①当x>0时，－x<0
f(－x)＝－x－2＝f(x)
②当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)－2＝x－2
＝f(x)
③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
[解题过程] 函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
再令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
[题后感悟] 如何判断抽象函数的奇偶性？
①明确目标：判断f(－x)与f(x)的关系；
②用赋值法在已知抽象关系中凑出f(－x)与f(x),如本例中令y＝－x；
③用赋值法求特殊函数值，如本例中令x＝y＝0,求f(0)．
证明： 令x＝0，y＝x，
则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①
又令x＝x，y＝0得
f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②
①②得f(－x)＝f(x)
∴f(x)是偶函数．
1．准确理解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)
与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．
(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．
【错因】 没有考察函数定义域的对称性．
【正解】 因为函数f(x)的定义域－1≤x<1不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数.
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第2课时 函数奇偶性的应用
1.巩固函数奇偶性概念.
2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关问题.
1.利用函数奇偶性求函数解析式．(重点)
2.注意函数性质的综合运用．(难点)
1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的____一个x，都
有____________，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)奇函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的_____一个x，都
有_____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
任意
任意
1．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于____对称．
(2)奇函数的图象关于____对称．
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最
大值M，则f(x)在[－b，－a]上是______，且有
___________.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)
在(0，＋∞)上是______．
y轴
原点
增函数
最小值－M
增函数
解析： 由偶函数定义，f(－x)＝f(x)知，f(x)＝－x2，f(x)＝x2是偶函数，
又在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)＝－x2符合条件，故选B.
答案： B
2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．－2
B．2
C．－98
D．98
解析： ∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)
＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
∴f(7)＝－2，故选A.
答案： A
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式为________．
4．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小．
解析： ∵f(x)是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)
又∵f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1
∴f(－2)＜f(－1)＝f(1)
即f(－2)＜f(1)
[解题过程] 利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[题后感悟] 本题利用奇函数图象的特点，作出函数在区间[－5,0]上的图象，利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合．数形结合是研究函数的重要方法，画函数图象是学习数学必须掌握的一个重要技能，并能利用函数图象理解函数的性质.
解析： 因为函数y＝f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留y＝f(x)在(－∞，0]上的图象，在[0，＋∞)上作y＝f(x)关于y轴对称的图象，如图所示，即得函数y＝f(x)，x∈R的图象．由图象知f(3)＝－2，f(1)＝－1，所以f(1)>f(3)．
[题后感悟] 此类问题的一般解法是：
(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
[题后感悟] 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)1．奇、偶函数的图象
(1)若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形，则这个函数是奇函数，这也成为我们由图象判定奇函数的方法．
(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数，这也是由图象判定偶函数的方法．
[注意] 由图象可知，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反．
(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作函数y＝|x|的图象，因为该函数为偶函数，故需先作出x≥0时的图象，利用函数图象关于y轴对称即可作出x≤0时的图象．
◎已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，求函数f(x)的解析式．
【错因】 忽略了定义域为R的条件，漏掉了x＝0的情况．
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1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 单调性
1．理解函数单调性的性质．
2．掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数单调性的概念．(重点、难点)
2．判断函数单调性及单调性的应用．(重点)
1．一次函数y＝x的图象特征是：自左向右，
图象逐渐____，y随x的增大而____；二次函数
y＝x2的图象特征是：自左向右，在(－∞，0]
上，图象逐渐_____，y随x的增大而_____；在(0，
＋∞)上，图象逐渐_____，y随x的增大而_____．
上升
增大
下降
减小
上升
增大
下降
下降
减小
减小
1．定义域为I的函数f(x)的增减性D?I，对任意x1，x2∈D
增函数
减函数
分类
增函数
减函数
条件
x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)
x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)
结论
函数f(x)在区间D
上是______
函数f(x)在区间D
上是______
图示
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是______________，
那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)
单调性，区间D叫做y＝f(x)的_________．
增函数或减函数
单调区间
1．函数y＝－x2的单调增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析： 画出y＝－x2的图象，可知函数在(－∞，0]上单调递增．
答案： A
2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)＜f(5)
B．f(3)≤f(5)
C．f(3)＞f(5)
D．f(3)≥f(5)
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
解析： 结合图象可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，－2]，[0,1]上是减函数，在[－2,0]及[1，＋∞)上是增函数．
答案： [－2,0]，[1，＋∞) (－∞，－2]，[0,1]
[题后感悟] (1)利用定义证明函数单调性步骤如下：
(2)利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧有哪些？
①因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x3－1.
②通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．
③配方．当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号．
[解题过程] 函数y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5)，
其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5)上是增函数．
[题后感悟] (1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法．但要注意函数的定义域．
(2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[题后感悟] 定义法求函数的单调区间
①作差，因式分解；
②判断各因式符号；
③如果各因式符号确定，则函数在整个定义域上具有单调性，如果有一个因式符号不确定，则需确定分界点以确定单调区间．因式符号必须是在某个区间内恒成立，如：本例因式x1x2－9.
[解题过程] f(x)＝x2－2(a－1)x＋3
＝[x－(a－1)]2－(a－1)2＋3，
∴此二次函数的对称轴为x＝a－1.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，a－1]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝a－1必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴a－1≥4，解得a≥5.
[题后感悟] (1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．
(2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．
解析： (1)f(x)＝[x－(a－1)]2＋3－(a－1)2
对称轴：x＝a－1
∵f(x)在[4，＋∞)上是增函数．
∴对称轴只需在区间的左侧，
∴a－1≤4即a≤5.
∴所求a的取值范围是a≤5.
(2)函数的减区间为(－∞，1－a]
∴a－1＝4，∴a＝5.
[解题过程] ∵对任意x∈R，有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴(2＋x)2＋b(2＋x)＋c＝(2－x)2＋b(2－x)＋c.
∴4x＋bx＝－4x－bx.
∴8x＋2bx＝0，即(8＋2b)x＝0对任意实数x都成立．
∴8＋2b＝0，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4.
即f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
又∵f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，且2＜3＜4，
∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．
[题后感悟] (1)对任意x∈R，有f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)的图象关于直线x＝a对称．如若f(3＋x)＝f(3－x)对任意x∈R都成立，则f(x)的对称轴为x＝3.
(2)利用单调性比较函数值大小，务必将自变量x的值转化为同一单调区间上才能进行比较．
1．解读函数单调性的定义
(1)定义中的关键词：
①“定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集．单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性；
②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)．
(2)函数单调性的刻画：
①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的；
②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．
2．判定函数单调性的常见方法
(1)定义法．
这是证明或判定函数单调性的常用方法．
(2)图象法．
根据函数图象的升、降情况进行判断．
(3)直接法．
运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．直接判断函数的单调性，可用到以下结论：
◎已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
【错因】 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“
f
”符号脱掉．
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第2课时 函数的最大值、最小值
1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.
2.会求一些简单函数的最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函数最值．(重点)
2.体会数形结合思想的运用．(难点)
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
_______．
最小值
最大值
1．函数的最大值、最小值
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
最值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，
都有________.
(2)存在x0∈I，使
________.
(1)对任意x∈I，都
有_______.
(2)存在x0∈I，使
________
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
答案： C
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，
当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
答案： A
3．函数y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大值为________．
解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]，
∴原函数在[0,2]上为减函数，在[2,2]上为增函数．
∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5，f(3)＝2，
∴最大值为5.
答案： 5
[解题过程] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
[题后感悟] 利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用．图象法求最值的一般步骤是：
[题后感悟] (1)如何根据单调性求函数值域或最值？
①求函数的定义域；
②证明函数在相应区间上的单调性；
③求出函数在定义域上的最值；
④写出值域．
[注意] 务必首先求出定义域．
(2)函数的最值与单调性的关系
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
解析： ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)当x∈[－2,3)时，f(x)在[－2,3)上是先减后增的，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t＞1时，
f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，
f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立数学模型转化成数学问题解决．
(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键.
1．准确理解函数最大值的概念
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M成立,“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
◎求函数y＝x2－2x－1在[2,4)上的最值、值域．
【错解】 y＝x2－2x
＝(x－1)2－2，
∴对称轴为x＝1，
∴ymin＝－2，ymax＝8，
值域为y∈[－2,8]．
【错因】 上述解法忽略了二次函数的对称轴与区间[2,4)的位置关系，以及区间的端点．
【正解】 y＝(x－1)2－2，对称轴为x＝1.
∴函数在[2,4)上是增函数，
∴当x＝2时，ymin＝－1，无最大值，
∴值域为y∈[－1,8)．
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