1、教学目标
1.通过观察、探索,掌握数线段的方法。
2.理解“化繁为简”的数学思想方法,能用一定规律解决较复杂的数学问题。
3.有归纳推理探索规律的能力。
2、学情分析
学生前面已经有一定的数学思想如:转化法,举例,假设法等,本节课将继续用数学思想解决问题。
3、重难点
重点
在发现规律、解决问题的过程中,学习解决问题的策略和方法。
教学难点:理解连接线段的规律
4、教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【讲授】数学思考
导入
学们，以前我们学过一些数学思想和方法，你们还记得吗？请同学们来回忆一下：假设法，化归思想等
还学过一些找规律的题目，比如说1+2+3+4+5+6
小结：这个题，是用数学的思想方法来思考问题，能够使问题化难为易，帮助我们解决实际的问题。今天我们再一次来体会这些数学思想方法的魅力。
二、新授
1、同学们,在上课前,咱们先来做个游戏,挑战一下自己,敢不敢,……请听清楚要求:练习纸上有8个点,每两个点连成一条线段,一共可以连成多少条线段呢?请同学们动笔连一连,再数一数,时间2分钟,看谁最先得出答案!
2、学生动手操作。
3、汇报交流:
师:同学们,有结果了吗?
(学生汇报结果)
怎么会有这么多不同的答案呢?可正确的答案只有1个!到底谁的答案才是正确的呢?看来这个问题可能有点难度!
没关系!
我们暂且把它放在一边,待会儿再去评判,
下面我们先开始今天的学习与研究,看看大家能不能从中得到启示。
探究一:从简到繁,感知算理
师:同学们,用8个点来连线,我们觉得很困难,如果把点数减少一些,是不是会容易一些呢?下面我们就先从2个点开始,逐步增加点数,找找其中的规律。
师:两个点可以连成几条线段?
在两个点的基础上增加1个点,这时候一共可以连成几条线段?(学生猜想,动笔,得出答案。)
师:只增加了一个点,为什么却增加了2条线段呢?
(引导学生明确:增加的一个点可以和原有的两个点分别连成一条线段,所以在原有基础上增加了两条线段。)
师:你说得很好!为了便于观察,我们把这次连线情况记录在表格里
在3个点的基础上又增加1个点,你猜可能会增加几条线段?
(学生可能回答:可能会增加3条线段。)
师:怎么会是3条呢?刚才两个点时,增加一个点,只增加了2条线段啊!
(学生可能回答:增加的一个点与原来的3个点都可以连接1条线段,所以会增加3条线段。)
大家想一想:5个点一共可以连成多少线段呢?
师:谁把你的想法和大家交流一下
(学生可能回答:6+4=10(条)
)
(引导学生明白:4个点连了6条线段,再增加1个点后,又会增加4条线段,所以5个点时可以连出10条线段。
5个点时连成线段的总数,这位同学是用计算的方法得出的,现在请同学们仔细观察表格中的几组数据:3个点时连成线段的总条数,可不可以也用计算的方法得出?
(学生观察表格,依次得出:
3个点时连成线段的总条数:1+2=3(条)
4个点时连成线段的总条数:1+2+3=6(条)
5个点时连成线段的总条数:1+2+3+4=10(条))
师:仔细观察这张表格,在这张表格里有哪些信息呢?
师:现在大家再想想,6个点可以连多少条线段呢?
请大家仔细观察这几道算式,你有什么发现?
师:这里每一道算式都是一组从1开始的连续自然数之和。到底几个连续自然数相加呢?你还有什么发现?
(得出加数的个数与点数之间的关系。)
(学生可能回答:计算总线段数其实就是从1开始加2,加3,加4,一直加到比点数少1的数。)
师:不错。通过观察、思考,我们发现:总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的和。所以,我们只要知道点数是几,就从1开始,依次加到几减1,所得的和就是总线段数。你们都明白了吗?
师:想一想,计算n个点连成线段的条数可以怎样列式?
???
(学生独立思考、回答、相互补充得出:1+2+3+…(n-1)?
)
(师生共同理解算式的含义:从1开始(n-1)个连续自然数的和,即1+2+3+……n=(1+n)n÷2
)
师:下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时一共可以连多少条线段,请看课本第91页,把算式写在书上相应的横线上!
(学生独立完成,教师巡视,再集体讲评。)
探究三:回应课前设疑,进一步提升
(1)师:现在我们就知道了课前游戏的答案,在纸上任意点上8个点,每两点连成一条线,可以连成28条线段。有这么多条,难怪同学们在数线段有多少条时这么麻烦呢!看来利用这个规律可以非常方便的帮助我们计算点数较多时的总线段数。下面你们能根据这个规律,计算出12个点、20个点能连多少条线段吗?请写出算式。
(2)反馈
我们来看看答案吧!
(课件出示:12个点共连了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66(条)
师:20个点共连的线段数为:1+2+3+4+5一直加到19,为了书写方便,这些算式还可以省略不写中间的一些加数,算式可以写成:1+2+3+……+19=190(条)
三、练习
师:下面,我们一起来看看小精灵聪聪给我们带来了什么题目!
观察下图，想一想。
（1）第7幅图有
多少个棋子？第15幅图呢？
◎◎◎
◎◎◎
◎◎◎
◎◎◎◎
◎◎◎◎
◎◎◎◎
◎◎◎◎
◎
◎◎
◎◎
……
（1）
（2）
（3）
（4）
第n幅图有多少个棋子？
第n幅图有多少个棋子？
2、观察以下图形，则第七个图形中，三角形共（
）个。
【拓展延伸】
10个好朋友，每2位好朋友握手1次，大家一共要握手多少次？
四、总结
师:今天这节课,我们一起学习了找规律,说一说,你有什么收获?
师:我们通过眼睛观察、动手操作、动脑思考,找到了解决问题的规律。更重要的是我们学会了把复杂问题转化为简单问题入手。推理发现规律,合理运用规律,创造性地使用规律,让规律为我们的学习和生活服务。我们要善于运用这样的学习方法学习新的知识。
五、作业
课本P94/练习十八?
1、《数学思考》教学设计
教学内容：小学数学人教版六年级下册第100页例1及相关练习。
教学目标：
1、通过学生动手操作、观察、探索，发现规律，掌握数线段的方法。
2、渗透“化难为易”的数学思想方法，能运用一定规律解决较复杂的数学问题。
3、培养学生归纳推理探索规律的能力。
教学重点：引导学生发现规律，找到数线段的方法。
教学难点：学会用“化难为易”的数学思想方法解决较复杂的问题。
教具、学具准备：多媒体课件、表格
一、尝试连线段，初步感受运用数学思想方法的重要性
师：（大屏幕出示100个点）如果每两个点连起来，一共能连出多少条线段？试一试。
学生尝试连线段
师：能很快连出来吗？太多了，太麻烦了是吗？遇到这样的问题你想怎么解决？（生可能会说：线段太多了，找找规律再解决）著名的数学家华罗庚跟你的想法一样。
（出示华罗庚名言）学生齐读。
师：明白这句话的意思吗？他的意思就是遇到复杂的问题无从下手时，可以采用退的方法，在较为简单的情况下，通过观察归纳逐步找到一些规律，从而达到解决问题的目的，也就是“化难为易”的数学思想方法。（板书：化难为易）
师：今天，我们就用这种数学思考的方法找出规律，帮助我们解决一些复杂的数学问题。（板书课题：找规律）
二、合作探究，发现规律
1、引领探究
过渡：这么多的点，退到几个点连线最容易呢？（两个点）
我们就从两个点开始，依次增加点数，看点数与增加的线段条数以及总条数有什么关系（板书：点数、增加条数、总条数）
两个点之间能连几条线段呢？（师连线板书：2
1）
增加一个点，现在是3个点，会增加几条线段呢?(指名学生连线)
增加了两条线段（板书：2）为什么3个点时会增加两条线段呢?
指名学生回答，师补充：因为之前有两个点，让第三个点分别与前两个点相连就增加了两条线段。为了更清楚地看出增加的线段条数，也为了不重复不遗漏，我们可以从增加的点向其他几个点连线段，数学上要进行有序思考。（板书）
3个点时总线段条数是多少条？（3条）我能用算式1+2表示吗?为什么？1表示什么？2表示什么？（指名学生到前面指出）
2、动手操作，探究规律
过渡：如果是4个点，又增加了几条线段?总线段条数怎样计算？5个点呢？
请同学们继续往下探究，同桌两人合作，一人连线段，一人填表，完成后说一说增加的条数与点数有什么关系？总条数的计算有什么规律?如果不能发现规律，可以继续增加点数再观察找规律。
3、交流汇报，分享规律
指名两个同学，一人画图介绍，一人板书。
追问：为什么4个点时增加的了三条线段？1+2+3三个数字分别表示什么？
指名学生说规律：增加的线段条数都比点数少1；总条数计算时都是从1开始的连续自然数相加，一直加到比点数少1的数。
4、运用规律解决问题
8个点能练成多少条线段？20个点呢？
n个点一共能连出多少条线段呢？（指名学生写出n个点连成的线段总条数计算方法，其他同学在练习本上写）
师：当n等于12时怎么计算总条数？n等于200呢？我们通过逐步增加点数找到了这样的规律，但是这么长的算式计算起来方便吗？数学追求精炼、高效。我们能不能再找一个规律，使它计算起来也更快捷呢？
5、其他规律
我们还从简单的五个点来连一连，找一找规律。
师课件演示连线，学生观察找规律。得出：5×（5－1）÷2
用这个方法6个点能连成多少条线段？10个点呢
生汇报：6×（6－1）÷2=15（条）
10×（10－1）÷2=45（条）
你发现规律了吗？总结：点数×（点数-1）÷2
如果用n表示点数，这个规律怎么表示呢？指名回答师板书：n
(n-1)
÷
2
在这个过程中我们看到图形抽象出了数，看到数想到了图形，这又用到了什么数学思想方法呢？生答，师板书：数形结合
现在你能快速算出100个点能连出多少条线段了吗?
生计算后汇报。两种方法解决。
师总结：看来同一个问题有不同的解题策略。
6、总结解决问题的方法
今天我们在解决这个问题时，都用到了哪些数学方法?
总结数学方法：化难为易、数形结合、有序思考、列表枚举、观察归纳
师适时板书：枚举列表、观察归纳
过渡：同学们，在我们的学习过程中，有很多看似复杂的问题，我们都可以尝试从简单的问题去思考，运用多种数学思考方法，逐步找到规律来解决复杂的问题。
三、综合练习，提升思维
1、亚洲杯足球赛一共有16个参赛队，如果第一轮每两个球队都进行一场比赛，第一轮一共要组织多少场比赛？
师：这个和刚才数线段的问题有什么相同之处？
生找出联系后独立完成、汇报。
2观察下图，想一想。
（1）第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？
（2）第n幅图有多少个棋子？
问题：
你想怎样解决这个问题？
生找出规律解决问题
汇报、交流。
四、全课总结
这节课你有什么收获?
学生说收获。
师总结：今天我们通过眼睛观察、动手操作、动脑思考，找到了解决问题的规律，更重要的是我们学会了把复杂的问题转化成简单的问题，发现规律、运用规律，让规律为我们的学习生活服务，我们要善于运用这些数学思考的方法，帮助我们解决更多的数学问题。
板书设计：
找规律
点数
增加条数
总条数
化难为易
2
1
数形结合
3
2
1+2
有序思考
4
3
1+2+3
列表枚举
5
4
1+2+3+4
观察归纳
…
…
…
n
n-1
1+2+3+4+…+(n-1)
=n(n-1)÷2数学思考
一、教材内容分析
这节课是六年级下册整理和复习中“数与代数”其中一个重要内容,本节课教材呈现的规律的一般化表述是:以平面上几个点为端点,通过相互连接得到多少条线段。这种以几何形态显现的问题,便于学生动手操作,通过动手画图,由简单到繁杂最后发现规律，找到解决问题的方法。
二、教学目标
1、通过学生的观测和探索，学生能过找到数线段的方法。
2、在教学的过程中将“化难为易”的数学思考地方法灌输其中。通过规律使
复杂的问题简单化。
3、培养学生的归纳推理探索规律的能力。
教学重点：引导学生发现规律，找到数线段的方法。
教学难点：学会用“化难为易”的数学思想方法解决较复杂的问题。
三、学习者特征分析
本班学生具有一定的认知水平，他们好奇心强，具有创新和知识的迁移能力。
四、教学策略选择与设计
在探讨总线段数的算法时，同样延用从简到繁的思考方法，先探究3个点时总线段数怎么计算，之后列出4个点和5个点时总线段数的算式，让学生观察发现这些算式的共有特征：都是从1依次加到点数减1的那个数，从而让学生明白总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。接着让学生用已建立的数学模型去推算6个点，8个点时一共可以连成多少条线段。这样既巩固算法，同时还回应了课前游戏的设疑。最后拓展提升，还原生活，去解决生活中的实际问题。整个过程都在逐步地让学生去体会化难为易的数学思想，懂得运用一定的规律去解决较复杂的数学问题。
五、教学环境及资源准备
学生准备：直尺、铅笔、数字卡片、扑克一副
教师准备：小黑板、直尺、彩笔
六、教学过程
教学过程
教师活动
预设学生行为
设计意图及资源准备
一、创设情境，提出问题
二、师生合作、探究规律
三、课内活动、加深理解
四、拓展延伸，巩固提高
五、课后练习、巩固提高
1、
同学们！你还记得在幼儿班里学过的拍手歌吗？学生齐声回答（记的）。那两位同学愿意上来表演一下（学生争先恐后）。
2、
配音乐教师：那位同学通过刚才的节目看到两位同学的表演一共拍了几次手。
2、这个游戏体现了数学思想方法的魅力，用数学的思想方法来思考问题往往能够使问题化难为易，帮助我们解决实际的问题。今天我们再一次来体会这些数学思想方法的魅力（板书课题）。
1、教师：通过一个点能够画出多少条直线？
教师：通过两个点能够画出多少条直线？
教师：通过两个点能够画出多少条线段？
（出示表格）
教师：通过不在同一条直线上的三个点能够画出多少条线段？
教师板书：3个点连成线段的条数：1+2=3（条）
教师：通过不在同一条直线上的四个点能够画出多少条线段？
教师板书：4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条）
教师：通过不在同一条直线上的五个点能够画出多少条线段？
教师板书:5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条）
通过以上可以见得：
3个点连成线段的条数：1+2=3（条）
4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条）
5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条）
6个点连成线段的条数：1+2+3+4+5=15（条）
7个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6=21（条）
8个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6+7=28（条）
……………
n个点连成线段的条数：1+2+3+4+….+（n-1）（条）
你发现了有什么规律吗？
1、从你准备的1—9张卡片中任意抽取两张可以组成多少个不同的两位数。结论：1+2+3+4+5+6+7+8=36（种）
36×2=72（种）
2、从你准备的扑克中将同种颜色的1—k十三张牌中任意抽取两张可以有多少种不同的抽取方法。结论：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（种）
1、找规律，填数字
3,9,11,17,20,
26,
30
，36,41,......
+6
+6
+6
+6
方法：3→9→11→17→20→26→30→36→41，......
+2
+3
+4
+5
2、
找规律，巧计算
1、练习十八第1题（2）。通过观察找到规律，应从多方面、多角度加以思考，规律的正确性多用几个数字进行验证。
2、练习十八第2题。采用小组讨论的方式，用自己带的火柴棒来摆试，然后说出规律。
3、二十年后本班同学聚会
,每2位同学握手1次,大家一共要握多少次手?
两位学生上台表演。
学生回答：六次。
学生：无数条。
学生：1条
学生：3条
学生：6条
学生：10条
生：2个点连1条线段，增加一个点，就增加了2条线段，1＋2＝3（条），所以3个点就连了3条线
每多一个点增加的条数有什么规律？（每增加一个点增加的条数比前一个点增加的条数多1）
总的条数有什么规律？（总的条数等于从1到比点数少1的自然数的和）
学生分组讨论。
学生思考举手回答
学生思考举手回答
设计意图：让学生从2个点开始连线，逐步经历连线过程，随着点数的增多，得出每次增加的线段数和总线段数，初步感知点数、增加的线段数和总线段数之间的联系。
2.
观察对比，发现增加线段与点数的关系。
在经历了丰富的连线过程之后，整体观察和对比表格中的数据，从而进一步发现每次增加条数就是点数－1，为后面推导总线段数的算法做好铺垫
板书设计：
数学思考
例5.
6个点可以连成多少条线段？8个点呢？
3个点连成线段的条数：1+2=3（条）
4个点连成线段的条数：1+2+3=6（条）
5个点连成线段的条数：1+2+3+4=10（条）
6个点连成线段的条数：1+2+3+4+5=15（条）
7个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6=21（条）
8个点连成线段的条数：1+2+3+4+5+6+7=28（条）
……………
n个点连成线段的条数：1+2+3+4+….+（n-1）（条）【教学内容】六年级下册第100页例数学思考。
【教学目标】
1.引导学生利用所给出的图形和数字，探索其中蕴含的规律，知道运用数学思想的方法，使题目化难为易，帮助解决问题。
2.让学生经历猜测——找规律——验证规律——运用规律的过程，形成解决问题的基本策略；发展学生的逻辑思维能力。
3.进一步体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于实践、勇于探索的科学素养。
【教学重点】能用找规律、有序排列等数学的思想方法解决复杂的数学问题。
【教学难点】学生对数、形的直观感觉以及对问题所蕴含的数学思想方法的领会与体验。
【教学过程】
一、开门见山，引领思维
1.同学们，都说数学是思维的体操，我们就来先做一做思维的体操请你找一找下面图形、数字中规律。
①★◇◎★◇◎★◇◎??????????
②1，2，3，5，,8，
(???
)，(????
)
③
2，4，8，16，(???
)，
64，(????
)
揭示：通过观察、猜想、验证等方法能帮助我们很快找到规律，发现规律能解决许多复杂的数学问题。
2.
找规律是我们在“数学广角”中学习的在小学六年的数学学习中，我们在“数学广角”中学习了很多有趣的内容，掌握了许多数学思考的方法。让我们通过主题图一起回顾一下!（多媒体出示）
【评析：课始开门见山，引导学生针对图形、数列；找出规律、归纳属性，寻找理由，进行分析、综合推理论证，初步映现了一些数学思想方法；接着一幅一幅主题图的呈现，唤醒学生对美妙的“数学广角”知识的记忆，让学生明确了本节课复习内容的范围，又激起了学生的认知冲突和学习欲望。】
二、合作学习，探究规律
（一）直接设疑，引发猜想：
1.这么多的数学方法是我们学好数学的好帮手！今天我们就一起走进数学思考的殿堂，（板书课题：数学思考）。让各位同学挑战一下自己的思考力！
我们经常说到“两点一线”表示什么意思？开动脑筋思考一下：平面内，100个点可以连多少条线段？
2.这道题确实有点难，“难”你们怕不怕？（同时板书：难）。
【评析：数学课程标准指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考。教师抛出的“平面内，100个点可以连多少条线段？”问题，无疑引发学生产生了一种急于解决却又不知如何解决的认知冲突，引发学生“着急”的思考，积极调动知识库中的数学思想方法参与学习，为后续教学埋下了思维饱满的种子。】
（二）逐层探究、发现规律：
1．从简到繁，引出方法：
看来100个点确实有点多？如果点的个数减少，我们能否解决？多少个点最好解决？
板书：化难为易
2．自主探究，合作交流：
思考：怎样能让自己也让别人清晰地看到你的思考过程呢？
生分组探究，师巡视关注学生探究情况，同时注意收集学生研究的信息。
3．汇报交流，验证规律：
（1）交流反馈：生分两人一小组分别介绍：3点、4点、5点时所连线段的条数，并作好科学的记录。
2个点：??????????
1条
3个点：?????
1+2=3条?????
（这个2表示什么？）
4个点：??????
1+2+3=6条???
（这个3表示什么？）
5个点：?????
1+2+3+4=10条
生交流第三种情况时，师在黑板上配合讲解，可请一、二位学生上台画。
追问：为什么第一个点连的是3条，而不是4条？
出示例题表格：分别该填几？
点数
?
?
?
?
?
?
?
增加的条数
?
?
?
?
?
?
?
总条数
?
?
?
?
?
?
?
（2）概括规律：请大家认真的观察上面的算式，你发现了什么？
（3）验证规律：根据同学们发现的规律，那么6个点、8个点我们如何列式呢？学生画图验证规律的正确性。
（4）推广规律：那么现在大家能解决我们开始的难题了吗？
（5）提升规律：如果有
n个点，可以连多少条线段？
学生说，师板书：n个点共连
（n-1）+(n-2)+…+2+1
n可以表示什么数？（n表示大于或等于2的自然数。）
如果用字母n（n≥2的自然数）表示点数，线段的条数用算式怎么表示？
(6)归纳小结：复杂问题不容易解决，我们就从简单问题入手，有序思考，通过比较、分析，找到规律，然后运用规律解决复杂问题。这种化难为易的方法是一种很好的解题策略。
【评析：新课标指出：数学知识只有通过学生亲身主动地参与及自主探索，才能转化为学生学生自己的知识。让学生画图、计算线段数量、概括抽象规律，这一系列的演绎过程，都在逐步地让学生去体会化难为易、模型、数形结合等数学思想，并能运用一定的规律去解决较复杂的数学问题。】
三、梳理建构，完善认知
在化难为易的过程中，最重要的就是通过有序思考，寻找规律。在过去的数学学习中，我们已经学过许多找规律的问题。请同学们观察这节课中的找规律可以分为哪几类？(课件集中出示引入的6题、及例5表格)
汇报：
预设一：图形规律、数字规律、数形结合规律
预设二：重复规律(循环规律)
、递增(减)规律、关系规律、例5
(机动：学生汇报后，结合课件，讲解植树问题、烙饼问题、找次品等解决问题时化难为易的思考方法。)
【评析：学生从课前的图形规律、数字规律、数形结合规律……在最终进行一次梳理分类，使学生从联系中建构了分类、概括的数学思想方法，完善了认知结构，洞悉了知识间的内在联系。】
四、化难为易
推广运用
1.计算中的规律：
出示:111111111×111111111＝(??
),你能直接口答吗?
再出示:
1×1=1、11×11=121、111×111=12321、1111×1111=1234321，
现在你能发现什么规律，能口答计算结果吗？
2.图形中的规律
①接着摆下去，第六个是什么图形？摆到第七个图形时要用多少根小棒？
②练习十八第3题：多边形的内角度数与边数的关系。
【评析：反馈学习的内容具有较强的目的性和针对性。教师紧紧抓住本节课的重点数学思想方法设计，引导学生进行训练，让化归、演绎等数学方法在孩子心中茁壮成长。】
五、总结反思，评价体验
通过这节课的复习，你有什么收获？你觉得自己学的怎么样？
（评析：引导学生回顾与反思学习过程，进一步梳理知识，优化认知，感悟数学思想方法，从学会走向会学。）数学思考教学设计
【教学目标】
知识与技能：
1．重视“数”“形”之间的联系，找到解题规律。
2.引导学生探究算式左边的加数与大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数的关系，发现“数”“形”之间的联系，找到其中的规律，使学生在体验用形表示数的直观性的同时，学会应用规律解决问题。
过程与方法：
1.借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
2.使学生在初步了解、运用“数形结合”思想方法的同时，体验到数学的极限思想。
情感态度价值观：
在巩固练习时，充分利用教材习题，引导学生在解决问题时能举一反三地运用所学，使学生的解题能力得到培养。
【教学重难点】
重点：借助“数”“形”之间的关系，解决相关问题。
难点：体验到数学的极限思想。
【教具准备】
教具：PPT课件
学具：完全相同的小正方形纸卡若干
【教学过程】
一、问题导入。
1．课件出示问题。
计算出结果。你发现了什么？
2.出示课题：数与形。
二、探究新知
1．教学例1。
(1)课件出示例题。
看图，把算式补充完整。
1＝( )
2 1＋3＝( )
2 1＋3＋5＝( )
2
(2)看图与算式，总结发现。
①观察、讨论。
仔细观察，看一看上面的图形和算式左边有什么关系？
②汇报发现。
发现三：算式左边的加数和正好等于大正方形中每行(或每列)的小正方形个数的平方。
[算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和，正好是每行(或每列)小正方形个数的平方]
(3)
运用规律解决问题。(可借助学具摆一摆)
①1＋3＋5＋7＝( )
2 (1＋3＋5＋7＝42)
②1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝( )
2 (1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72)
③____________________＝92 (1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝92)
（4）当堂练习：第108页的做一做第1题。
2．教学例2。
(1)课件出示例2。
(2)观察、试算、发现规律。
①观察算式中加数的特点，你有什么发现？
②分步算一算，你有什么发现？
(3)数形结合，验证规律。
①引导验证：你发现的规律成立吗？请结合图示进行验证。
②汇报、交流。
a．结合圆的面积验证：用一个圆的面积表示单位“1”，则原算式可表示为：
b．结合线段图验证：用一条线段表示单位“1”，则原算式可表示为：
(4)
明确结论。
(5)交流对用“数形结合”的方法解决问题的感悟。
三、巩固练习
1．完成教材108页2题。
[第6个图形：红色6
个，蓝色18个；
第10个图形：红色10个，蓝色26个
。根据图示可知：红色小正方形的个数与图形的序数(第几个)相同，蓝色小正方形的个数＝(图形的序数＋2)×3－图形的序数或蓝色小正方形的个数＝(图形的序数＋2)×2－2]
2.计算出结果。
3.完成练习二十二的第6题。
四、课堂总结
通过本节课的学习，你学会了哪些解决问题的方法？数学思考1
教材分析：《数学思考》是人教版六年级下册总复习中的内容，本课时的教学是在学生对找规律已经有了一定的认识的基础上进行教学的。从一年级下册开始，每册都安排有一个单元“找规律”或“数学广角”的内容。其中找规律是让学生探索给定的图形或数字中简单的排列规律。本课时的教学旨在通过学生动手操作，观察比较，分析归纳其中的规律，发展合情推理思想。
教学内容：人教版义务教育教科书第12册第100页例1
教学目标：
1.
使学生通过观察、比较、分析、归纳等过程，理解点与点之间连线段的内在规律，掌握正确计算线段数的方法。
2.
渗透“化难为易”的数学思想方法，形成解决问题的基本策略，发展学生的合情推理能力和问题解决能力。
3．使学生进一步体会数形结合思想，感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。
教学重点、难点：
教学重点：
引导学生发现规律，找到数线段的方法，渗透化难为易的数学思想方法。
教学难点：
搞清规律的算理，能自主地运用化难为易的数学思想方法来解决问题。
教具、学具准备：多媒体课件，学生作业纸
教学过程：
一、情境引入，激发兴趣
1.出示G20峰会图片
师：这是一场举世瞩目的盛会，2016年在杭州举办。这是来自世界各国的领导人，为了表示友好和礼貌，他们见面通常会怎么做？（握手问好）那么问题来了：这37位领导人，每两个人握一次手，一共要握几次手呢？（学生猜测回答）
师：到底谁想法是对的呢？这节课我们一起来研究。不过这个问题看起来比较复杂，我们以前研究比较难的问题，通常会怎么做？（引导学生：先从简单的开始研究）
2.介绍华罗庚的“知难而退”。出示PPT，学生齐读。
数学家说“知难而退”是什么意思呢？（碰到比较难的问题，先从简单的开始研究，寻找出规律，再运用规律来解决比较难的问题。）
板书：化繁为简
师：这节课我们就用这样的数学思想方法来解决问题。
3.出示课题：数学思考
【设计意图】从G20和金砖会议领导人握手的话题引入，以调动学生学习的兴趣和积极性，为探究“化难为易”的数学思想方法埋下伏笔。
二、自主探究，发现规律
1.学生活动，初步感知
师：37个，人数太多了，那我们就先来研究金砖五国领导人的握手情况。
师：请几位同学当助手。表演开始，请仔细观察。（板书：观察）
生1和生2握手，问：他们两人见面，握了几次手？（1次）
生3上台，分别和生1、生2握手，问：生3上来握了几次手？
生4上台，师：生4要握几次手？（3次）分别和谁握手？
师：生5上台，他得握几次手？（4次），一共五个人，为什么他只握4次手？
原来的几位领导为什么不再握了呢？
师：
观看了刚才的活动，你有什么发现？（每个人上去的人都要和原来的人握手。）
【设计意图】通过学生表演，把抽象的数学方法直观地展示给学生，一方面调动学生的注意力，另一方面让学生在体验中理解，感悟，降低了学生的思维难度。
2.自主探究，由直观到抽象
（1）师：刚才握手的过程,如果用图怎么表示呢？
师：我们可以用每个小圆点代表1个人，2个小圆点就代表2个人。用线段表示握手，一条线段表示握一次手。为了方便，我们给每个点加上字母（师课件示范）。
在两个点的基础上再增加一个点，3个点又能连出几条线段？（1+2）
问:表格中的2表示什么？3又表示什么？再增加一个点，变成4个点，怎样连？线段条数又会增加几条，总条数又有几条？变成5个点，又怎样连呢？再增加一个点，变成6个点呢？（学生推理，画在书上并汇报，课件演示，填表。）
（2）课件演示，并填写表格。
点数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
增加条数
2
3
4
5
线段总条数
1
3
6
10
15
（3）师：如果点数不断增加，我们需要一直连下去吗？点数和线段之间有没有什么规律？请同学们结合表格中的信息，进行观察比较，再把你的发现和小组同学说一说。
（生：随着点数的增加，线段条数也依次增加。）
线段条数的变化有什么规律？（生：每增加一个点，线段依次增加2条、3条、4条……）（每格的2、3、4依次变红色）
质疑：为什么点数是一个一个增加，线段条数却是2条3条4条递增呢？（引导学生明确：新增加的点要与之前的点分别相连。所以在原有基础上分别增加了2条、3条……）
师：按照你们发现的规律，那7个点又会新增几条线段？8个点呢？9个点呢？
板书：增加条数=点数-1
4.归纳线段条数的计算规律
师：请同学们再次观察表格，3个点能连3条线段，用算式怎样表示？（板书：1+2=3条）
现在，4个点时，5个点时，分别能连多少条线段，用算式又是怎样表示的？
生：4个点：3+3=6
追问：这两个3分别是什么意思？
板书：
4个点时：1＋2＋3＝6（条）
5个点时：1＋2＋3＋4＝10（条）
6个点时：
1＋2＋3＋4+5＝15（条）
8个点时：
1＋2＋3＋4+5+6+7＝28（条）（板书）
师：如果是8个点，不连线，一共可以连多少条线段呢？为什么要加到7为止？用什么好方法这么快就算出来了？
（预设两种方法，一种直接计算，另一种用（首项+末项）×项数÷2）重点理解“项数”“÷2”的由来。怎样计算更方便？
归纳：观察这组算式，你又能发现什么规律呢？（同桌交流）
生：这里每一道算式都是一组从1开始的连续自然数之和。
生：计算总线段数其实就是从1开始加2，加3，加4，一直加到比点数少1的数。
追问：你说的点数减1的那个数其实是什么数？
生：就是每增加一个点时，增加的线段数。
师：谁能用自己的语言归纳一下，要求线段的总条数，怎样列式？（板书：归纳）
只要知道点数是几，就可以从1开始，一直加到比点数少1的那个数为止，所得的和就是线段总条数。
师：现在，大家能用我们发现的这个规律，来解决G20峰会的问题吗？
37个点能连出几条线段呢？该怎样列式？
生：1＋2＋3＋……+35+36＝（36+1）×36÷2（条）
师：为了书写方便，我们写出前面的2-3个数字后，中间的我们可以用省略号来代替。怎样计算更方便？
师：如果点数继续增加，你还能很快说出算式吗？全校有1156个学生，那就有1156个点呢？
n个点连成的线段又该怎样表示呢？（小组讨论）
n个点：1＋2＋3＋…（n－1）理解算式的含义：从1开始（n－1）个连续自然数的和。
这个式子又是怎样计算的？
即1＋2＋3＋……+（n－1）＝n（n-1）÷2
师：今天，我们发现的点数和线段之间的规律就可以用这个算式来表示。
5.归纳小结，提炼方法。
师：请大家回顾一下，在刚开始我们觉得37个点,连成多少条线段？这个问题太难了，现在多少点都难不住大家了，这是为什么呀？我们是怎么找到规律的？
回顾方法：我们刚才在解决问题过程中，用到了一个非常重要的思想方法，那就是“化繁为简”，从2个点最简单的例子开始，通过观察，比较，分析，找出规律，然后归纳出一个结论，最后解决问题，这是一种推理的思想方法。（板书：推理）
【设计意图】在经历了丰富的连线过程之后，让学生观察表格及算式，使学生通过数形结合，同时用从简到繁的思考方法及时发现更多个点连成的线段总条数。接着让学生用已建立的数学模型推算n个点连成线段条数的算式，并从计算中发现简便算法。使学生获得的感性认识上升到理性思考。整个过程都在逐步的让学生体会化繁为简，化难为易的数学思想，懂得运用规律解决较复杂的问题。
三、运用规律，尝试解答
师：下面请同学们接受挑战，用今天所学的思想方法来解决生活中的数学问题，有信心吗？
1.
2016年湖里区小学生足球比赛，甲组有9支参赛队伍，每两支队伍踢一场比赛，一共要踢几场？
2.摆桌椅：天安小学的食堂分别按图中的两种方式继续排列桌椅，
10张桌子最多能坐多少人？如果你是校长，你会选择哪种摆法？请说明理由。
第1种摆法：
第2种摆法：
3.天安小学举办图书漂流会，一个学习小组有15人，互送图书，若每两人之间互送一本，一个小组可以交流图书多少本？
15×（15-1）=210（本）
【设计意图】练习的设计全部来自学生身边的生活实际问题，让学生感受数学与生活的联系。设计不同层次的练习，让学生熟练运用所学的规律解决问题，巩固知识。在变式练习中，让学生学会用所学的数学方法寻找规律，使学生的思维得到拓展。达到发展学生的合情推理能力和问题解决能力的目的。
四、全课总结
师：通过今天这节课的学习，说一说你有什么收获？
师：今天，我们团结协作，通过观察、比较、分析，找到了解决问题的规律。更重要的是我们学会了从简单问题入手找出规律，解决复杂的问题。让规律为我们的学习和生活服务。在数学上像这些有规律的问题还有很多，只要同学们喜欢数学，爱数学，多研究，你一定会有许多神奇的发现。
五、板书设计
数学思考
化繁为简
数形结合
增加条数=点数-1
(
推理
)
8个点：1＋2＋3＋4+5+6+7＝28（条）
37个点：1＋2＋……+35+36
＝
（1+36）×36÷2
观察
……
比较
n个点：1＋2＋3＋……n＝（n-1）n÷2
分析
归纳数学思考1
复习内容：课本例5
复习目标：
使学生学会用数学的思想方法解决问题，形成一些基本的策略，发展实践能力和创新精神。
2.积累一些解决问题的经验与方法，能顺利地解决生活中复杂的数学问题。
3．让学生进一步体验到用数学的思想解决问题的重要性，并从中体会到数学的乐趣。
复习重点：
能用找规律、有序排列等数学的思想方法解决复杂的数学问题。
复习难点：
不同问题的规律性，以及思考的顺序
谈话导入
在解决生活问题的时候，我们要动脑思考，那么数学问题更要动脑思考，找到好方法来解决，这样的好方法就叫“策略”。板书：策略
数学本身和生活是紧密相联的，我们今天就来解决各类数学问题。板书课题：数学思考一
探究新知
教学例5
我们经常说到“两点一线”表示什么意思？
那么6个点可以连接成多少条线段？
让生连一连。
2.
让生谈谈连线后的感受。
如果是8个点，10个点，甚至更多的点分别可以连接成多少条线段呢？用连线的方法方便吗？
3.
有什么好方法解决这个问题呢？让生说一说。
怎样找规律？
让学生说说自己的方法。
4．让学生围绕思考题解决问题。课件显示思考题：
（１）连一连．从２个点开始连成一条线段，增加一个点，就增加＿条线段；再增加一个点，又增加了＿条线段…
…
（２）你有什么发现？
（３）６个点可以连接成多少条线段？
８个点呢？２０个点呢？
5.
学生先独立思考、解决，再在小组内交流
6.
汇报，课件显示点数、增加的线段的条数、线段的总条数。
教师适时提问：3个点共连接成几条线段，用算式怎么表示？（1+2=3
条）
2表示什么？
4个点共连接成几条线段，用算式怎么表示？（1+2+3＝6
条）
3表示什
么？
??
算一算，20个点共可连接成多少条线段？
如果用字母n（n≥2的自然数）表示点数，线段的条数用算式怎么表示？
让学生回顾解决这个问题的思维过程，以及自己的体会。感受到用数学的思想解决问题的重要性。
训练思维
课件显示
摆一摆
找规律
(1)第6个图形是什么图形?
(2)摆第7个图形需要用多少根小棒?
第20个呢?
第100个图形是什么样的？第n个图形共需多少根小棒？
小结：同学们，再碰到像这样繁杂的计数问题，你会想到怎样解决？
板书：找规律计算，这是很好的解决问题的策略，回为它运用的是种数学的思想方法（教师板书：数学思想方法）
三．巩固练习
四．课堂总结
让学生说说自己的体会或收获
教师说明：将来的学习中，我们会积累更多的解决数学问题的策略，只要我们拥有一份数学的思想，很多复杂的问题就会化难为易，迎刃而解！
