中小学教育资源及组卷应用平台
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(
12.4
综合与实践
一次函数模型的应用（重点练）
)
1.
某村庄计划建造，两种型号的沼气池共个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积和可供使用农户数见下表：
型号
占地面积
（单位：个）
可供使用农户数
（单位：户/个）
已知可供建造沼气池的占地面积不超过，该村农户共有户．
如何合理分配建造，型号“沼气池”的个数才能满足条件？满足条件的方案有几种？通过计算分别写出各种方案．
若型号“沼气池”每个造价万元，型号“沼气池”每个造价万元，请写出建造、两种型号的“沼气池”的总费用和建造型“沼气池”个数之间的函数关系式；
试说明在中的各种建造方案中，哪种建造方案最省钱，最少的费用需要多少万元？
【答案】
解：设该村计划修建种沼气池个，则修建种沼气池个，
由题意，得
，
解得：，
∴
，
∵
为整数，
∴
，，．
∴
有种修建方案：
方案，修种沼气池个，种沼气池个，
方案，修种沼气池个，种沼气池个，
方案，修种沼气池个，种沼气池个．
设该村计划修建种沼气池个，则修建种沼气池个，
由题意，得
由得，
∵
，
∴
随增大而减小，
∴
当时，的值最小，此时（万元）．
故建造型沼气池个，建造型沼气池个最省钱，最少的费用需要万元．
【考点】一次函数的应用，根据实际问题列一次函数关系式，一元一次不等式组的应用
【解析】设该村计划修建种沼气池个，则修建种沼气池个，根据沼气池的占地面积和该村农户的数量建立不等式组求出其解即可．
【解答】
解：设该村计划修建种沼气池个，则修建种沼气池个，
由题意，得
，
解得：，
∴
，
∵
为整数，
∴
，，．
∴
有种修建方案：
方案，修种沼气池个，种沼气池个，
方案，修种沼气池个，种沼气池个，
方案，修种沼气池个，种沼气池个．
设该村计划修建种沼气池个，则修建种沼气池个，
由题意，得
由得，
∵
，
∴
随增大而减小，
∴
当时，的值最小，此时（万元）．
故建造型沼气池个，建造型沼气池个最省钱，最少的费用需要万元．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次方程组的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件建立不等式组是关键．
2.
一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早小时，轿车比卡车每小时多行驶千米，两车到达甲城后均停止行驶，两车之间的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：
请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；
求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点的坐标；
请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.
【答案】
解：由图象可以看出，甲城和乙城之间的路程为千米，
设卡车的速度为千米/时，则轿车的速度为千米/时，
由点得，，
解得，
∴
，
∴
轿车和卡车的速度分别为千米/时和千米/时.
卡车到达甲城需（小时），
轿车从甲城到乙城需（小时），
则（小时）
∴
轿车在乙城停留了小时，
当时，此时两车距离是行驶过程中最大的，
此时轿车在乙城，卡车距离乙城千米，
则点的坐标为.
．
【考点】一次函数的应用，根据实际问题列一次函数关系式
【解析】
（1）根据图象可知甲城和乙城之间的路程为千米，设卡车的速度为千米/时，则轿车的速度为千米/时，由可得
可得结果；
（2）根据（1）中所得速度可得卡车和轿车全程所用的时间，利用卡车所用的总时间减去轿车来回所用时间可得结论；
（3）根据可得结果．
【解答】
解：由图象可以看出，甲城和乙城之间的路程为千米，
设卡车的速度为千米/时，则轿车的速度为千米/时，
由点得，，
解得，
∴
，
∴
轿车和卡车的速度分别为千米/时和千米/时.
卡车到达甲城需（小时），
轿车从甲城到乙城需（小时），
则（小时）
∴
轿车在乙城停留了小时，
当时，此时两车距离是行驶过程中最大的，
此时轿车在乙城，卡车距离乙城千米，
则点的坐标为.
．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合得出函数解析式是解题关键．
3.
随着网络电商与快递行业的飞速发展，越来越多的人选择网络购物．“双十一”期间，某网店为了促销，推出了普通会员与会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购商品的金额不超过元，客户还需支付快递费元；如果所购商品的金额超过元，则所购商品给予折优惠，并免除元的快递费．会员的收费方式是：缴纳会员费元，所购商品给予折优惠，并免除元的快递费．
请分别写出按普通会员、会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式；
某网民是该网店的会员，计划“双十一”期间在该网店购买元的商品，则他应该选择哪种购买方式比较合算？
【答案】
解：普通会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式为：
当时，；
当时，.
会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式为：
.
当时，
解得：；
当时，；
当时，.
∴
当购买的商品金额时，按普通会员购买合算；
当购买的商品金额时，按会员购买合算；
当购买商品金额时，两种方式购买一样合算．
【考点】一元一次不等式的实际应用，一次函数的应用，根据实际问题列一次函数关系式
【解析】
根据题意列出普通会员、会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式即可；
根据题意列出不等式，进而解答即可．
【解答】
解：普通会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式为：
当时，；
当时，.
会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式为：
.
当时，
解得：；
当时，；
当时，.
∴
当购买的商品金额时，按普通会员购买合算；
当购买的商品金额时，按会员购买合算；
当购买商品金额时，两种方式购买一样合算．
【点评】本题考查了一次函数的运用，运用一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
4.如图，某条公路上依次有、、、四个生活小区，，，．为方便给四个生活小区的居民送纯净水，现计划在这公路上，之间修建一个送水站，规则如下：
①根据各小区居民的用水需求量，每天需要为小区送水次，为小区送水次，为小区送水次，为小区送水次．
②每次只能为一个小区送水，每次送水后均要返回送水站．
设送水处到小区的路程为，每天送水所行驶的总路程为.
当时，解答：
①求每天送水所行驶的总路程与的关系式；
②送水站建在什么位置，每天送水所行驶的总路程最短，最短总路程是多少？
当取何值时，每天送水所行驶的总路程与无关，并求出此时所行驶的总路程.
【答案】
解：①当时，点到的距离为，
则点到小区的距离为，到小区的距离为，
到小区的距离为，
根据题意可得，.
②要使路程最短，则最小，
∴
当，即在点时，总路程最短为.
，
当时，与无关，
此时，即此时所行的总路程是.
【考点】一次函数的应用，根据实际问题列一次函数关系式，两点间的距离
【解答】
解：①当时，点到的距离为，
则点到小区的距离为，到小区的距离为，
到小区的距离为，
根据题意可得，.
②要使路程最短，则最小，
∴
当，即在点时，总路程最短为.
，
当时，与无关，
此时，即此时所行的总路程是.
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1.
某村庄计划建造，两种型号的沼气池共个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积和可供使用农户数见下表：
型号
占地面积
（单位：个）
可供使用农户数
（单位：户/个）
已知可供建造沼气池的占地面积不超过，该村农户共有户．
如何合理分配建造，型号“沼气池”的个数才能满足条件？满足条件的方案有几种？通过计算分别写出各种方案．
若型号“沼气池”每个造价万元，型号“沼气池”每个造价万元，请写出建造、两种型号的“沼气池”的总费用和建造型“沼气池”个数之间的函数关系式；
试说明在中的各种建造方案中，哪种建造方案最省钱，最少的费用需要多少万元？
2.
一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早小时，轿车比卡车每小时多行驶千米，两车到达甲城后均停止行驶，两车之间的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：
请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；
求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点的坐标；
请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程（千米）与轿车行驶时间（小时）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）.
3.
随着网络电商与快递行业的飞速发展，越来越多的人选择网络购物．“双十一”期间，某网店为了促销，推出了普通会员与会员两种销售方式，普通会员的收费方式是：所购商品的金额不超过元，客户还需支付快递费元；如果所购商品的金额超过元，则所购商品给予折优惠，并免除元的快递费．会员的收费方式是：缴纳会员费元，所购商品给予折优惠，并免除元的快递费．
请分别写出按普通会员、会员购买商品应付的金额（元）?与所购商品（元）之间的函数关系式；
某网民是该网店的会员，计划“双十一”期间在该网店购买元的商品，则他应该选择哪种购买方式比较合算？
4.如图，某条公路上依次有、、、四个生活小区，，，．为方便给四个生活小区的居民送纯净水，现计划在这公路上，之间修建一个送水站，规则如下：
①根据各小区居民的用水需求量，每天需要为小区送水次，为小区送水次，为小区送水次，为小区送水次．
②每次只能为一个小区送水，每次送水后均要返回送水站．
设送水处到小区的路程为，每天送水所行驶的总路程为.
当时，解答：
①求每天送水所行驶的总路程与的关系式；
②送水站建在什么位置，每天送水所行驶的总路程最短，最短总路程是多少？
当取何值时，每天送水所行驶的总路程与无关，并求出此时所行驶的总路程.
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