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第二章
一元二次函数、方程和不等式
第1节
等式性质与不等式的性质
基础巩固
1．（2020·河北枣强中学高二期中）若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，，∴．
又∵，∴有可能相等．
2．（2020·贵州省高二学业考试）若a<0，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．a-b>0
D．|a|>|b|
【答案】D
【解析】令，
则，所以AB选项错误，
，所以C选项错误，
由于根据绝对值的几何意义可知，所以D选项正确.
3．（2020·浙江省高一期末）已知，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：由题可知，，
对于A，当时，此时，故A错误；
对于B，由于，则，所以，故B正确；
对于C，当时，此时，故C错误；
对于D，由于，当时，则，故D错误.
4．（2020·天津市第五中学高二期中）下列不等式推理正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于选项A，取，则，故不正确；
对于选项B，取，则，故不正确；
对于选项C，取，则，故不正确；
对于选项D，由知，，则，即，，正确；
5．（2020·吉林省实验高一期中）下列不等式中成立的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】解：A中，时，，故A不一定成立；
B中，，可得，故B不一定成立；
C中，令，则，显然，故C不一定成立；
由不等式的性质知D正确.
6．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.
7．（2020·黑龙江省牡丹江一中高一期末）下列说法中，正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．，，则
【答案】B
【解析】选项A，少了为正数条件，不一定成立，
如，则，所以A不正确；
选项B，因为，
即，所以B正确；
选项C，若，当时，则，所以C不正确；
选项D，两个同向不等式相减，差不一定同向，如，
两式相减，所以D不正确.
8．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））设，，，，给出下列命题（1）若，则且；（2）若，则；（3）若且，则．其中正确命题的个数是（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】A
【解析】命题（1），若，，，，能满足，但不能满足；故（1）错；
命题（2），若，，能满足，但不满足，故（2）错；
命题（3），若，，，，此时能满足且，但不满足，故（3）错；
即正确命题的个数为0，故选：A.
9．（2020·浙江省高一期末）如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由，得，A正确；
由，得，B正确；
由，
又，
则，
所以，C正确.
由，
得，
所以，
则，D错误.
10．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））已知，且，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，可令
对A:
不成立；
对B:
成立；
对C:
不成立；
对D:
不成立.
11．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高二期末（理））若，则下列说法正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】A：根据不等式的性质可知当，时，能得到.例如当，，显然，成立，但是不成立，故本选项说法不正确；
B：当时，显然不成立，故本选项说法不正确；
C：，故本选项说法不正确；
D：
，故本选项说法是正确的.
12．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】命题①中若,则，故错误；
命题②，若，则由，得到故错误；
命题③，在分母，所以，因此，所以可以由，得到，故正确；
命题④，若，则，所以错误；
13．（2020·浙江省高一期末）若，且，则下列不等式中恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：根据，，且，取，，则可排除，；
取，，则可排除．
14．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若ab2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立
,故选C.
15．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高二期末（文））已知a＞b，c＞d，下列不等式中必成立的一个是（ ）
A．a+c＞b+d
B．a﹣c＞b﹣d
C．ac＞bd
D．
【答案】A
【解析】根据不等式的同向可加性，若a＞b，c＞d，则必有a+c＞b+d，
利用特例法可知均错误，故选：A．
16．（2020·浙江省高一期末）已知a＜b＜0，则（ ）
A．a2＜b2
B．
C．|a+b|≤|a|﹣|b|
D．a3＜b3
【答案】D
【解析】解：根据，取，，则可排除．
因为函数在定义域上单调递增，所以
17．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）若，则下列不等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A：由题意，不等式，可得，
则，，所以成立，所以A是正确的；
B：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以成立，所以B是正确的；
C：由且，根据不等式的性质，可得，所以C不正确；
D：由，可得，所以D是正确的，故选：C.
18．（2020·江西省高一期末）若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为??，所以，所以利用不等式的性质得?，，故A选项不正确，B选项不正确；
又?，而的符号不能确定，所以C选项不正确；
又，所以一定成立，故D选项正确，
故选：D.
19．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））已知,则下列推理中正确的是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，当时不成立；对于B，当时不成立；对于D，当均为负值时，不成立，对于C，因为在上单调递增，由，又因为，所以即，正确；综上可知，选C.
20．（2020·陕西省高三其他（理））若,则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，，由函数在上单调递增，可得：．
设，时，与矛盾．
因此只有错误．
21．（2020·滦南县第二高级中学高一期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，且，则，
对于A中，由，其中不一定大于0，所以不一定成立；
对于B中，由，
当时，可得，此时，所以B不一定成立；
对于C中，因为，可得，所以C一定成立；
对于D中，当时，可得，所以D不一定成立.
22．（2020·浙江省高一期末）已知，R，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当时，，，，则ABD错误；
当时，；当时，，即，则
综上，，则C正确；
23．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一月考）给出下列四个命题，①若，则；②若，则；③当时，若，则；④当时，若，则．
其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】对①，若，，满足，则，故①错误.
对②，因为在上为增函数，若，则，故②正确.
对③，因为，所以，即.
因为，所以，即，故③正确.
对④，因为，所以，即
因为，所以，故，即，故④正确.
24．（2020·河北省沧州市一中高一期末）已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，且，
，，，
.
25．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）若实数满足，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当时，，，则AC错误；
当时，，则D错误；
由不等式的性质可知，，则B正确；
26．（多选题）（2020·福建省高一期末）（多选题）下列命题为真命题的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】BCD
【解析】选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B:
，所以本命题是真命题；
选项C:
，所以本命题是真命题；
选项D:
，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.
27．（多选题）（2020·山东省高二期末）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】BD
【解析】A选项：，，但是，A不正确；
B选项：因为成立，则，那么，B正确；
C选项：，但是，C不正确；
D选项：因为，则，又，所以，D正确.
28．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A：，，又，，即，故A不正确；
对于B：，，，所以，即，故B正确；
对于C：，，又，，故C正确；
对于D：由，可知，，，成立，故D正确.
29．（多选题）（2020·山东省泰安一中高二期中）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】解：
A.
，故错误；
B.
，当时，，故错误；
C.
，故正确；
D.
，，故正确.
30．（多选题）（2019·福建省厦门第六中学高一期中）如果，给出下列不等式，其中一定成立的不等式是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】解：当
时，
选项均不成立。对于选项
,
，知成立。对于选项
,
，正确，故选：.
拓展提升
1．（2019·山东省聊城二中高一月考）已知，，求，的取值范围.
【解析】∵，，
∴，.
∴，
即.
又，∴，
∴.
2．（2019·营口市第二高级中学高一月考）若，，求证：．
【解析】证明：，
，
，
.
3．（2020·上海高一课时练习）已知，比较与的大小．
【解析】因为，
．
所以．
所以，
即．
4．（2019·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知，求证：
【解析】证明：
5．（2020·四川省成都七中高三其他（文））若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
【解析】（1）由，得，且当时取等号．
故，且当时取等号．
所以的最小值为；
（2）由（1）知，．
由于，从而不存在，使得成立．
6．（2020·全国高一）已知，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
【解析】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，
由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．
（Ⅱ）.
因为，所以，故.同理，.
从而.即
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第二章
一元二次函数、方程和不等式
第1节
等式性质与不等式的性质
基础巩固
1．（2020·河北枣强中学高二期中）若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·贵州省高二学业考试）若a<0，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．a-b>0
D．|a|>|b|
3．（2020·浙江省高一期末）已知，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·天津市第五中学高二期中）下列不等式推理正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
5．（2020·吉林省实验高一期中）下列不等式中成立的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·黑龙江省牡丹江一中高一期末）下列说法中，正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．，，则
8．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））设，，，，给出下列命题（1）若，则且；（2）若，则；（3）若且，则．其中正确命题的个数是（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．（2020·浙江省高一期末）如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））已知，且，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高二期末（理））若，则下列说法正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．（2020·浙江省高一期末）若，且，则下列不等式中恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是
A．
B．
C．
D．
15．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高二期末（文））已知a＞b，c＞d，下列不等式中必成立的一个是（ ）
A．a+c＞b+d
B．a﹣c＞b﹣d
C．ac＞bd
D．
16．（2020·浙江省高一期末）已知a＜b＜0，则（ ）
A．a2＜b2
B．
C．|a+b|≤|a|﹣|b|
D．a3＜b3
17．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）若，则下列不等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2020·江西省高一期末）若，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
19．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））已知,则下列推理中正确的是
(
)
A．
B．
C．
D．
20．（2020·陕西省高三其他（理））若,则下列结论不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2020·滦南县第二高级中学高一期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．（2020·浙江省高一期末）已知，R，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
23．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一月考）给出下列四个命题，①若，则；②若，则；③当时，若，则；④当时，若，则．
其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
24．（2020·河北省沧州市一中高一期末）已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）若实数满足，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
26．（多选题）（2020·福建省高一期末）（多选题）下列命题为真命题的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，则
27．（多选题）（2020·山东省高二期末）对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
28．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知、、、均为实数，则下列命题中正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
29．（多选题）（2020·山东省泰安一中高二期中）如果，那么下列不等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
30．（多选题）（2019·福建省厦门第六中学高一期中）如果，给出下列不等式，其中一定成立的不等式是(
)
A．
B．
C．
D．
拓展提升
1．（2019·山东省聊城二中高一月考）已知，，求，的取值范围.
2．（2019·营口市第二高级中学高一月考）若，，求证：．
3．（2020·上海高一课时练习）已知，比较与的大小．
4．（2019·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考）已知，求证：
5．（2020·四川省成都七中高三其他（文））若,且
（1）求的最小值；
（2）是否存在，使得？并说明理由.
6．（2020·全国高一）已知，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
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