中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
一元二次函数、方程和不等式
第2节
基本不等式
基础巩固
1．（2020·浙江省高二学业考试）已知实数，满足，则的最大值是（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：因为，所以，得
.
2．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知正实数x，y满足.则的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由，得，
因为x，y为正实数，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故选：D
3．
4．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
5．（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
【答案】C
【解析】由于，，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为.
6．（2020·四川省高一期末）若正数满足，则的最大值为（
）
A．5
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.
7．（2020·重庆市育才中学高一期末）已知，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由可知，，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，，所以时等号成立．
8．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数满足，则的最小值是（
）
A．18
B．9
C．6
D．2
【答案】C
【解析】解：因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为6，故选：C
9．（2018·海南省海口一中高二期中）已知，若的值最小，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，，
等号成立当且仅当，故选：B.
10．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确；
B.，即恒成立，故B正确；
C.当时，不等式不成立，故C不正确；
D.当时，不等式不成立，故D不正确.
11．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）已知，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，则，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
12．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．5
D．
【答案】C
【解析】根据题意，若正实数，满足，
则，
当且仅当时等号成立，
即的最小值为5；
13．（2020·浙江省高二期中）若，满足，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，当且仅当，即时，取等号.
14．（2020·浙江省浙江邵外高二期中）若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【解析】实数a，b满足ab＞0，
则，
当且仅当时等号成立．
故选：C．
15．（2020·全国高一）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30
B．36
C．40
D．50
【答案】C
【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.
16．（2020·全国高一）当时，函数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，由于，所以，当且仅当时，等号成立.
17．（2020·全国高一）已知，且，那么下列结论一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解:因为，
且,
所以
.
当且仅当时取等号，故选:
C.
18．（2020·安徽省高一月考（理））已知，，且，则的最小值为（
）
A．8
B．9
C．12
D．6
【答案】B
【解析】由题意可得，则，
当且仅当，时等号成立，故的最小值为9.
19．（2020·吉林省实验高一期末）函数的最小值是
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】,当且仅当x=3时，函数取得最小值，最小值为5.
20．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）函数的最小值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】因为，
所以，
取等号时，即，
所以.
21．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（理））若，且，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，且，，，故不成立；，故成立；，故不成立，，故不成立.
22．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知，则的最小值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【解析】解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为2
23．（2020·河南省高三其他（理））若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意得当时，恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，
所以，解得，因此，实数的取值范围为.
24．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））已知正实数满足，则的最小值是（
）
A．
B．5
C．
D．
【答案】C
【解析】解：，
当且仅当时取等号，即，时等号成立，故选：．
25．（2020·浙江省高一期末）实数、，，且满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，
，，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.
26．（多选题）（2019·苏州外国语学校高二期中）（多选题）设正实数满足，则（
）
A．有最小值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】ACD
【解析】选项A：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；
选项B：因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是不正确的；
选项C:
因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的；
选项D:
因为是正实数，所以有（当且仅当时取等号），故本选项是正确的，故本题选ACD.
27．（多选题）（2020·南京市秦淮中学高二期末）若实数，，，则下列选项的不等式中，正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】由于，，，由基本不等式得，，，，
上述不等式当且仅当时，等号成立.
故选：ABCD.
28．（多选题）（2019·山东省高二期中）下列表达式的最小值为的有(
)
A．当时，
B．当时，
C．
D．
【答案】BC
【解析】解：①对选项A,当均为负值时,,故最小值不为2;
②对选项B,因为,所以同号,所以,
所以,当且仅,即时取等号,故最小值为;
③对选项C,,当时,取最小值2;
④对选项D,
当且仅当,即时,取等号,但等号显然不成立,
故最小值不为.
29．（多选题）（2019·山东省枣庄八中高二期中）设，且，那么（
）
A．有最小值
B．有最大值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】AD
【解析】解：①由题已知得：,
故有,
解得或（舍）,
即（当且仅当时取等号）,A正确;
②因为,
所以,
又因为
,
有最小值,D正确.
30．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）下列判断错误的是（
）
A．的最小值是2
B．
C．不等式的解集为
D．如果，那么
【答案】AC
【解析】对选项A,当时，为负数，故A错误；
对选项B,
，故B正确；
对选项C,不等式的解集为，故C错误；
对选项D,若，则，所以，所以，故D正确.
故选：AC
拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：．
【解析】∵，∵由均值不等式得，．
由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立．
2．（2020·全国高一课时练习）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．
【解析】设矩形菜地的长为，宽为，由题意可知．
由均值不等式，得，即，当且仅当时，等号成立．
故当矩形的长为，宽为时，菜地的面积最大，最大值为
3．（2020·全国高一课时练习）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．
【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正实数，
∴（1）（1）（1）8．
∴（1）（1）（1）＞8
4．（2020·黄冈中学第五师分校高一开学考试）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
【解析】
（1）由已知可得，而篱笆总长为；
又因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小.
（2）由已知得，
又因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值是.
5．（2020·河北省唐山一中高一期中）已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
【解析】（1）,解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
一元二次函数、方程和不等式
第2节
基本不等式
基础巩固
1．（2020·浙江省高二学业考试）已知实数，满足，则的最大值是（
）
A．1
B．
C．
D．
2．（2020·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））已知正实数x，y满足.则的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．
3．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））若实数满足，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
5．（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．
D．1
6．（2020·四川省高一期末）若正数满足，则的最大值为（
）
A．5
B．
C．
D．
7．（2020·重庆市育才中学高一期末）已知，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数满足，则的最小值是（
）
A．18
B．9
C．6
D．2
9．（2018·海南省海口一中高二期中）已知，若的值最小，则为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）已知，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）若正实数，满足，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．5
D．
13．（2020·浙江省高二期中）若，满足，，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·浙江省浙江邵外高二期中）若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为
A．8
B．6
C．4
D．2
15．（2020·全国高一）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30
B．36
C．40
D．50
16．（2020·全国高一）当时，函数的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·全国高一）已知，且，那么下列结论一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2020·安徽省高一月考（理））已知，，且，则的最小值为（
）
A．8
B．9
C．12
D．6
19．（2020·吉林省实验高一期末）函数的最小值是
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
20．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）函数的最小值是（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
21．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（理））若，且，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．（2020·哈尔滨市第一中学校高一期末）已知，则的最小值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
23．（2020·河南省高三其他（理））若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
24．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））已知正实数满足，则的最小值是（
）
A．
B．5
C．
D．
25．（2020·浙江省高一期末）实数、，，且满足，则的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
26．（多选题）（2019·苏州外国语学校高二期中）（多选题）设正实数满足，则（）
A．有最小值4
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
27．（多选题）（2020·南京市秦淮中学高二期末）若实数，，，则下列选项的不等式中，正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
28．（多选题）（2019·山东省高二期中）下列表达式的最小值为的有(
)
A．当时，
B．当时，
C．
D．
29．（多选题）（2019·山东省枣庄八中高二期中）设，且，那么（
）
A．有最小值
B．有最大值
C．有最大值
D．有最小值
30．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）下列判断错误的是（
）
A．的最小值是2
B．
C．不等式的解集为
D．如果，那么
拓展提升
1．（2020·全国高一课时练习）已知a，b都是正数，求证：．
2．（2020·全国高一课时练习）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？并求出这个最大值．
3．（2020·全国高一课时练习）已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z=1，求证：（1）（1）（1）＞8．
4．（2020·黄冈中学第五师分校高一开学考试）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
5．（2020·河北省唐山一中高一期中）已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
