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第二章
一元二次函数、方程和不等式
第3节
二次函数与一元二次方程、不等式
基础巩固
1．（2020·四川省三台中学高一月考）不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
2．（2020·江苏省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·吉林省实验高一期中）不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
4．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式的解集是（
）
A．或
B．或
C．
D．
5．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．或
7．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）已知集合，则=
A．
B．
C．
D．
9．（2020·元氏县第四中学高一月考）一元二次不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2019·天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
12．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（
）
A．[2，4）
B．[3，4]
C．（3，4]
D．（3，4）
13．（2020·吉林省实验高一期末）不等式的解集为
(
)
A．
B．
C．
D．或
14．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）不等式对于一切成立，则的最小值为（
）
A．
B．
C．2
D．
15．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2020·重庆高一期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
17．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式的解集为，则a，c的值为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
18．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）不等式的解集是，则的值为（
）
A．14
B．-14
C．10
D．-10
19．（2020·全国高一）若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（
）
A．[0，4)
B．(0，4)
C．[4，＋∞)
D．
20．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）若不等式的解集为R，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
21．（2020·霍邱县第二中学高一月考）设一元二次不等式的解集为则的值为（
）
A．1
B．
C．4
D．
22．（2020·浙江省余姚中学高一期中）已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（
）
A．(－1，0)
B．[－1，0]
C．
D．(－1，0]
23．（2020·全国高一）若且则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
24．（2020·全国高一）若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
25．（2020·全国高一）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是
A．2
B．4
C．6
D．8
26．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（
）.
A．6
B．7
C．8
D．9
27．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则（
）
A．
B．
C．
D．
28．（多选题）（2020·江苏省高一期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（
）
A．
B．
C．
D．
29．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于的方程,下列结论正确的是(
)
A．方程有实数根的充要条件是，或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
E.当时,方程的两实数根之和为0
30．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于的不等式，下列结论正确的是（
）
A．当时，不等式的解集为
B．当，时，不等式的解集为
C．当时，不等式的解集可以为的形式
D．不等式的解集恰好为，那么
E.不等式的解集恰好为，那么
拓展提升
1．（2020·上海高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）；
（2）．
2．（2020·上海高一课时练习）已知m是常数，解关于x的不等式：.
3．（2019·山东省高一月考）甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元.要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围.
4．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知关于的不等式：．
（1）当时，解该不等式；
（2）当为任意实数时，解该不等式．
5．（2020·上海高一课时练习）若不等式对一切实数x均成立，求实数a的范围．
6．（2020·浙江省高一期末）已知集合．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
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第二章
一元二次函数、方程和不等式
第3节
二次函数与一元二次方程、不等式
基础巩固
1．（2020·四川省三台中学高一月考）不等式的解集是（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【解析】与不等式对应的一元二次函数为：，
如图函数开口向上，与轴的交点为：，，
可得不等式的解集为：或.
2．（2020·江苏省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由得，即，
解得或，所以不等式的解集为.
3．（2020·吉林省实验高一期中）不等式的解集为（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】A
【解析】由题：等式化简为：
解得：或.
4．（2020·安徽省怀宁县第二中学高一期中）不等式的解集是（
）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】不等式
可化为，
所以不等式的解集为.
5．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由，
可得，，
所以，，故选：A
6．（2020·盘锦市第二高级中学高一期末）不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【解析】将不等式变形为，解此不等式得或.
因此，不等式的解集为或.
7．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：因为，所以
解得，
所不等式的解集为，故选：A
8．（2020·邢台市第二中学高一开学考试）已知集合，则=
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，，则
．故选C．
9．（2020·元氏县第四中学高一月考）一元二次不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原不等式可化为，
解得，，或.
10．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方程的两根分别为，
又，所以，故此不等式的解集为.
11．（2019·天津市双菱中学高一月考）一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
【答案】D
【解析】解：根据题意，一元二次不等式的解集是，
则方程的两根为和，
则有，
解可得，，
则，故选：．
12．（2020·安徽省六安中学高一期末（理））关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中恰有两个正整数，则实数a的取值范国是（
）
A．[2，4）
B．[3，4]
C．（3，4]
D．（3，4）
【答案】C
【解析】，因解集中恰好有两个正整数，可判断解集为，两正整数为2,3，故
13．（2020·吉林省实验高一期末）不等式的解集为
(
)
A．
B．
C．
D．或
【答案】A
【解析】由得：
恒成立
又
不等式的解集为
14．（2020·宁夏回族自治区银川一中高一期末）不等式对于一切成立，则的最小值为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】记，不等式对于一切成立，则必须有，解得，
时，，在上单调递减，
，满足题意，∴的最小值是．
15．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：因为，所以，解得，即
故选：A
16．（2020·重庆高一期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式的解集为，则a，c的值为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】不等式的解集为，
故不等式对应方程的系数满足：，解得，.
18．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）不等式的解集是，则的值为（
）
A．14
B．-14
C．10
D．-10
【答案】D
【解析】不等式的解集是，可得是一元二次方程的两个实数根，
，
解得，
，故选：D.
19．（2020·全国高一）若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是（
）
A．[0，4)
B．(0，4)
C．[4，＋∞)
D．
【答案】D
【解析】由函数f(x)＝的定义域为一切实数，即在上恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则，解得.
综上可得，故选：D.
20．（2020·浙江省诸暨中学高一期中）若不等式的解集为R，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当即时，恒成立，满足题意；
当时，不等式的解为一切实数，
所以，解得，
综上可得实数的取值范围是，故选：B.
21．（2020·霍邱县第二中学高一月考）设一元二次不等式的解集为则的值为（
）
A．1
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】由题意可知方程的根为，
所以有
22．（2020·浙江省余姚中学高一期中）已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（
）
A．(－1，0)
B．[－1，0]
C．
D．(－1，0]
【答案】D
【解析】①若，则成立；
②若，则.
综上所述，.
23．（2020·全国高一）若且则关于的不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，则，
因为，则,的解集为,选.
24．（2020·全国高一）若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设，由题意得：，解之得实数的取值范围为：.
25．（2020·全国高一）已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的最小值是
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【解析】解：不等式对任意的正实数x，y恒成立，
则对任意的正实数x，y恒成立，
又，
，
解得或不合题意，舍去，
，
即正实数m的最小值是4．
26．（多选题）（2019·全国高一课时练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（
）.
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】ABC
【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为,则
解得，.
又，故可以为6，7，8.
27．（多选题）（2019·辽宁省高一月考）（多选题）已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】∵正数，满足，
∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.
∵的解集为，∴.
28．（多选题）（2020·江苏省高一期末）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【解析】解：对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
综上，都成立，故选：．
29．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于的方程,下列结论正确的是(
)
A．方程有实数根的充要条件是，或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
E.当时,方程的两实数根之和为0
【答案】BCD
【解析】在A中,由得或,故A错误；
在B中,当时,函数的值为,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是,故B正确；
在C中,由题意得解得,故C正确；
在D中,由得,又,故D正确；
在E中,当时,方程为,无实数根,故E错误.
30．（多选题）（2020·全国高一课时练习）已知关于的不等式，下列结论正确的是（
）
A．当时，不等式的解集为
B．当，时，不等式的解集为
C．当时，不等式的解集可以为的形式
D．不等式的解集恰好为，那么
E.不等式的解集恰好为，那么
【答案】ABE
【解析】由
得，又，所以，从而不等式的解集为，故A正确.
当时，不等式就是，解集为，当时，不等式就是，解集为，故B正确.
在同一平面直角坐标系中作出函数的图象及直线和，如图所示.
由图知，当时，不等式的解集为的形式，故C错误.
由的解集为，
知，即，因此当，时函数值都是.由当时函数值是，得，解得或.
当时，由，解得或，不满足，不符合题意，故D错误.
当时，由，解得或，满足，所以，此时，故E正确.
故选：
拓展提升
1．（2020·上海高一课时练习）求下列不等式的解集：
（1）；
（2）．
【解析】解
（1）原不等式可化为．
，方程的解是，．
所以原不等式的解集是或．
（2）原不等式变形为．
，方程无解．
所以原不等式的解集是．
2．（2020·上海高一课时练习）已知m是常数，解关于x的不等式：.
【解析】原不等式可化为.
，
3．（2019·山东省高一月考）甲厂以千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元.要使生产该产品小时获得的利润不低于元，求的取值范围.
【解析】由题可知：
化简可得：
所以或
又，所以
4．（2020·梅河口市第五中学高一月考）已知关于的不等式：．
（1）当时，解该不等式；
（2）当为任意实数时，解该不等式．
【解析】（1）当时，原不等式可化为即，
故，所以，故原不等式的解为.
（2）原不等式可化为即，
当时，不等式的解为或；
当时，原不等式可化为即；
当时，原不等式可化为，
若，则不等式的解为；
若，则不等式的解为；
若，则不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为.
5．（2020·上海高一课时练习）若不等式对一切实数x均成立，求实数a的范围．
【解析】,，则恒成立，
，即．
整理得:．
该式对一切实数x均成立，，即,
解得：.
6．（2020·浙江省高一期末）已知集合．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由题意可知，
和是方程的两个根，
所以由韦达定理得，
故实数.
（Ⅱ）由，原不等式可化为，
所以在上恒成立，
令，
因为，
所以，
所以不等式恒成立等价于，故由，
解得：，
故实数的取值范围为：.
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