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第二章
一元二次函数、方程和不等式
章末综合检测
第Ⅰ部分（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题得，所以.故答案为D
2．已知正实数x，y满足.则的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解：由，得，
因为x，y为正实数，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故选：D
3．已知实数，满足，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：令，，,
则
又，因此，故本题选B.
4．一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
【答案】D
【解析】解：根据题意，一元二次不等式的解集是，
则方程的两根为和，
则有，
解可得，，
则，故选：．
5．若实数a，b满足，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】解：因为，则，
当且仅当且时取等号，即时取等号，
此时取得最小值3．
6．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：因为时，恒成立，所以在恒成立，
因为，当且仅当，即或（舍）等号成立，
所以
，故选:A
7．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（
）
A．3枝康乃馨价格高
B．2枝玫瑰花价格高
C．价格相同
D．不确定
【答案】B
【解析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.
所以2枝玫瑰的价格高.
8．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（
）
A．如果,那么
B．如果,那么
C．对任意正实数和，有，
当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
【答案】C
【解析】通过观察,可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的长直角边为,短直角边为,如图,整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和,即,即.当时,中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明,故选：C
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．对于实数，下列说法正确的是(
)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】A.在三边同时除以得，故A正确；
B.由及得，故B正确；
C.由知且，则，故C正确；
D.若，则，，
，故D错误.
10．若，则下列不等式中一定不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】解：，则，一定不成立；，当时，，故可能成立；，故恒成立；，故一定不成立.
11．已知函数有且只有一个零点，则(
)
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】ABD
【解析】因为有且只有一个零点，
故可得，即可.
对：等价于，显然，故正确；
对：，故正确；
对：因为不等式的解集为，
故可得，故错误；
对：因为不等式的解集为，且，
则方程的两根为，
故可得，
故可得，故正确.
12．下列命题为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【解析】解：A项，若，取，可得，故A不正确；
B项,
若,可得：，故，故B正确；
C项，若可得，由可得：，故C正确；
C项，举反例，虽然，但是，故D不正确；
第Ⅱ部分（选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设，，若，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】解：，且且
∴
当且仅当取等号，
又，即，时取等号，故所求最小值为16．
14．不等式的解集为____________．
【答案】
【解析】由得，
所以不等式的解集为．
15．若，则下列结论中：①；②；③；④.所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】，所以①正确；
当时，满足，但，所以②错误；
，所以③正确；
，所以④错误；
16．下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为；
④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
【答案】①②
【解析】①若，则的最大值为
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③的最小值为，
取
错误
④当且仅当均为正数时，恒成立
均为负数时也成立.
解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
解下列不等式
（1）；
（2）.
【解析】（1）原不等式可化为，
由于，方程无实数解，
∴不等式的解集为.
（2）原不等式可化为，
由于，方程的两根为，，
∴不等式的解集为.
18．（本小题12分）
已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值．
【解析】∵，∴，∴．
当且仅当，即时，取等号．即当时，y取得最大值．
19．（本小题12分）
已知关于的不等式．
（1）当时，解上述不等式．
（2）当时，解上述关于的不等式
【解析】（1）当时，代入可得，
解不等式可得，
所以不等式的解集为.
（2）关于的不等式．
若，
当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得，由解不等式可得，
当时，化简不等式可得，解不等式可得或，
综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或
20．（本小题12分）
某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？
【答案】15m
【解析】设水池的长为x米，则宽为米.
总造价：y=400（2x+）+100+200×60
=800（x+）+12000≥800+12000=36000，
当且仅当x=，即x=15时，取得最小值36000.
所以当净水池的长为15m时，可使总造价最低.
21．（本小题12分）
已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
【解析】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
22．（本小题12分）
已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，，求此不等式的解集．
【解析】（1）由题意知，且1和5是方程的两根，
∴，且，
解得，，∴．
（2）若，，原不等式为，
∴，∴．
∴时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
综上所述：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
当时，原不等式解集为．
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一元二次函数、方程和不等式
章末综合检测
第Ⅰ部分（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知正实数x，y满足.则的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．
3．已知实数，满足，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
5．若实数a，b满足，则的最小值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（
）
A．3枝康乃馨价格高
B．2枝玫瑰花价格高
C．价格相同
D．不确定
8．如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．我们教材中利用该图作为一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（
）
A．如果,那么
B．如果,那么
C．对任意正实数和，有，
当且仅当时等号成立
D．对任意正实数和，有,当且仅当时等号成立
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．对于实数，下列说法正确的是(
)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（多选）若，则下列不等式中一定不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数有且只有一个零点，则(
)
A．
B．
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
12．下列命题为真命题的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
第Ⅱ部分（选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设，，若，则的最小值为__________．
14．不等式的解集为____________．
15．若，则下列结论中：①；②；③；④.所有正确结论的序号是______.
16．下列命题中：
①若，则的最大值为；
②当时，；
③的最小值为；
④当且仅当均为正数时，恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题10分）
解下列不等式
（1）；
（2）.
18．（本小题12分）
已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值．
19．（本小题12分）
已知关于的不等式．
（1）当时，解上述不等式．
（2）当时，解上述关于的不等式
20．（本小题12分）
某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池（如图）.池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？
21．（本小题12分）
已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
22．（本小题12分）
已知关于x的不等式．
（1）若不等式的解集是，求的值；
（2）若，，求此不等式的解集．
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