第二章 图形与变换课时学案(文)

第二章 图形与变换
2.1 图形的平移
课时1 平移及其特征
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)平移的定义
在平面内，将一个图形沿着某个方向 一定的距离，这样的变换叫图形的平移；平移后图形的位置是由____________和___________决定的。
(2)平移的特征
平移前后，两个图形对应点连线 (或在同一条直线上)且 。平移不改变图形的_______和________；由平移得到的图形与原来的图形_________。
2.下列各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（ ）
3.在如图2-2方格纸中，△ABC向右平移_______格后得到△A1B1C1。
4. 将线段AB平移1cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是__________.
师生同台
一、平移的定义
明确平移的定义，图形只是位置发生了改变，形状和大小是不变的。
例1．观察图所示图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过图所示图案平移得到的是（ ）
二、平移的特征
图形的平移是将图形的每一个点向相同方向的移动相同的距离。
例2.△ABC平移到△DEF，若AD = 5，则CF为__________．
跟踪运用
1.(2009重庆綦江)下列图形中，由原图平移得到的图形是( )
2. 如图2-8，把沿着的方向平移到的位置，它们重叠部分的面积是面积的一半，若，则此三角形移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
3.(2009吉林)如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为 ．
4. 如图2-27，已知DE由线段AB平移而得，AB=DC=4cm，EC=5cm，则△DCE的周长是 cm。
5.如图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，在图中作出将五角星ABCDE向其东北方向平移个单位的图形．
6.如图2-13（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2。
图2-13
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x＝2，3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
创新培养
1. （2009江苏）如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ ）
A．先向下平移3格，再向右平移1格
B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格
D．先向下平移3格，再向右平移2格
2.在如图所示的单位正方形网格中，将向右平移3个单位后得到（其中的对应点分别为），则的度数是　　　　．
3. 将如图2-10所示的方格中的图案作下列变换，请画出相应的图案：
(1)沿y轴正向平移4个单位；
（2）沿y轴轴对称。
4. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ）
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
5.如图14-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；
（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
课时2 平移与坐标
课堂思维碰撞
预习小测
1.下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是
B．将点向右平移5个单位长度到点
C．是无理数
D．点关于轴的对称点是
2.点A(1,2)向右平移2个单位得到对应点A’,则点A’的坐标是( )
A.(1，4) B.(1，0) C．(-l，2) D.(3，2)
3.如图2-6，将ΔPQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是( )。
A． (-2,-4) B． (-2,4) C．(2,-3) D．(-1,-3)
4. (2009包头)线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是 ．
师生同台
一、平移与坐标
例1：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2-4所示．将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；
分析：将点A、B、C分别向右平移6个单位，即横坐标加上6个单位而纵坐标不变，得到它们的对应点、、，顺次连接、、得△ABC向右平移6个单位的△，观察得到的坐标为(1，1)。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1.（2009天津）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．　C．　D．
2. (2009湖北襄樊)如图，在边长为1的正方形网格中，将向右平移两个单位长度得到则与点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．　B． C． D．
3.(2009山东威海)如图，A、B的坐标为（2，0）、（0，1）若将线段平移至，则的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.(2009辽宁十二市)已知：平面直角坐标系中有一点A（2，1），若将点A向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点A1，则点A1的坐标是 　．
5.作图题：（不要求写作法）如图2-25，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD（即四边形的顶点都在格点上）
（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD向下平移5格后的四边形A1B1C1D1；
（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD关于直线对称的四边形A2B2C2D2.
图2-25
6. 如图2-30，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位．
图2-30
（1）在格点中画出图形先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形；
（2）请写出平移前后两图形对应点之间的距离．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009山东枣庄)如图，把直线向上平移后得到直线AB，直线AB经过点，且，则直线AB的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2.如图2-12，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动（　　）
Ａ．格 Ｂ．格 Ｃ．格 Ｄ．格
3.如图2-28在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的。左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 。
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.已知：如图2-7，的顶点坐标分别为，，，如将点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达点，若设的面积为，的面积为，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
5.(2009浙江金华)在平面直角坐标系中，O为坐标原点.
(1)已知点A(3,1)，连结OA，平移线段OA，使点O落在点B.设点A落在点C,作如下探究：
探究一：若点B的坐标为(1，2)，请在图1中作出平移后的像，则点C的坐标是 ；连结AC，BO，请判断O，A，C，B四点构成的图形的形状，并说明理由；
探究二：若点B的坐标为(6，2)，按探究一的方法,判断O，A，B,C四点构成的图形的形状.
（温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔!）
(2)通过上面的探究，请直接回答下列问题：
①若已知三点A (a，b)，B(c，d)，C (a+c，b+d)，顺次连结O、A、C、B，请判断所得到的图形的形状；
②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a、b、c、d应满足的关系式.
2.2 图形的旋转
课时1 旋转及其性质
课堂思维碰撞
预习小测
1. (1)旋转的概念
在平面内，将一个图形绕着一个_______按某一个方向(逆时针方向或顺时针方向)转动一定的________，这样的变换，叫做图形的旋转.这个定点叫做_________，这个角叫做_________。旋转后图形的位置是由_______、___________和__________确定的。
(2)旋转的性质
①在旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离________，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角(旋转角)都___________；②旋转不改变图形的______和______，由旋转得到的图形与原来的图形_______。
2. 下列现象属于旋转的是（ ）
A.摩托车在急刹车时向前滑动
B.飞机起飞后冲向空中的过程
C.幸运大转盘转动的过程
D.笔直的铁轨上飞驰而过的火车
3. 如图，在下列四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是（ ）
4.如图3-1-2， △ ABC 中，∠B = 90 ，∠C =30 , AB = 1 ，将 △ ABC 绕顶点 A 旋转 180°，点 C落在 C ′处，则 CC′的长为（ ）
A . 4 B.4 C . 2 D . 2
师生同台
一、旋转的意义
对图形旋转的定义要从以下几个方面去理解：
（1）旋转中心在旋转过程中保持不变，换句话说，在旋转过程中保持不变的点一定是旋转中心；（2）图形的旋转是由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定的；（3）旋转角度小于360°.
例1.同学们曾经玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图26-1-1是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（ ）
A.顺时针旋转60°得到 B.顺时针旋转120°得到
C.逆时针旋转60°得到 D.逆时针旋转120°得到
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、旋转的性质
正确理解旋转的性质需注意以下问题：
①确定旋转中心、旋转角度和旋转方向是关键；②认真理解旋转过程中的不变量；③图形在旋转过程中和轴对称、平移一样，只是改变了图形的位置，而没有改变图形的形状和大小，也就是说旋转前后的两个图形是全等图形.
例2.如图26-1-2，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为_______，∠APB＝______°．
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1. 将图3-18按顺时针方向旋转90°后得到的是（ ）
2.（2009四川泸州）如图l，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P′BA，则∠PBP′的度数是( )
A．45° B．60° C．90° D．120°
3.(2009新疆维吾尔自治区)下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（ ）
4. (2009浙江温州)如图，将△OAB绕点0按逆时针方面旋转至△0′A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=lcm，则A′B长是 cm；
5.将直角边长为5cm的等腰直角ΔABC绕点A逆时针旋转15°后,得到ΔAB′C′,则图3-43中阴影部分的面积是 cm2
6.(2009湖南株洲)如图，在中，，，将绕点沿逆时针方向旋转得到．
（1）线段的长是 ，的度数是 ；
（2）连结，求证：四边形是平行四边形；
（3）求四边形的面积．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1.(2009吉林长春)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转
80°得到△AB′C′.若∠BAC=50°，则∠CAB′的度数
为( )
A.30°. B.40°. C.50°. D.80°.
　
2.如图3-33，在Rt△ABC 中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△； ②△∽△；　　
③； ④ 其中正确的是( )
A．②④；　　B．①④；　　C．②③；　　D．①③．
3.(2009甘肃庆阳)如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 度．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.(2009陕西)如图，，可以看作是由绕点顺时针旋转角度得到的．若点在上，则旋转角的大小可以是（ ）．
A． B． C． D．
5. 如图3-22，直角梯形中，，，，，，将腰以点为中心逆时针旋转至，连结，则的面积是 ．
6. 将两块全等的含30°角的三角尺如图3-44 (1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图3-44 (2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图3-44(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图3-44(4)的位置，ED′与AB相交于点F，
求证：AF=FD′．
课时2 旋转作图与坐标
课堂思维碰撞
预习小测
1.将点A(a，b)绕原点按逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标为____________。
2.点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为___________,关于原点对称的点的坐标为________.
3. 在图3-1-12中，将字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。
师生同台
一、旋转作图
旋转作图关键是图形上关键点绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，且对应点到旋转中心的距离相等。
例1.如图3-10，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．画出绕点逆时针旋转后得到的三角形；
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
二、旋转与坐标
例2. 如图3-9，把矩形放在直角坐标系中，在轴上，在轴上，且，，把矩形绕着原点顺时针旋转得到矩形，则点的坐标为（ ）
A． B． HYPERLINK "http://www." C． D．
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1. (2009广西桂林)如图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得 ，则点的坐标为（ ）．
A．（3，1） B．（3，2）C．（2，3） D．（1，3）
2. (2009湖北孝感)如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为
A． B．
C． D．
3.（2009辽宁抚顺）如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标是．将绕原点按逆时针方向旋转后得到，则点的坐标是 ．
4.(2009湖南衡阳)点A的坐标为（，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135 到点B，那么点B的坐标是______________．
5.如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系.在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是 .
6. （2009四川南充）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于A．
（1）求的值；
（2）将点B绕原点逆时针方向旋转90°后记作点，求点的坐标；
（3）将平移得到，点A的对应点是，点的对应点的坐标为，在坐标系中作出，并写出点、的坐标．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1．(2009山东枣庄)如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点A顺时针旋转90°后得到，则点的坐标是 ．
2.如图3-36，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，若将绕点逆时针旋转后，点到达点，则点的坐标是 ．
3.(2009辽宁铁岭)如图所示，在正方形网格中，图①经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或“B”或“C”）．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.(2009浙江嘉兴)如图，在直角坐标系中，已知点，，对△连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为　　 　　．
5. (2009湖北武汉)如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
（1）请直接写出点关于轴对称的点的坐标；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点的对应点的坐标；
（3）请直接写出：以为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
2.3 图形的位似
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)位似图形的概念
每对对应点所在直线交于________的相似图形叫做位似图形，这个点叫做________________。
(2)位似图形的性质
如果两个多边形是位似图形，那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于______________。
2. 下列说法中正确的是( )
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不只有一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等
3.如图2-9-7，①DE∥BC；②∠AED=∠B；③正方形EFGB的顶点在正方形ABCD的对角线BD上；④点F在AC上，GF∥DC，EF∥BC。其中没有位似图形的是（ ）
A. ①④ B. ② C. ①②④ D. ②④
4.已知，如图2-9-3，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.
师生同台
一、位似图形
利用位似可以将一个图形放大或缩小，及进行有关计算。
例1.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点0；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5。
分析：(1) 分别过对应点作直线，两条直线的交点就是位似中心；(2)通过上图可知位似比为1：2；(3)根据位似图形的性质，便可作出符合要求的图形。
思维大碰撞
我的答案： 老师讲解： 创新火花：
跟踪运用
1. (2009山东烟台)视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．对称 D．位似
2. (2009浙江宁波)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连结OM、ON、MN，则下列叙述正确的是 （ ）
A．△AOM和△AON都是等边三角形
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C．四边形AMON和四边形ABCD都是位似图形
D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
3. (2009山东枣庄)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4.(2009甘肃庆阳)如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ．
5.(2009青海)如图，请借助直尺按要求画图：
（1）平移方格纸中左下角的图形，使点平移到点处．
（2）将点平移到点处，并画出将原图放大为两倍的图形．
6. (2009四川凉山)如图，在方格纸中
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；
（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；
（3）计算的面积．
创新培养
综合拓展-----努力使自己的计算比电脑还要准确
1．(2009福州)如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )
A．2DE=3MN， B．3DE=2MN，
C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F
2.(2009山东威海)如图，与是位似图形，点是位似中心，若，
则________．
3. 如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△的顶点、、均在格点上，且是直角坐标系的原点，点在轴上．
（1）以为位似中心，将△放大，使得放大后的△与△对应线段的比为2∶1，画出△ ．（所画△与△在原点两侧）．
（2）求出线段所在直线的函数关系式．
探究提高------数学的天空你是哪颗星？
4.(2009安徽芜湖)在平面直角坐标系中有两点，，以原点为位似中心，相似比为1∶3．把线段缩小，则过点对应点的反比例函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5. 如图2-9-2，将△ABC的三边缩小为原来的，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，下列说法中正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似形；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF面积比为4：1.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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第二章 图形与变换
2.1 图形的平移
课时1 平移及其特征
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)移动 平移方向 平移距离
(2)平行 相等 形状 全等
2.A 3.4 4.1cm
师生同台
一、平移的定义
例1.老师讲解
解析：依据平移的意义知平移后得到的形状是C。
答案：C.
创新火花：平移是图形沿着某个方向移动一定的距离，形状、大小不变，只是改变了图形的位置。
二、平移的特征
例2.老师讲解
解析：由平移特征“对应点的连线平行且相等”得， CF=AD=5。
答案：5
创新火花：平移的基本内涵是对应点的连线平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等。
跟踪运用
1.D 2.D 3.7 4.13
5.
6．（1）y＝2x2 （2）8；24.5 （3）5秒
课后创新培养
综合拓展
1.D 2.45°
3.
探究提高
4.B
5.解：（1）；．
（2）；．
证明：①由已知，得，，．
又，．．
在和中，
，，，
，．
②如图，延长交于点．
，．
在中，，又，
．
．．
（3）成立．
证明：①如图，
，．
又，．．
在和中，
，，，
．．
②如图，延长交于点，则．
，．
在中，，
．．
．
课时2 平移与坐标
课堂思维碰撞
预习小测
1.D 2.D 3.A 4.
师生同台
一、平移与坐标
例1.老师讲解
答案：平移后的图形如图2-5所示.
(1，1)
创新火花：将一个点向左或向右平移时，这点纵坐标不变，横坐标减几个单位或加几个单位；将一个点向上或向下平移时，横坐标不变，纵坐标加几个单位或减几个单位。
跟踪运用
1.B 2.D 3.A 4. （，）
5. 解：作图如图：
6. 解：（1）如图．
（2）个单位．
课后创新培养
综合拓展
1.D 2.B 3.(5，4)
探究提高
4.B
5.(1)探究一： C (4，3)，
图略
四边形OACB为平行四边形，
理由如下：
由平移可知，OA∥BC，且OA=BC，
所以四边形OACB为平行四边形.
探究二：线段
(2) ①平行四边形或线段
②菱形：a2+b2=c2+d2 （a=－c，b=－d除外）
正方形：a=d且b=－c或b=c且a=－d
2.2 图形的旋转
课时1 旋转及其性质
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)定点 角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角
(2)①相等 相等 ②形状 大小 全等
2.C 3.B 4.B
师生同台
一、旋转的意义
例1.老师讲解
解析：在图中，点A是菱形AEFG和菱形ABCD的公共点，是旋转中心，点A是固定不动的，容易发现在旋转中，点B旋转到E，C旋转到F，D旋转到G，所以旋转角度为∠BAE、∠CAF、∠DAG的角度，易知这些角都是120°，再由B旋转到E是逆时针方向旋转，故选D.
答案：D.
创新火花：解题的关键是牢牢把握住旋转的定义，在图中只要找出一组对应点即可，两对应点与旋转中心所形成的角就是旋转角.
二、旋转的性质
例2.老师讲解
解析：由题意可知，点A为旋转中心∠BAC、∠P’AP是旋转角，都等于60°，根据对应点到旋转中心的距离相等，可知若连结
，易知是等边三角形，故
，在△中，因为
，所以
△是直角三角形，且°，故∠APB＝90°+60°=150°.答案：6，150
创新火花：（1）利用旋转的性质解题时，要注意找出旋转角，这是关键，每一对应点与旋转中心的连线所成的旋转角都是相等的。（2）在平面几何的分析中，经常要设法将一个图形绕某一个点旋转一个角度，通过这种图形的旋转使问题的条件达到相对集中的目的，从而使问题解决.
跟踪运用
1.A 2.B 3.C 4.3
5. 点拨：假设AB与B′C′交点为O，由题意得,△AOC′为Rt△，且∠OAC′=30°，因为AC′=AC=5，所以OC′=tan30°×5=，
.
6.（1）6，135°
（2）∴
又
∴四边形是平行四边形 (3)36
课后创新培养
综合拓展
1.A
2.B解析：由题意得， 是绕点顺时针旋转90后得到的，所以≌得，AD=AF,DC=BF；又因为∠DAE=45°，所以∠EAF=45°,所以△≌△，故①正确；由条件无法证明△∽△，故②错误；在△BEF中，BE+BF＞EF,故错误；因为∠ABC+∠C=90°,所以 ∠ABE+ ∠ABF=90°得 △BEF为直角三角形，所以即故④也正确，应选B。
3.60
探究提高
4.C 5.1
6.(1) 3-；点拨：利用△BC′E′∽△ABC得,设CC′为x,则，x=3-(2)30°；
(3)证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC, D′B=D′C-BC， 又AC=D′C,EC=BC，
∴AE=D′B．
又 ∠AEF=∠D′ BF=180°-60°=120°，
∠A=∠CD′E=30°，∴△AEF≌△D′BF．∴AF=FD′．
课时2 旋转作图与坐标
课堂思维碰撞
预习小测
1.(-b，a) 2.(2,1) (2,-1)
3.解：如图所示。
师生同台
一、旋转作图
例1.老师讲解
解：（1）画图正确（如图3-11）．
创新火花：旋转作图的依据是图形上每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，对应点到旋转中心的距离相等，因此在作图时应先确定“关键点”，以局部带动整体进行旋转。
二、旋转与坐标
例2. 老师讲解
解析：求点B的坐标，只要求出OA′和A′B′即可，由题意，将矩形绕着原点顺时针旋转得到矩形，线段OA′与OA、A′B′与AB分别为对应边，所以OA′=4，A′B′=2，所以点B的坐标为.
答案：C
创新火花：欲利用旋转求直角坐标系中的点的坐标，需理清旋转前后对应的点、线段，再结合直角三角形的有关知识解决。
跟踪运用
1.D 2.A 3. 4.（1，－1） 5.
6. 解：（1）点，轴于，
，
．
（2）如图，由旋转可知：
，
点的坐标是．
（3）如图所示，
，．
课后创新培养
综合拓展
1.（7，3）
2.解析：如图3-37所示，由题意得OB=,AB=1所以OA=2，所以∠A′OB′=∠AOB=
30°，过点B′作B′E⊥O A′,垂足为E点，由射影定理得OE=，B′E=，故点B′的坐标为。
3. 平移；A
探究提高
4.
5. 解：（1）（2，3）；
（2）图形略．（0，）；
（3）（）或或．
2.3 图形的位似
课堂思维碰撞
预习小测
1.(1)一点 位似中心 (2)对应边的比
2.D 3.B
4. △A′B′C′，7∶4 ；△OA′B′，7∶4
师生同台
一、位似图形
例1.老师讲解
解：⑴如图，分别作射线CC′、BB′，交于点O，则点O就是要求的位似中心点；
⑵在ΔABC中，BC=，在ΔA′B′C′中，B′C′=，
∴位似比为＝ 1:2；
⑶解：作射线OC，OB，OA，在这些射线上依次取点A1，B1，C1，使；顺次连接点A1，B1，C1，所得到的ΔA1B1C1就是符合要求的图形.如图所示。
创新火花：位似图形是特殊的相似图形，而相似图形未必都能构成位似关系；利用作位似图形可将一个图形放大或缩小。
跟踪运用
1.D 2.C 3.B 4.（，0）
5.（1）从平移到处，图象如图；
（2）放大2倍，图象如图．
6.（1）画出原点，轴、轴．
（2）画出图形．
（3）．
课后创新培养
综合拓展
1.B 2.18
3.解：（1）如图，△就是△放大后的图象
（2）由题意得： （4，0），（2，-4）设线段所在直线的函数关系式为
则 解得
∴函数关系式为
探究提高
4.B 5.D
P2
P3
P1