北师大版九年级数学上册第一章菱形 矩形难题特训(word 版 含解析)

北师大版九年级数学上册第一章菱形
矩形难题特训解析版
一、选择题（共10题；共30分）
1.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（???
）
A.?互相平分???????????????????????????B.?相等?????????????????????????C.?互相垂直???????????????????????????D.?互相垂直平分
2.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（??
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????D.?
3.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（??
）
A.?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
4.如图，将矩形纸片
沿
折叠，使点A落在对角线
上的
处.若
，则
等于（??
）.
A.??????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
5.如图，将矩形
折叠，使点C和点A重合，折痕为
，
与
交于点O若
，
，则
的长为（???
）
A.????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
6.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（??
）
A.?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
7.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变，如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′，若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（??
）
A.?1???????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
8.如图，菱形纸片ABCD的边长为a，∠ABC=60°,
将菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P，若
,则六边形AEFCHG面积的是（?????
）
A.???????????????????????????B.??????????????????????????C.???????????????????????????D.?
9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为(???
)
A.?4.8???????????????????????????????????????B.?1.2??????????????????????????????????????C.?3.6????????????????????????????????????????D.?2.4
10.如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FEGH，且点E落在AD上，连接BE，BG，交CE于点H，连接FH，若FH平分DEFG，则下列结论：
①
；
②
；
③
；
④
，其中正确的个数是（???
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
二、填空题（共7题；共28分）
11.如图，在菱形
中，
，点E在
上，若
，则
________.
12.菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC=12，菱形ABCD的面积为96，则OE长为________。
13.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD=110°，则∠CDE=________°。
14.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E为边AB的中点，点P在对角线BD上，且PE+PA=6，则AB长的最大值为________?。
?
15.如图，将一个矩形纸片ABCD沿着BE折叠，使点C、D分别落在点C、D处，若∠ABC=70°，则∠ABE的度数是________度。
16.如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是________.
17.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥AD于点F，OF＝2cm，AE⊥BD于点E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的长为________..
三、解答题一（共3题；共18分）
18.如图，
的对角线AC，BD相交于点O，过点O作
，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE.
（1）若
，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由.
19.如图，在△ABC中，AB＝AC
，
点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F
，
连接CF
．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
20.如图，在平行四边形
中，线段
的垂直平分线交
于O，分别交
于
，连接
．
（1）证明：四边形
是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果
，求四边形
的面积．
四．解答题二（共3题，共24分）
21.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；
（3）在（2）的条件下折痕EF的长．
22.如图，
的对角线
，
交于点O，过点D作
于E，延长
到点F，使
，连接
，
.
（1）求证：四边形
是矩形；
（2）若
，
，
，试求
的长.
23.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD。
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB=2
，BD=4，求OE的长。
五．解答题三（共2题，共20分）
24.如图，已知矩形ABCD中，∠ACB=30°，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B′落在AC上，B′C′交AD于点E，在B′C′上取点F，使FB′=AB。
（1）求证：BB′=FB′；
（2）求∠FBB′的度数；
（3）已知AB=4，求△BFB′面积。
25.如图所示,在平面直角坐标系中,把矩形OCBA绕点C顺时针旋转α角,得到矩形FCDE,设FC与AB交于点H,且A（0,4）,C（6,0）.
（1）当α=45°时，求H点的坐标.
（2）当α=60°时,ΔCBD是什么特殊的三角形?说明理由.
（3）当AH=HC时,求直线HC的解析式.
答案
一、选择题
1.根据题意画出图形如下：
答：AC与BD
的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故答案为：C．
2.解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝
AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝
＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB?DE＝
AC?BD，
∴DE＝
＝
＝
.
故答案为：D.
3.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝
AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝
OC＝
AC，EG＝
OB＝
BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝
AC×
BD＝
=
S；
故答案为：B．
4.∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°-
=66°，
∵将矩形纸片
沿
折叠，使点
落在对角线
上的
处，
∴∠EBA’=
∠ABD
=33°，
∴
=90°-∠EBA’=
，
故答案为：C.
5.解：由对折可得：
?矩形
，
?
?
?
?
BC=8
?
由对折得：
故答案为：C．
6.由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB
，
由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE＝
∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得，DE＝
AD＝
，
故答案为：
A
．
7.解：根据题意可知菱形
的高等于
的一半，
菱形
的面积为
，正方形
的面积为
.
菱形
的面积与正方形
的面积之比是
.
故答案为：B.
8.解：∵
菱形纸片ABCD的边长为a，∠ABC=60°
，
菱形ABCD沿EF，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线BD上一点P
，
∴△BEF，△DGH,△ABC为等边三角形，
∵AE=2BE，∴BG=2AG，
∴BE=a，BG=,
∴△BEF的面积=
，
△DGH的面积=,
△ABC面积=
，
∴
六边形AEFCHG面积=菱形ABCD面积-△BEF的面积-△DGH的面积
=2△ABC面积-△BEF的面积-△DGH的面积=.
故答案为：C.
9.解：∵四边形AEPF为矩形
∴EF和AP互相平分，且EF=AP，OE=OF
∵当AP的值最小时，AM的值最小
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即OF的值最小
∵AP×BC=AB×AC
∴AP×BC=AB×AC
在直角三角形ABC中，由勾股定理得，BC==10
∵AB=6，AC=8
∴10AP=6×8
∴AP=
∴OF=EF=
故答案为：D.
10.解：如图，作BM⊥EC于M．
?
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=∠MEB，
∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，
∴△BEA≌△BEM（AAS），
∴AE=EM，AB=BM．
∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴MH=CH，BH=HG，
∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③符合题意，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴2∠AEB+2∠ABE=180°，
∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，
∴∠DEC+2∠AEB=180°，
∴∠DEC=2∠ABE，故②符合题意，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH=45°，
∵∠FEH=90°，
∴AB=EF=EH，
∵EH＞HM=CH，
∴CH＜AB，故④不符合题意．
故答案为：C．
二、填空题
11.解：四边形ABCD是菱形，
，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=180°-∠B=130°，∠ACE=
∠BCD=65°，
∵
，
∴∠ACE=∠AEC=65°，
∴∠BAE=180°-∠AEC=115°.
12.解：四边形ABCD为菱形，AC=12，菱形ABCD的面积为96
∴S菱形ABCD=×AC×BD=×12DB=96
解得，BD=16
∴AO=OC=6，OB=OD=8，AO⊥BO，又∵点E为AB的中点
∴OE为△DAB的中位线
在直角三角形AOB中，AB==10
∴OE=AD=AB=5
13.解：在矩形ABCD中
∵∠AOD=110°
∴∠DOC=180°-110°=70°
∵四边形ABCD为矩形
∴OD=OC
∴∠OCD=∠CDO=（180°-70°）÷2=55°
在直角三角形DEC中，∠CDE=90°-55°=35°
14.解：连接PC，CE，AC，如图
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=BC，直线BD为菱形ABCD的对称轴
∴AP=PC
∴CE≤PE+PC=PE+PA=6
∵∠DAB=120°
∴∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形，
∵点E为线段AB的中点
∴AE=BE，CE⊥AB
∴∠AEC=90°
∴∠BCE=30°
∴BE=BC
∴CE==BC=AB≤6
∴AB≤4
∴AB的最大值为4
15.解：根据折叠的性质得∠CBE=∠C′BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC′=70°，
∴∠CBC′=90°+70°=160°，
∴∠BCE=80°，
∴∠ABE=90°-80°=10°.
16.解：①当AP＝AE＝5时，如图所示：过点A作AH⊥PE于H，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝
AE＝5
，
∵AH⊥PE，△AEP是等腰直角三角形，
∴AH＝
PE＝
；
②当P'E＝AE＝5时，
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，
∴P'B＝
＝4，
∴底边AP'＝
＝
＝4
，
∵tan∠P'AB＝
，
∴
，
∴ME＝
；
③当P''A＝P''E时，
∵AB∥CD，
∴底边AE的高为AD＝6；
综上所述：等腰三角形AEP的底边上的高的长是
或
或6.
故答案为：
或
或6.
17.
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥AB，
又∵OB＝OD
，
∴
AB＝2OF＝4cm，
∵BE︰BD＝1︰4，
∴BE︰ED＝1︰3
设BE＝x，ED＝3x
，
则BD＝4
x
，
∵AE⊥BD于点E
∴
，
∴16－x2＝AD2－9x2
又∵AD2＝BD2－AB2＝16
x2－16
，
∴16－x2＝16
x2－16－9x2
，
8x2＝32
∴x2＝4，
∴x＝2
∴BD＝2×4＝8（cm），
∴AC＝8cm
.
故答案为：AC＝8cm
.
解答题一
18.
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴
，OA=OC，
又∵
，
∴
，
在△AOE和△COF中，
，
∴
.
∴FO=EO，
又∵
，
∴
.
故EF的长为3.
（2）解：由（1）可得，
，四边形ABCD是平行四边形，
∴
，FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又
，OE=OF，OA=OC，
∴平行四边形AECF是菱形.
19.（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴
（AAS）；
（2）证明：∵
，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴
，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
20.（1）解：
是线段
的垂直平分线
，
是等腰三角形
（等腰三角形的三线合一）
四边形
是平行四边形
四边形
是菱形；
（2）解：
，即
四边形
是菱形，
，
在
中，
，
即四边形
的面积为
．
四．解答题二
21.（1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，
，∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设菱形的边长为x，则BE=BC﹣CE=8﹣x，AE=x，
在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2
，
∴（8﹣x）2+42=x2
，
解得x=5，
即菱形的边长为5；
（3）解：在Rt△ABC中，AC=
=
=4
，
∴OA=
AC=2
，
在Rt△AOE中，OE=
=
=
，
∴EF=2OE=2
．
22.
（1）证明：
是平行四边形，
，
．
，
．
∴
四边形
是平行四边形．
，
．
四边形
是矩形；
（2）解：由（1）得
，
，
，
，
，
，
．
，
．
在
中，由勾股定理，得
．
是平行四边形，
．
．
23.
（1）解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝
BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2
，OB＝2，
∴OA＝
＝
＝4，
∴OE＝OA＝4．
解答题三
24.
（1）证明：∵矩形ABCD中，∠ACB=30°
∴∠BAC=60°
由旋转可得：AB′=AB
∴△ABB′为等边三角形，
∴BB′=AB
∵FB′=AB
∴BB′=FB
（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B=60°，
由旋转可得∠AB′F=90°
∴∠BB′F=150°
∴BB′=FB′
∴∠FBB′=∠BFB′=15
（3）解：过B作BH⊥BF交FB′的延长线于H，
∵∠FBB′=∠BFB′=15°
∴∠BB′H=30°
在Rt△BB′H中，BB′=AB=4,∠BB′H=30°
∴BH=2
S△OCN=
，
?
25.
（1）解：H（2，4）
∵A（0,4）,C（6,0），四边形OCBA为矩形，
OA=BC=4，AB=OC=6
∵α=45°，∠ABC=90°，
△HBC是等腰直角三角形，BH=BC=4，
AH=AB-BH=6-4=2，
H（2，4）.
（2）解：△CBD为等边三角形
∵α=60°，
∠BCD=∠α=60°
又∵BC=DC，
△CBD为等边三角形
（3）解：设AH=CH=x,则在RtΔBCH中由勾股定理可得x2=（6-x）2+42,解得x=
.故H（
,4）.
设HC:y=kx+b（k≠0）,则有
解得
∴直线HC的解析式为y=-
x+
.