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(
21.1
二次函数（重点练）
)
1.
下列函数是二次函数的是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】
二次函数的定义
【解答】
解：、是一次函数，故本选项错误；
、原函数可化为：，自变量的最高次数是，故本选项错误；
、原函数可化为：，自变量的最高次数是，故本选项错误；
、与是二次函数关系，故本选项正确．
故选.
2.
某产品进货单价为元，按一件售出时，能售件，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
根据总利润单件利润数量建立等式就可以得出结论．
【解答】
解：由题意，得
，
．
故选．
3.
下列函数关系中，可以看做二次函数模型的是（
）
A.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B.我国人中自然增长率为，这样我国总人口数随年份变化的关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D.圆的周长与半径之间的关系
【答案】C
【考点】
二次函数的定义
【解析】
利用二次函数的意义：一般地，把形如（其中、、是长常数，，，可以为）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．
【解答】
解：、汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数模型；
、增长率为固定，我国总人口数随年份变化的关系属于一次函数，不能看作二次函数模型；
、信号弹所走出的路线是抛物线，可以看做二次函数模型；
、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数模型．
故选：．
4.
长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则与的关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
设小正方形边长为，底面长宽均减少，列出函数关系式．
【解答】
解：设小正方形边长为，由题意知：
现在底面长为，宽为，
故，
故选．
如图，半圆的直径，与半圆内切的动圆与切于点，设的半径为，，则关于的函数关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
连接，，可得到直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．
【解答】
解：连接，，可得到直角三角形，
依题意可知的半径为，
则，，．
在中，由勾股定理得，
解得．
故选．
6.
等边三角形边长为，面积为，则与之间的函数关系为________．
【答案】
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题．
【解答】
解：等边三角形三线合一，即为的中点，∴
，
在中，，，
∴
，
∴
的面积为：，
故答案为：．
?
7.
若函数是二次函数，则________．
【答案】
【考点】
二次函数的定义
【解析】
根据二次函数定义，且，再解即可．
【解答】
解：由题意得：，且，
解得：．
故答案为：．
8.
正方形边长为，若边长增加，那么面积增加，则与的函数关系式是________．
【答案】
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
增加的面积新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
【解答】
解：新正方形的边长为，原正方形的边长为．
∴
新正方形的面积为，原正方形的面积为，
∴
，
故答案为．
9.
某商场购进一批单价为元的日用品，经试销发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，则与之间的关系式是________，销售所获得的利润为（元）与价格（元/件）的关系式是________．
【答案】,
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
利用待定系数法，即可求得与之间的函数解析式．再根据利润（售价-成本）售出件数，即可得到与之间的关系式．
【解答】
解：∵
每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，可设，
把，代入，得：
解得，．
∴
．
10.
边长的正方形铁片，中间剪去一个边长的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积与的函数关系式是________．
【答案】
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
剩下的四方框铁片的面积边长的正方形铁片面积-边长的小正方形铁片面积，即可求得．
【解答】
解：由题意得：
．
11.
用一根长为的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径的取值范围．
【答案】
解：∵
用一根长为的铁丝围成一个半径为的扇形，
∴
扇形的弧长为：，
∴
扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：，
此函数是二次函数，．
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
二次函数的定义
【解析】
首先表示出扇形的弧长，进而利用求出即可．
【解答】
解：∵
用一根长为的铁丝围成一个半径为的扇形，
∴
扇形的弧长为：，
∴
扇形的面积与它的半径之间的函数关系式为：，
此函数是二次函数，．
12.
圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式．
【答案】
解：由题意得：
即：．
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
圆的面积公式为，可根据增加的面积半径增加后圆的面积-原来的圆的面积来列函数式．
【解答】
解：由题意得：
即：．
如图中有一面围墙（可利用的最大长度为），现打算沿围墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃的一边，另一边为，求关于的函数表达式，并指出其中自变量的取值范围．
【答案】
解：由题意得，
即．
∵
围墙可利用的最大长度为，
∴
．
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
根据长方形的面积长宽，可得，进而得出关于的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得的取值范围．
【解答】
解：由题意得，
即．
∵
围墙可利用的最大长度为，
∴
．
14.
某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？
【答案】
解：依题意，
得，
此函数是二次函数.
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
根据增长率的问题，基数是元，增长次数次，结果为，根据增长率的公式表示函数关系式．
【解答】
解：依题意，
得，
此函数是二次函数.
?
15.
抛物线形桥拱的跨度为米，拱高为米，求桥拱的函数关系式．
【答案】
解：方法一：以拱桥顶点为坐标原点，的中垂线为轴建立直角坐标系，
可设所求解析式为，
由抛物线过，
代入得，
∴
．
方法二：以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，
可设所求解析式为，
由抛物线过和得：
．
方法三：以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
可设所求解析式为，
由抛物线过，两点得：
．
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
此题的难点是没有具体直角的坐标系，所以建立合适的直角坐标系是解题的关键．利用已知条件，可以得到点的坐标，采用待定系数法即可求得．
【解答】
解：方法一：以拱桥顶点为坐标原点，的中垂线为轴建立直角坐标系，
可设所求解析式为，
由抛物线过，
代入得，
∴
．
方法二：以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系，
可设所求解析式为，
由抛物线过和得：
．
方法三：以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
可设所求解析式为，
由抛物线过，两点得：
．
?
16.
某厂要制造能装饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是，顶部厚度是底部厚度的倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是的易拉罐用铝量是．用铝量底面积底部厚度+顶部面积顶部厚度+侧面积侧壁厚度，求与间的函数关系式．
【答案】
解：∵
底面半径是，
∴
底面周长为，底面积为，
∵
易拉罐的体积为，
∴
高为，
∴
侧面积为，
∴
．
【考点】
根据实际问题列二次函数关系式
【解析】
让体积除以底面积求得易拉罐的高，进而把所给数值代入“用铝量底面积底部厚度+顶部面积顶部厚度+侧面积侧壁厚度”，化简即可．
【解答】
解：∵
底面半径是，
∴
底面周长为，底面积为，
∵
易拉罐的体积为，
∴
高为，
∴
侧面积为，
∴
．
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1.
下列函数是二次函数的是(?
?
?
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)
A.
B.
C.
D.
2.
某产品进货单价为元，按一件售出时，能售件，如果这种商品每涨价元，其销售量就减少件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
下列函数关系中，可以看做二次函数模型的是（
）
A.在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B.我国人中自然增长率为，这样我国总人口数随年份变化的关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D.圆的周长与半径之间的关系
4.
长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则与的关系式为（
）
A.
B.
C.
D.
如图，半圆的直径，与半圆内切的动圆与切于点，设的半径为，，则关于的函数关系式是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
等边三角形边长为，面积为，则与之间的函数关系为________．
?
7.
若函数是二次函数，则________．
8.
正方形边长为，若边长增加，那么面积增加，则与的函数关系式是________．
9.
某商场购进一批单价为元的日用品，经试销发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数，则与之间的关系式是________，销售所获得的利润为（元）与价格（元/件）的关系式是________．
10.
边长的正方形铁片，中间剪去一个边长的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积与的函数关系式是________．
11.
用一根长为的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径的取值范围．
圆的半径为，若半径增加，则面积增加．求与的函数关系式．
如图中有一面围墙（可利用的最大长度为），现打算沿围墙围成一个面积为的长方形花圃．设花圃的一边，另一边为，求关于的函数表达式，并指出其中自变量的取值范围．
14.
某公司的生产利润原来是万元，经过连续两年的增长达到了万元，如果每年增长率都是，写出利润与增长的百分率之间的函数解析式，它是什么函数？
?
15.
抛物线形桥拱的跨度为米，拱高为米，求桥拱的函数关系式．
?
某厂要制造能装饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是，顶部厚度是底部厚度的倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是的易拉罐用铝量是．用铝量底面积底部厚度+顶部面积顶部厚度+侧面积侧壁厚度，求与间的函数关系式．
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