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1．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（
）
A．5
B．9
C．11
D．13
2．在直角坐标系中，函数y=
3x与y=
－x2+1的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
4．如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若
为直角，则a=_______
5．二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
6．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
7．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
②
如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）
（1）点A的坐标是
；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
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(
21.2.2第1课时二次函数y=ax
2
+
k的图象和性质(重点练)
)
1．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（
）
A．5
B．9
C．11
D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长最小，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值.
【详解】
如图
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，此时△PMF周长最小
∵F（0,2）M（3,6），
∴ME=6，FM
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11
故选C
【点评】本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.
2．在直角坐标系中，函数y=
3x与y=
－x2+1的图像大致是（
）
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由一次函数的性质可知，y=
3x的函数图像过一、三象限，由二次函数性质可得y=
－x2+1中a<0，抛物线开口向下，故选D.
3．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
4．如图，抛物线与过点（0，-3）且平行于x轴的直线相交于点、，与轴交于点C，若
为直角，则a=_______
【答案】
【解析】
【分析】
直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），利用二次函数的性质得到C（0，1），再证明△ABC为等腰直角三角形得到CD=AD=BD=4，所以B（4，-3），然后把B点坐标代入y=ax2+1即可得到a的值．
【详解】
直线AB与y轴交于点D，如图，则D（0，-3），
∵C（0，1），
∴CD=4，
∵AB过点（0，-3）且平行于x轴，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴CD=AD=BD=4，
∴B（4，-3），
把B（4，-3）代入y=ax2+1得16a+1=-3，解得a=-．
故答案为-．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
5．二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
【答案】（0，-2）
【解析】分析：根据二次函数解析式，进行配方得出顶点是形式，即可的得出顶点坐标．
详解：y=-x2-2=-(x+0)?-2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为(0，－2)．
故答案为：(0，－2)
【点评】本题考查了二次函数的性质，把二次函数配方成顶点式是解题的关键.
6．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
【答案】2
【解析】
∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB=×2×2=2，
故答案为：2．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
②
如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①当时，的最小值为；②存在，点M的坐标为或（4，-6）．
【解析】
【分析】
（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，将A(8，0)、B(0，4)代入，解得b、c的值再代入即可解答.
（2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，求出直线AB的解析式，进而求出C,E的坐标，即可求出答案；
②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°，又于，即∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC
<
45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，，过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.可证△TBD∽△GDM，再根据三角函数得出当∠BMD=2∠BAC时，，∠MBD=2∠BAC时，，设（），则，，当∠BMD=2∠BAC时，，又，即可得出，当∠MBD=2∠BAC时，，，即可求出M的坐标
【详解】
（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，
将A(8，0)、B(0，4)代入有
解得：
∴
（2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，
∴
设，
∵MF∥轴交直线AB于点F，直线AB：
∴，则
可求得C(2，0)，C作CE∥y轴交直线AB于点E，
∴E(2，5)，CE=5.
∴，
∴当时，的最小值为.
②存在.
理由如下：∵C(2，0)；B(0，4)；A(8，0)．
∴OC=2，OB=4，OA=8
可证△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°，又于
∴∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC
<
45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，
OH=OAAH=3，tan∠BHO=.
过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.
可证△TBD∽△GDM，
又DMAB，
tan∠DMB=，tan∠DBM=.
当∠BMD=2∠BAC时，∴，
∠MBD=2∠BAC时，，
设（），
则，
∴
当∠BMD=2∠BAC时，，又，
∴
解之得，，又0
<
m
<
8，
∴，点M的坐标为.
当∠MBD=2∠BAC时，
又，
∴
解之得，，又0∴，点M的坐标为
综合得存在满足条件的点M的坐标为或（4，-6）
【点评】本题主要考查二次函数综合题，解题关键是熟练掌握二次函数图像的性质及勾股定理的计算公式.
8．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）
（1）点A的坐标是
；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y=
x2﹣
；（3）顶点C的坐标是（0，﹣）．
【解析】【分析】
(1)由题意可知该抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称，即可求出点坐标；(2)将，代入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求解抛物线的解析式；(3)根据(2)中抛物线的解析式，可得顶点坐标.
【详解】
解：(1)∵该抛物线的对称轴是轴，
∴点与点关于轴对称，
∵，
∴；
(2)把点，代入，
得：，
解得，
∴该抛物线的解析式为2；
(3)由(2)知，该抛物线的解析式为2，则顶点C的坐标是．
故答案为(1)；(2)2；(3)顶点的坐标是．
【点评】本题考查了二次函数的解析式，图像和性质.解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式.
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