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(
21.2.2第3课时二次函数y=a(x
h)
2
+
k的图象和性质（基础练)
)
1．在﹣2，0，1这三个数中任取两数作为m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：根据题意画图如下：
在﹣2，0，1这三个数中任取两数作为m，n，一共有6种可能，其中取到0的有4种可能，
则顶点在坐标轴上的概率为；
故选：C．
【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时考查了二次函数性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（
）
A．图象开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质对比四个选项即可得出结论．
【详解】
解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，
∵a＝2＞0，
∴图象的开口向上，故本选项错误；
B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；
C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，结合二次函数性质对比四个选项即可．
3．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（
）
A．(3，﹣3)
B．(3，9)
C．(﹣1，﹣3)
D．(﹣1，9)
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．
【详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线y=a（x-k）2+h平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）平移问题进行解决．
4．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（
）
A．无论取何实数，的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，随的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的解析式的性质，对每个选项进行分析即可．
【详解】
A、由函数表达式的性质可得，抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），抛物线的最大值为-h+1，若h<1，则y>0，故A项错误；
B、由题可得出抛物线的顶点坐标为（h，-h+1），
当x=h时，代入y=x-1得，故B项错误；
C、由题意得，抛物线在x=h左侧时，随的增大而增大，
∴，故C项错误；
D、∵x12h，
∴x1在x=h左侧且更靠近x=h，
∵在中，x离x=h越近，y值越大，
∴y1>y2，故D项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握知识点，灵活运用是解题关键．
5．若点在抛物线上，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质与A,B点横坐标到对称轴的距离即可判定.
【详解】
的开口向下，对称轴为
∵点A，点B在对称轴的右侧，y随着的增大而减小，且
∴
故选：A
【点评】本题考查了二次函数上函数值的大小比较；解题的关键是熟悉二次函数的性质，判断开口方向和对称轴.
已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数解析式可得对称轴为，开口方向向上，然后判断出各点离对称轴距离的大小关系即可得出答案.
【详解】
解：二次函数的对称轴为，开口方向向上，
在图象上的三点，，，
∵，即A点离对称轴最近，B点次之，C点最远，
∴、、的大小关系为，
故答案为：.
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确得出各点离对称轴距离的大小关系是解题的关键.
二次函数y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是_____．
【答案】（5，3）
【解析】
【分析】
根据y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），进行解答．
【详解】
解：∵y＝2（x﹣5）2+3，
∴顶点为（5，3），
故答案为：（5，3）．
【点评】本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点．
若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)
【答案】a＜b＜c
【解析】
【分析】
先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答.
【详解】
由二次函数的解析式可知，对称轴为直线x=-1，且图象开口向上，
∴点离对称轴距离越远函数值越大，
∵-1-（-2）=1，
1-（-1）=2，
2-（-1）=3，
∴a＜b＜c，
故答案为：a＜b＜c.
【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式以及图象上点的坐标特征是解答的关键.
已知抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_____（用“＜”连接）．
【答案】y2＜y3＜y1
【解析】
【分析】
根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决．
【详解】
∵抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），
该函数开口向上，对称轴是直线x＝﹣，当x＞﹣时，y随x的增大而增大，当x＜﹣时，y随x的增大而减小，
∵|﹣4﹣（﹣）|＝3.5，|﹣2﹣（﹣）|＝1.5，|2﹣（﹣）|＝2.5，点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，
∴y2＜y3＜y1，
故答案为：y2＜y3＜y1．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
的图象开口向________，顶点坐标为________，当时，值随着值的增大而________．
【答案】下
减小
【解析】
【分析】
题干所给为顶点式解析式,直接依据顶点式的性质即可解答.
【详解】
由题可知，a=-2，故开口向下；
直接写出顶点坐标为（1,5）；
对称轴为x=1，由于抛物线开口向下，故当x＞1时，值随着值的增大而减小.
【点评】本题考查了顶点式的结构及其与图像的对应关系.
11．已知二次函数．
（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴交点坐标，并画出函数大致图象；
根据图象直接回答：当x为何值时，？当x为何值时？
【答案】（1）顶点坐标为（，），与y轴的交点坐标为（0，-3），与x轴的交点坐标为（，0），（-1，0），图像见解析；（2），；当或，
【解析】
【分析】
（1）先将化成顶点式，从而确定顶点坐标，然后分别令x=0、y=0确定函数图像与y轴和x轴的交点坐标，再描出顶点以及与y轴和x轴的交点，最后用平滑曲线连接即可；
（2）通过函数图像以及函数图像与x轴、y轴的交点坐标即可确定解集
【详解】
解：，
顶点坐标为，
当时，；
当时，，
解得：，或，
二次函数的图象与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，；
图象如图所示：
当，；
当或，．
【点评】本题考查了二次函数的图象、抛物线与x轴的交点、二次函数的顶点式灯知识点；掌握二次函数的图象特点以及将其化成顶点式是解答本题的关键．
12．已知一条抛物线过点（3，2）和（0，1），且它的对称轴为直线x=3．试求这条抛物线的解析式．
【答案】y=﹣（x﹣3）2+2．
【解析】
【分析】
根据对称轴可设抛物线的顶点式，将（3，2）和（0，1）代入可得方程组，解方程组即可的抛物线解析式．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2+k，
由抛物线过点（3，2）和（0，1）可得：
，解得：，
故抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣3）2+2．
考点：待定系数法求二次函数解析式．
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1．在﹣2，0，1这三个数中任取两数作为m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（
）
A．图象开口向下
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
3．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（
）
A．(3，﹣3)
B．(3，9)
C．(﹣1，﹣3)
D．(﹣1，9)
4．小明在研究抛物线（为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（
）
A．无论取何实数，的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线上
C．当时，随的增大而增大，则
D．该抛物线上有两点，，若，，则
5．若点在抛物线上，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为__________．
7．二次函数y＝2（x﹣5）2+3的顶点坐标是_____．
8．若A（-2，a），B（1，b），C（2，c）为二次函数的图象上的三点，则a，b，c的大小关系是__________________．(用“<”连接)
9．已知抛物线y＝a（x+）2+k（a＞0），点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是_____（用“＜”连接）．
10．的图象开口向________，顶点坐标为________，当时，值随着值的增大而________．
11．已知二次函数．
（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴交点坐标，并画出函数大致图象；
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，？当x为何值时？
12．已知一条抛物线过点（3，2）和（0，1），且它的对称轴为直线x=3．试求这条抛物线的解析式．
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