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1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
3．由二次函数，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1
D．当时，随的增大而增大
4．若平面直角坐标系内的点
M
满足横、纵坐标都为整数，则把点
M
叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，－2)都是“整点”．抛物线
y=mx2－2mx+m－1(m>0)与
x
轴交于
A、
B
两点，若该抛物线在
A、B
之间的部分与线段
AB
所围成的区域（包括边界）恰有
6
个整点，则
m
的取值范围是(
)
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
5．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
6．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
A．①③④
B．①③
C．①②④
D．②
7．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
8．若A(x1,
y1)、B(x2,
y2)、C(x3,
y3)为函数图象上的三个点,其中x2＋x3＞4且－1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4,则y1、y2、y3之间的大小关系是__________
9．平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．
10．当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__.
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(
21.2.2第3课时二次函数y=a(x
h)
2
+
k的图象和性质（重点练)
)
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴为直线x=2，可判断（1），利用x=-1时，y=0，则a-b+c=0，结合对称轴可得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下可判断（2），利用抛物线的对称性得到C关于对称轴对称的点的坐标，然后利用二次函数的增减性即可得到判断（3），作出直线y=-3，然后依据函数图象进行判断，即可判断（4）．
【详解】
解：∵，
∴4a+b=0，故（1）正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0
又∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C（，），
∴C关于对称轴对称的点坐标（，）．
∵-3＜＜，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴
，故（3）错误．
方程a（x+1）（x-5）=0的两根为x=-1或x=5，
过y=-3作x轴的平行线，直线y=-3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：．
故（4）正确．
故选C．．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．
2．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
令y=0，求得A点坐标，B点用字母k表示的坐标，再把抛物线的解析式化成一般形式，则可用a与k的代数式表示OC，进而根据sin∠CBA=，用a与k的代数式表示BC，在由勾股定理得出a与k的方程，求得a的值，再根据△AOC的周长为12，求得k的值，则题目中的问题便可解决．
【详解】
令y＝0，则y＝a（x+3）(x﹣k）＝0，
解得x＝﹣3或k，
∴A(﹣3,0），B(k,0），
故①正确；
∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak，
∴C（0,﹣3ak），
∴OC＝﹣3ak，
∵sin∠CBA＝，
∴，
∴BC＝，
∵BC2﹣OC2＝OB2，
∴45a2k2﹣9a2k2＝k2，
∴a2＝，
∵抛物线的开口向下，
∴a＝﹣，
故②正确；
∴OC＝k，
∴AC＝，
∵△AOC的周长为12，
∴3+k+＝12，
解得，k＝8，
∴B（8,0），
故③正确；
∵A（﹣3,0），B（8,0），
∴对称轴为：x＝，
故④正确．
综上所述①②③④都正确
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，通过函数图象可判断函数解析中系数的特征，已知函数解析式，可求得函数与坐标轴交点坐标及其坐标轴，本题还考查了锐角三角函数的应用．
3．由二次函数，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1
D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【详解】
解：由二次函数y=2（x-3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
4．若平面直角坐标系内的点
M
满足横、纵坐标都为整数，则把点
M
叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，－2)都是“整点”．抛物线
y=mx2－2mx+m－1(m>0)与
x
轴交于
A、
B
两点，若该抛物线在
A、B
之间的部分与线段
AB
所围成的区域（包括边界）恰有
6
个整点，则
m
的取值范围是(
)
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【答案】B
【解析】
【分析】
先将抛物线化为顶点式写出顶点坐标，然后根据顶点坐标以及恰有6个整点确定A点范围，最后根据A点坐标代入求出m的取值范围.
【详解】
∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，－1），
如图所示，
∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（－1，0）与（－2，0）之间，包括点（－1，0），
当抛物线绕过（－1，0）时，，
当抛物线绕过（－2，0）时，，
∴的取值范围为，
故选：B．
【点评】本题为二次函数关系式与图象的综合运用，要熟悉表达式之间的转化，以及熟练掌握二次函数的图象.
5．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】D
【解析】
试题解析：：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选D．
6．如图，抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点.则下列结论：
①a=；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时y1＞y2.
其中正确的结论是( )
①③④
B．①③
C．①②④
D．②
【答案】B
【解析】
【分析】
把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．
【详解】
抛物线y1=（x+1）2+1与y2=a（x-4）2-3交于点A（1，3），
∴3=a（1-4）2-3，
解得：a=，故①正确；
过点E作EF⊥AC于点F，
∵E是抛物线的顶点，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②错误；
当y=3时，3=（x+1）2+1，
解得：x1=1，x2=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
则AB=4，AD=BD=2，
∴AD2+BD2=AB2，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；
∵（x+1）2+1=（x-4）2-3时，
解得：x1=1，x2=37，
∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．
故选B．
【点评】考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
7．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．
【详解】
∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），
∴2+n=3，即n=1；
∴y2=（x﹣3）2+1，
把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误；
由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确；
∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3），
∴，
解得
，
∴.
令y1=3，则，
解得x1=-5，x2=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y2=3，则（x﹣3）2+1=3，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
若A(x1,
y1)、B(x2,
y2)、C(x3,
y3)为函数图象上的三个点,其中x2＋x3＞4且－1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4,则y1、y2、y3之间的大小关系是__________
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数解析式确定抛物线的对称轴为x=2，再利用二次函数增减性“开口向下，左增右减”可知最小，再计算求得y2-y3的值，即可解答.
【详解】
解：函数，开口向下，对称轴为
∵－1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4
∴位于对称轴左侧，位于对称轴右侧，且离对称轴最远∴最小
∵
∴
∴
故答案为：
【点评】本题主要考查二次函数增减性，开口向上，左减右增；开口向下，左增右减.
9．平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．
【答案】4+4
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥x轴，由旋转可知AC=AB，易证△ACO≌△BAE，则AE=OC=4，OA=BE，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，得到OB=BD，当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，然后设点A坐标为（x，0），则OA=x（），则点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），得到OD=2x+8，利用勾股定理求出CD，结合二次函数的性质得到当x=0时，OB+BC最小，故可求解．
【详解】
解：过点B作BE⊥x轴，
∴∠AEB=∠COA=90°，
∵将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，
∴∠CAB=90°，AC=AB，
∴∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠BAE=90°，
∴∠OCA=∠BAE，
∴△ACO≌△BAE，
∴CO=AE=4，OA=BE，
如图，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，
∴OB=DB，
∴当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，OB+BC的最小值为CD；
设点A坐标为（x，0），则OA=x（），
∴点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），
∴OD=2x+8，
在直角三角形OCD中，由勾股定理，得：，
∴，
∵，
∴当时，CD有最小值，
当x=0时，A（0，0），B（4，0）
∴OB+BC=4+
故答案为：4+4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，轴对称求最短距离问题，以及勾股定理，解题的关键是正确理解题意，找到使OB+BC得到最小值的情况，然后进行分析解答．
10．当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__.
【答案】
【解析】
函数y＝－（x－1）2＋2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，所以当x＝2.5时，y最大＝－（2.5－1）2＋2＝-．
故答案为：.
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时根据函数的解析式判断出函数的增减性质，然后根据范围判断出取最值的x值，然后求出最大值即可，此题易错为不考虑2≤x≤5的范围，单纯的考虑y＝－（x－1）2＋2的最大值，出现错误答案．
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