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(
21.2.2第4课时二次函数y=ax
2
+
bx
c的图象和性质（基础练)
)
1．已知二次函数y＝x2﹣2x＋2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（
）
A．a＝1
B．1≤a＜2
C．1＜a≤2
D．1≤a≤2
【答案】D
【解析】
【分析】
将二次函数的解析式化成顶点式，求出对称轴，再根据开口方向和增减性即可解答.
【详解】
由二次函数y＝x2﹣2x＋2=
y＝知：
二次函数的对称轴是直线x=1，
∵二次函数的图象开口向上，
∴当x=1时，y有最小值，最小值为1，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1，
又当x=0时，y=2，
∴1≤a≤2，
故选：D.
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
2．将二次函数y=x2-4x+2化为顶点式，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
【详解】
y=x2-4x+2
=x2-4x+4-2
=（x-2）2-2．
故选A．
【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用完全平方公式是解题关键．
3．在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（
）
A．（，1）
B．（1，）
C．（2，）
D．（1，）
【答案】B
【解析】
由原抛物线的顶点坐标，根据横坐标与纵坐标“左加右减”可得到平移后的顶点坐标：
∵y=2x2+4x+1=2（x2+2x）+1=2[（x+1）2﹣1]+1=2（x+1）2﹣1，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∵将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，其顶点坐标也作同样的平移，
∴平移后图象的顶点坐标是（﹣1＋2，﹣1－1），即（1，﹣2）．故选B．
4．关于二次函数，下列说法正确的是（
）
A．图像与轴的交点坐标为
B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小
D．的最小值为-3
【答案】D
【解析】
分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为则的值是( )
A．
B．或
C．或
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
先将抛物线的解析式化为顶点式，可得顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点坐标，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【详解】
解：将化为顶点式得：，
∴这条抛物线的顶点坐标为，
∴关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为，
∵它们的顶点相距6个单位长度．
∴，化简得：，
∴，
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的值是或，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标的轴对称变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．
6．已知点与点的坐标，抛物线与线段有交点，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
分a＜0，a＞0两种情况讨论，根据题意列出不等式，可求a的取值范围.
【详解】
解：因为是抛物线，所以a≠0，
=，
∴顶点为（3，1）
∵函数的图象与线段AB有交点，
①当a<0时，函数图象与线段AB无交点，
②当a>0时，若抛物线与线段AB有交点，则有
，
解得，
∴当a>0时，要使抛物线与线段AB有交点，a的取值范围是，
故答案为：.
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
7．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式______.
【答案】y=（x﹣6）2﹣36
【解析】
【分析】
将二次项系数化为1，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】
y=2x2－12x
=2(x?
?6x+9)?18=2(x?3)?
?18,即y=2(x?3)?
?18.
故答案为y＝2(x－3)2－18
【点评】本题考查了二次函数表达式三种形式的互化，掌握转化的技巧是解题的关键.
8．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式，则火箭升空的最大高度是___m
【答案】56
【解析】
【分析】
将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
【详解】
解：∵
=
=，
∵，
∴抛物线开口向下，
当x=6时，h取得最大值，火箭能达到最大高度为56m．
故答案为：56．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．
9．已知二次函数，若，则y的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y的最小值，然后再求得最大值即可．
【详解】
解：．
当时，y有最小值，最小值为．
，
当时，y有最大值，最大值为．
的取值范围为．
故答案为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．二次函数的图像先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图像的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可．
【详解】
解：∵将二次函数y=x2+2x+2=（x+1）2+1的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数的解析式为：y=（x-2）2+3，
∴平移后的二次函数的顶点坐标为（2，3）．
故答案是：（2，3）．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()．
（1）写出抛物线顶点的纵坐标
(用含a的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=4．
①求a的值；
②记二次函数图象在点?A，B之间的部分为W(含?点A和点B)，若直线?()经过（1，-1），且与?图形W?有公共点，结合函数图象，求?b?的取值范围．
【答案】（1）4a+8；（2）①a=-1；②或或
【解析】
【分析】
（1）将原表达式变为顶点式，即可得到答案；
（2）①根据顶点式可得抛物线的对称轴是x=1
，再根据已知条件得到A、B两点的坐标，将坐标代入，即可得到a的值；②分情况讨论，当?()经过（1，-1）和A（-1,0）时，以及当?()经过（1，-1）和B（3，0）时，代入解析式即可求出答案.
【详解】
（1）==
所以顶点坐标为（1,4a+8）,则纵坐标为4a+8.
（2）①解：∵原解析式变形为：y=
∴抛物线的对称轴是x=1
又∵
抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，AB=4
∴
点A和点B各距离对称轴2个单位
∵
点A在点B的左侧
∴A（-1,0），B（3，0）
∴将B（3，0）代入
∴9a-6a+5a+8=0
a=-1
②当?()经过（1，-1）和A（-1,0）时
，
当?()经过（1，-1）和B（3，0）时
，
∴或或
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的综合性题目，数形结合是解答此题的关键.
12．如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】
利用配方法得到y=x2?ax+a=y=(x?a)2﹣a2+a，则顶点P的坐标为(a，)，根据三角形面积公式得到S△PAB=×2×()=，然后根据二次函数的性质可确定△PAB面积最大时a的值．
【详解】
解：∵y=x2?ax+a=y=(x?a)2﹣a2+a，
∴顶点P的坐标为(a，)，
∵点P在x轴上方，
∴＞0，
∴S△PAB=×2×()==，
∴a=8时，△PAB面积最大，
故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是将面积最大值问题转化为求二次函数最大值问题．
13．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．
【详解】
解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得
解得
故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
所以抛物线的顶点坐标是（，）．
【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．
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1．已知二次函数y＝x2﹣2x＋2（其中x是自变量），当0≤x≤a时，y的最大值为2，y的最小值为1．则a的值为（
）
A．a＝1
B．1≤a＜2
C．1＜a≤2
D．1≤a≤2
2．将二次函数y=x2-4x+2化为顶点式，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在同一平面直角坐标系内，将函数的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（
）
A．（，1）
B．（1，）
C．（2，）
D．（1，）
4．关于二次函数，下列说法正确的是（
）
A．图像与轴的交点坐标为
B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小
D．的最小值为-3
5．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于轴对称，且它们的顶点相距个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为则的值是( )
A．
B．或
C．或
D．或
6．已知点与点的坐标，抛物线与线段有交点，则的取值范围是_________．
7．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式______.
8．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式，则火箭升空的最大高度是___m
9．已知二次函数，若，则y的取值范围为______．
10．二次函数的图像先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后二次函数图像的顶点坐标是________．
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()．
（1）写出抛物线顶点的纵坐标
(用含a的代数式表示)；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，且点A在点B的左侧，AB=4．
①求a的值；
②记二次函数图象在点?A，B之间的部分为W(含?点A和点B)，若直线?()经过（1，-1），且与?图形W?有公共点，结合函数图象，求?b?的取值范围．
12．如图，在平面直角坐标系中，点P为抛物线y＝x2﹣ax+a的顶点，点A、B在x轴上且AB＝2，当点P在x轴上方且△PAB面积最大时，a的值为_____．
13．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
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