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(
21.2.3二次函数表达式的确定（基础练)
)
1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝4，则∠ACB的度数为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目中的条件和二次函数的性质，特殊角的三角函数值，可以求得∠ACB的度数，本题得以解决.
【详解】
设二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，
则x1＝＝，
该函数顶点C的坐标为：(﹣，)，
tan∠CAB＝＝1，
则∠CAB═45°，
同理可得，∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝90°，
故选：D.
【点评】此题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6
B．b=2，c=0
C．b=﹣6，c=8
D．b=﹣6，c=2
【答案】B
【解析】
【详解】
函数的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数的图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，
∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．
∴b=2，c=0．故选B．
3．将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求出旋转后的抛物线的解析式，再根据二次函数的图象平移的规律即可得．
【详解】
将抛物线的顶点式为
则其与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
点绕坐标原点旋转的坐标变换规律：横、纵坐标均变为相反数
则绕坐标原点旋转后，所得抛物线与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
设旋转后所得抛物线为
将点代入得：，解得
即旋转后所得抛物线为
则再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为
即
故选：C．
【点评】本题考查了点绕坐标原点旋转的坐标变换规律、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象平移的规律，熟练掌握坐标旋转变换规律和二次函数的图象平移规律是解题关键．
4．如图，抛物线y＝﹣（x+m）2+5交x轴于点A，B，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C，则点C的纵坐标为（
）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，然后联立组成方程组求解即可．
【详解】
解：将抛物线y＝﹣（x+m）2+5向右平移3个单位后得到y＝﹣（x+m﹣3）2+5，
根据题意得：，
解得：，
∴交点C的坐标为（，），
故选：B．
【点评】考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的解析式．
5．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（
）
①abc＞0；
②3a+b＞0；
③﹣1＜k＜0；
④4a+2b+c＜0；
⑤a+b＜k．
A．①②③
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④⑤
【答案】B
【解析】
试题解析：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
∵b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正确；
∵b=-2a，
∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0错误；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2=
由图象知x2＞1，
∴＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正确，
即正确命题的是②③⑤．
故选B．
6．已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【解析】
【分析】
先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
7．抛物线y=x2+2ax-3与x轴交于A、B(1，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m(m＞0)个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是_______________
【答案】0＜m＜3或m＝4
【解析】
【分析】
先将点B的坐标代入求出函数解析式，再分别讨论向上平移的长度与线段OA的交点个数即可得到答案
【详解】
将点B坐标代入y=x2+2ax-3，得1+2a-3=0，
解得a=1，
∴y=x2+2x-3，
当图象向上平移到小于3个单位长度时，函数图象与线段OA有且只有一个交点，
当向上平移3个单位时，有两个交点，
当向上平移大于3个单位小于4个单位时，有两个交点，
当向上平移4个单位时，恰好有且只有一个交点，
当向上平移大于4个单位时，没有交点，
故答案为：0＜m＜3或m＝4.
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，函数图象与坐标轴的交点坐标.
8．定义：给定关于的函数，对于该函数图像上任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有_____（填上所有正确答案的序号）
（1）；（2）；（3）；（4）
【答案】（3）
【解析】
【分析】
根据所给的定义，把x1和x2分别代入函数解析式进行判断即可．
【详解】
解：∵，
∴在（1）中，，，此时，不是偶函数；
在（2）中，，，此时，不是偶函数；
在（3）中，，，此时，是偶函数；
在（4）中，，，此时，不是偶函数；
∴是偶函数的为（3），
故答案为：（3）．
【点评】本题为新定义题目，理解题目中偶函数的定义是解题的关键．
9．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12
m时，桥洞顶部离水面4
m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
以A为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式即可．
【详解】
解：以A为原点建立坐标系，则A（0，0），B（12，0），C（6，4）
设y=a（x-h）2+k，
∵C为顶点，
∴y=a（x-6）2+4，
把A（0，0）代入上式，
36a+4=0，
解得：，
∴；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，恰当的选取坐标原点，求出各点的坐标是解决问题的关键．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是_____．
【答案】﹣15．
【解析】
【分析】
由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，可以求出抛物线的a值；当顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，即可求解．
【详解】
解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，
将点A坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，
解得：a=-1，
当x=-1时，y=a-b+c，
顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，
顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，
当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-15，
故答案为-15．
【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的a值始终不变．
11．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线y=ax2＋bx＋c交x轴于点B(1，0)．
（1）求A、C点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上是否存在点E，使得∠ECA=2∠CAB，若存在这样的点E，求出△ACE的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A(－5，0)，C(0，)；（2）
；（3）存在，．
【解析】
【分析】
（1）分别代入x=0，y=0即可求得；
（2）待定系数法即可求得抛物线解析式；
（3）过点C作CM∥AB，过点E作EF⊥CM，证△CEF∽△ACO，得，设点E（m，)，根据比例关系即可求得.
【详解】
解：（1）当y=0时，x＋=0，
解得：x=－5，则A(－5，0)；
当x=0时，y=，
∴C点坐标为（0，）；
（2）设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，代入A，B，C三点，
，解得
，
∴抛物线的解析式为：；
（3）存在．如图，过点C作CM∥AB，过点E作EF⊥CM，
∴∠MCA=∠CAB．
∵∠ECA=2∠CAB=∠ECF＋∠MCA，
∴∠ECF=∠CAB．
∵∠AOC=∠EFC=90°，
∴△CEF∽△ACO，
∴．
设点E（m，)，OC=，
∴，
解得：m=－3或m=0(不合题意，舍去)，
∴点E(－3，4)
∴S△ACE=×(3＋5)×4－××3-×5×=．
【点评】本题为二次函数综合题，结合一次函数主要考查用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，有一定的综合性，熟练掌握抛物线性质是解题的关键.
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1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝4，则∠ACB的度数为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为
A．b=2，c=﹣6
B．b=2，c=0
C．b=﹣6，c=8
D．b=﹣6，c=2
3．将抛物线先绕坐标原点旋转，再向右平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，抛物线y＝﹣（x+m）2+5交x轴于点A，B，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C，则点C的纵坐标为（
）
A．
B．
C．3
D．
5．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（
）
①abc＞0；
②3a+b＞0；
③﹣1＜k＜0；
④4a+2b+c＜0；
⑤a+b＜k．
A．①②③
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④⑤
6．已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
0
2
6
0
6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
7．抛物线y=x2+2ax-3与x轴交于A、B(1，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m(m＞0)个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是_______________
8．定义：给定关于的函数，对于该函数图像上任意两点，当时，都有，称该函数为偶函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是偶函数的有_____（填上所有正确答案的序号）
（1）；（2）；（3）；（4）
9．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12
m时，桥洞顶部离水面4
m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，求选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是_______．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则a﹣b+c的最小值是_____．
11．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线y=ax2＋bx＋c交x轴于点B(1，0)．
（1）求A、C点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在直线AC上方的抛物线上是否存在点E，使得∠ECA=2∠CAB，若存在这样的点E，求出△ACE的面积；若不存在，请说明理由．
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