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(
21.2.3二次函数表达式的确定（重点练)
)
1．若二次函数的图象和轴两交点间的距离为则为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
易得二次函数的图象对称轴是：直线x=，结合抛物线和轴两交点间的距离为4，即可得抛物线和轴两交点的坐标分别为：(-1，0)，(3，0)，进而即可求解．
【详解】
∵二次函数的图象的对称轴是：直线x=，
又∵抛物线和轴两交点间的距离为4，
∴抛物线和轴两交点的坐标分别为：(-1，0)，(3，0)，
把(3，0)代入得：，解得：a=．
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数图象的对称性以及待定系数法，掌握抛物线和轴两交点关于抛物线的对称轴对称，是解题的关键．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】D
【解析】
【分析】
把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；
根据抛物线的顶点和最值即可判断③；
求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；
根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.
【详解】
解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，
∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；
当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），
可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确，
如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，
∵AD＝＝3，BD＝＝，
∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
3．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（ ）
A．1
B．9
C．16
D．24
【答案】A
【解析】
分析：判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；
详解：如图，
由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，
∴a+b=1，
故选A．
【点评】本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．
4．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3
B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3
D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式.
【详解】
∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．
故选：D．
【点评】此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式.
5．抛物线y=x2+2ax-3与x轴交于A、B(1，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m(m＞0)个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是_______________
【答案】0＜m＜3或m＝4
【解析】
【分析】
先将点B的坐标代入求出函数解析式，再分别讨论向上平移的长度与线段OA的交点个数即可得到答案
【详解】
将点B坐标代入y=x2+2ax-3，得1+2a-3=0，
解得a=1，
∴y=x2+2x-3，
当图象向上平移到小于3个单位长度时，函数图象与线段OA有且只有一个交点，
当向上平移3个单位时，有两个交点，
当向上平移大于3个单位小于4个单位时，有两个交点，
当向上平移4个单位时，恰好有且只有一个交点，
当向上平移大于4个单位时，没有交点，
故答案为：0＜m＜3或m＝4.
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数的平移，函数图象与坐标轴的交点坐标.
6．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵在中，令x=0，则y=，∴点A（0，），
根据题意，点A、B关于对称轴对称，∴△OAB的中位线在对称轴上．
∴顶点C的纵坐标为．∴根据顶点公式，得，解得b1=3，b2=﹣3．
由图可知，，∴b＜0．∴b=﹣3．
∴对称轴为直线x=．∴点D的坐标为（，0）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x2+mx+n，
则，解得．
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）P的坐标
，C的坐标
；
（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）
【解析】
【分析】
（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；
（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
令x＝0得到y＝﹣5，
∴C（0，﹣5）．
故答案为：（3，4），（0，﹣5）；
（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，
解得：x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得：，
∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，
设直线交x轴于D，则D（，0），
设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，
∵AD＝，
∴BE＝，
∴E（，0）或E′（，0），
则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，
∴Q（，﹣5），
直线PE′的解析式为y＝﹣x+，
∴Q′（，﹣5），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（，﹣5）或（，﹣5）；
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．已知，是抛物线上两点，则__．
【答案】2020；
【解析】
【分析】
由，是抛物线上两点，可得，，当时，.
【详解】
解：∵，是抛物线上两点
∴，
当时，.
故答案为2020.
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P
为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
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1．若二次函数的图象和轴两交点间的距离为则为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（ ）
A．1
B．9
C．16
D．24
4．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3
B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣3
D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
5．抛物线y=x2+2ax-3与x轴交于A、B(1，0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m(m＞0)个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是_______________
6．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为_________．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）P的坐标
，C的坐标
；
（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知，是抛物线上两点，则__．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
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