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(
21.2.1二次函数y=ax
2
的图象和性质(重点练)
)
1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2
B．≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或1＜a≤2
D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
【答案】D
【解析】
【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a的取值范围即可.
【详解】
解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）
∴-1=a×12
∴a=-1
∴-1≤a<0
若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）
∴2=a×12
∴a=2
∴0
∴a的取值范围是-1≤a<0或0故选D
【点评】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．
2．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】【分析】根据点M在y＝2x上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析式，求出点P的坐标，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵设抛物线的顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2）．
∴当抛物线运动到A点时，顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y＝（x-m）2+2m．
∴当x＝2时，y＝（2-m）2+2m＝m2-2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．
∵对于二次函数y′＝m2-2m+4＝（m-1）2+3
当0≤m≤2时，
∴m＝1时，y′有最小值3，
当m＝0或2时，y′的值为4，
∴点P移动的路径长为2×（4-3）＝2，故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象的性质及平移问题，利用二次函数的最值和界点值求解是解答此题的关键.
3．抛物线，，共有的性质是（
）
A．开口向下
B．对称轴是轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质解题．
【详解】
解：抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向下，对称轴为y轴，有最高点，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
∴抛物线共有的性质是对称轴为y轴．
故选B．
【点评】本题考查二次函数的性质．
4．如图，分别过点Pn(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数
(x＞0)的图象于点An
，交直线
(x＞0)于点Bn
，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意写出An、Bn
的坐标，然后可得到，从而，然后进行计算即可．
【详解】
解：由题意可知An、Pn、Bn
的横坐标相同，
∵Pn(n，0)，
∴Bn(n，)，An(n，)，
∴，
，
∴
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出是解题的关键．
5．函数y＝ax－2
(a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【详解】
解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
【点评】考核知识点：二次函数图象.
6．已知点都在二次函数上，的横坐标分别为，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，当点在线段上时，的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出符合题意的图形，分别过A，B作好两轴的垂线，当点在线段上时就会出现相似三角形，利用相似三角形的性质建立关于的方程求解．
【详解】
解：过点作，过B作轴于N，轴于M，
因为点在线段上，
所以，，
，
∴，化简得：，
化为，
∴
（舍负），
∴
故答案为：
【点评】本题考查二次函数的性质，相似三角形，一元二次方程的解法，掌握相关知识是解题关键．
7．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A、A、…、A在y轴的正半轴上，点B、B、B、…、B在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角形，则△ABA的边长＝____________．
【答案】2018
【解析】
【分析】
分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=x2中，求a、b、c的值，得出规律．
【详解】
解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=a，BB2=b，CB3=c,
在正△A0B1A1中，B1（a，），
代入y=x2中，得=×a2，解得a=1，即A0A1=1，
在正△A1B2A2中，B2（b，1+），
代入y=x2中，得1+=×b2，解得b=2，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3（c，3+），
代入y=x2中，得3+=×c2，解得c=3，即A2A3=3，
…
依此类推由此可得△A2017B2018A2018的边长=2018，
故答案为：
2018．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
8．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】2π
【解析】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π.
故答案为：2π.
方程????的解的个数为________．
【答案】2
【解析】
【分析】
用图象法求解，分别画出y=（x+2）（x+3）（x+6）（x+9）与y=3x2的图象，根据两图象的交点个数即可判断方程解的个数．
【详解】
y=(x+2)(x+3)(x+6)(x+9)与的图象如图：
由图象可知有两个交点，故解的个数为2，
故答案为：2.
【点评】考查高次方程，难度较大，关键是先画出两个函数的图象的大致图象进行求解.
若函数y＝3x2的图象与直线y=kx＋3的交点为(2，b)，则k=_____，b＝______.
【答案】,
12
【解析】
根据题意，把交点坐标（2，b）代入y＝3x2可得b=3×4=12，即交点为（2，12），代入y=kx+3可得k=.
故答案为：，12.
11．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m②m>0，n<0
③m<0，n>0
④m>n>0
【答案】②④
【解析】
∵x2一定不小于0，则由条件“对应任意给定的x的值，都有y甲
y乙”可知：存在以下3种情况：
（1）若y甲和y乙都为正数，则m＞0，n＞0且m＞n，即m>n>0；
（2）若y甲为正数，y乙为负数，则m＞0，n＜0；
（3）若都为负数时，则n＜m＜0；
∴关于m，n的关系正确的是②
、④
．
12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)．
（1）求点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为．
①当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；
②如果区域内有2个整点，请求出的取值范围．
【答案】（1）A（a，0）；（2）①4；②
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；
（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；
②由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.
【详解】
解：（1）∵抛物线的解析式为：，
∴可得顶点坐标为：A（a，0）；
（2）①∵a=0，
∴抛物线表达式为：，
令，
解得：x1=，x2=，
∵，，
∴区域内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；
②由①可知当a=0时有4个整点，
当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，
∴a＜0，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点在x轴，开口向上，
当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，
当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，
，
解得：a=-2或0（舍），
第二个整点为（0，2），代入抛物线，
，
解得：a=（舍）或，
第三个整点为（0，1），代入抛物线，
，
解得：a=1（舍）或-1，
综上：a的取值范围是：.
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
13．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有
；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线y＝x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，点Q的坐标为（6，0）或（，0）．
【解析】
【分析】
（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可；
（2）对于P点，对应图形的周长为：2×（|a|+3）=2|a|+6，面积为3|a|，因为点P是“美好点”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；
（3）根据点P是“美好点”确定点P的坐标，设点Q的坐标为（x，0），再分以下三种情况：当∠POQ=90°时，此种情况不存在；当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2；当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，分别列出关于x的方程，解得x即可．
【详解】
解：（1）对于M点，对应图形的周长为：2×（2+2）＝8，面积为2×2＝4≠8，故点M不是“美好点”；
对于点N，对应图形的周长为：2×（4+4）＝16，面积为4×4＝16，故点N是“美好点”；
对于点Q，对应图形的周长为：2×（6+3）＝18，面积为6×3＝18，故点Q是“美好点”；
故答案为：N、Q；
（2）对于P点，对应图形的周长为2×（|a|+3）＝2|a|+6，面积为3|a|，
∵点P是“美好点”，
∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，
将P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，则b＝﹣3﹣a，
∴当a=6时，b=-9；当a=-6时，b=3，
故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；
（3）存在，理由如下：
设点P的坐标为（m，n），则n＝m2（m＞0，n＞0），
由题意得：2m+2n＝mn，∴2m+m2＝m3，
解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），
故点P的坐标为（6，3）；
设点Q的坐标为（x，0），
则PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，
PO2＝36+9＝45，
OQ2＝x2，
当∠POQ=90°时，∵点Q在x轴上，则∠POQ≠90°，此种情况不存在；
当∠PQO=90°时，则PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+
x2，解得x＝6或x=0（舍去）；
当∠OPQ=90°时，则OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝；
综上所述，符合条件的点Q的坐标为：（6，0）或（，0）．
【点评】本题考查了新定义问题，二次函数图象上的点，勾股定理，一次函数的图象上的点以及解一元二次方程等知识点，理解新定义是解题的关键，第（3）小问注意分类讨论思想的运用，避免漏解．
14．二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
【答案】(1)
a=1，m=1；(2)二次函数的表达式：y=x2，当x>0时，y随x的增大而增大；(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数发先求出m的值，然后再代入求出a的值；
（2）根据函数的解析式和图像的性质直接可写出；
（3）根据函数的图形与性质求出顶点和对称轴即可.
试题解析：(1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1).
将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12，
得a=1.
即a=1,m=1.
(2)二次函数的表达式：y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
(3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.
15．已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．【答案】（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x2，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【解析】
【分析】
（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m；
（2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【详解】
解：（1）把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，以及二次函数的图形的特点，熟练掌握待定系数法和函数特点是解答此题的关键．
16．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.
【答案】.
【解析】
【分析】
首先求得两个交点的坐标，然后求得直线与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：
解得：或
∵点和点，其中
∴，
直线与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴
【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．
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1．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，﹣1），C（2，2），抛物线y=ax2（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或a≥2
B．≤a≤2
C．﹣1≤a＜0或1＜a≤2
D．﹣1≤a＜0或0＜a≤2
2．如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．抛物线，，共有的性质是（
）
A．开口向下
B．对称轴是轴
C．都有最低点
D．y随x的增大而减小
4．如图，分别过点Pn(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数
(x＞0)的图象于点An
，交直线
(x＞0)于点Bn
，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
5．函数y＝ax－2
(a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．
B．
C．
D．
6．已知点都在二次函数上，的横坐标分别为，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，当点在线段上时，的值为___________．
7．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A、A、…、A在y轴的正半轴上，点B、B、B、…、B在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角形，则△ABA的边长＝____________．
8．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．
9．方程????的解的个数为________．
10．若函数y＝3x2的图象与直线y=kx＋3的交点为(2，b)，则k=_____，b＝______.
11．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是_____(填序号).
①m②m>0，n<0
③m<0，n>0
④m>n>0
12．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)．
（1）求点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为．
①当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；
②如果区域内有2个整点，请求出的取值范围．
13．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形OAPB的周长与面积相等，则P为“美好点”．
（1）在点M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好点”的有
；
（2）若“美好点”P（a，﹣3）在直线y＝x+b（b为常数）上，求a和b的值；
（3）若“美好点”P恰好在抛物线y＝x2第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得△POQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．二次函数y=ax2与直线y=2x-1的图象交于点P(1，m).
(1)求a、m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大？
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
15．已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
16．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.
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