1．抛物线，，共有的性质是（
）
A．开口向上
B．对称轴是轴
C．顶点坐标都是
D．在对称轴的右侧随的增大而增大
2．二次函数y
=
x2+2的对称轴为（
）
A．
B．
C．
D．
3．二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（ ）
A．向左
B．向右
C．向上
D．向下
4．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（
）
A．抛物线开口向下
B．当时，函数的最大值是
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线与x轴有两个交点
5．下列各点在函数y=-x2+1图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是_____．
7．已知二次函数，如果x
>
0，那么函数值y随着自变量x的增大而____________．（填“增大”或“减小”）．
8．抛物线
的顶点坐标是________．
9．抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）
10．如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是_____．
11．如图一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.、
（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；
（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？
12．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
13．连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．
14．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为 ，（﹣1，﹣2）的变换点为 ．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
15．求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
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（2）经过点（-3,2）.试卷第1页，总3页
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(
21.2.2第1课时二次函数y=ax
2
+
k的图象和性质(基础练)
)
1．抛物线，，共有的性质是（
）
A．开口向上
B．对称轴是轴
C．顶点坐标都是
D．在对称轴的右侧随的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】
分别写出三个函数的性质，即可求解．
【详解】
解：，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,0），在对称轴的右侧随的增大而增大；，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,0），在对称轴的右侧随的增大而减小；，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,1），在对称轴的右侧随的增大而增大．
故选：B
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
2．二次函数y
=
x2+2的对称轴为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质解答即可．
【详解】
二次函数y
=
x2+2的对称轴为直线．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键．
y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．
3．二次函数y＝1﹣2x2的图象的开口方向（ ）
A．向左
B．向右
C．向上
D．向下
【答案】D
【解析】
【分析】
二次函数中二次项的系数决定抛物线的开口方向．
【详解】
∵二次函数y＝1﹣2x2中﹣2＜0，
∴图象开口向下，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
4．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（
）
A．抛物线开口向下
B．当时，函数的最大值是
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线与x轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质，逐一判断选项，即可.
【详解】
∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故A错误，
∵当时，函数的最小值是，
∴B错误，
∵抛物线的对称轴是y轴，
∴C错误，
∵?=，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴D正确，
故选D.
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.
5．下列各点在函数y=-x2+1图象上的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
A.
把（0，0）代入得，左=0，右=1
，故不符合题意；
B.
把（1，1）代入得，左=1，右=-1+1=0
，故不符合题意；
C.
把（0，﹣1）代入得，左=-1，右=1
，故不符合题意；
D.
把（1，0）代入得，左=0，右=-1+0=0
，故不符合题意；
故选D.
已知点P（﹣2，y1）和点Q（﹣1，y2）都在二次函数y＝﹣x2+c的图象上，那么y1与y2的大小关系是_____．
【答案】y1＜y2
【解析】
【分析】
先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝﹣x2+c的开口向下，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
已知二次函数，如果x
>
0，那么函数值y随着自变量x的增大而____________．（填“增大”或“减小”）．
【答案】减小
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质，可以解答本题．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的开口向下，顶点坐标为（0，﹣3），
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
抛物线
的顶点坐标是________．
【答案】（0，-1）
【解析】
∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0，
，
∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)，
故答案为（0，-1）.
抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是_____．（填“上升”或“下降”）
【答案】下降
【解析】
【分析】
抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增加而减小．
【详解】
解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，
故答案为：下降．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
10．如果抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，那么a的取值范围是_____．
【答案】a＞1．
【解析】
【分析】
根据抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，则a＜0，利用不等式求解即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向下，
∴1﹣a＜0，解得，a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
11．如图一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.、
（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；
（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？
【答案】(1)图见解析，抛物线的函数表达式为（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；(2)
【解析】
【分析】
（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴建立平面直角坐标系（图见解析）；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将B点的坐标代入即可求解；
（2）根据题（1）的结果，令求出x的两个值，从而可得水面上升1m后的水面宽度，再与12m作差即可得出答案.
【详解】
（1）以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在线为x轴，过点O作AB的垂线为y轴，建立的平面直角坐标系如下：
根据所建立的平面直角坐标系可知，B点的坐标为，抛物线的顶点坐标为
因此设抛物线的函数表达式为
将代入得：
解得：
则所求的抛物线的函数表达式为（注：因建立的平面直角坐标系的不同而不同）；
（2）由题意，令得
解得：
则水面上升1m后的水面宽度为：（米）
故水面上升1m，水面宽度将减少米.
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键.
12．在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】
（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点评】
本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.
13．连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米．以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+56；（2）正中间系杆OC的长度是56米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先设抛物线的解析式，代入图中的坐标可解．
（2）假设存在一根系杆的长度是OC的一半，长度为28m，得出x的值与实际不符．故没有．
【详解】
解：（1）结合图象由题意：抛物线图象的对称轴是y轴，与x轴交点的坐标是（﹣140，0）、（140，0），且经过点（70，42）．设抛物线为y=ax2+c，
∴，解得：，
∴y＝﹣x2+56．
（2）当x＝0时，y＝56
设存在一根系杆的长度是OC的一半，即这根系杆的长度是28米，
∴x＝±70
相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．
∴x＝±70与实际不符．
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半．
【点评】
（1）先求出B、E两点坐标．根据建立的平面直角坐标系中的抛物线的形状，可设关系式为y=ax2+c，然后将B、E两点坐标代入关系式中可求出a、c的值．
（2）OC的长恰好等于抛物线顶点的纵坐标，再判断是否存在一根等于OC长度一半的系杆．
命题立意：此题是用二次函数的知识解决实际问题．此题是一个实际应用题，培养同学们用数学知识解决实际问题的能力，这也正体现了新课标的要求．
14．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为 ，（﹣1，﹣2）的变换点为 ．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
【答案】（1）（﹣1，﹣2），（1，4）；（2）点M坐标（7，5）；（3）①图象见解析；②
【解析】
【分析】
(1)由变换点坐标可求解；
(2)分1?m>0，1?m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标；
(3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解.
【详解】
（1）∵1>0
∴(1,2)的变换点为(?1,?2)
∵?1<0
∴(?1,?2)的变换点为(1,4)
故答案为：(?1,?2),(1,4)
（2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5）
∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8
∴点M（7，5）
当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3
∴m＝6（不合题意舍去）
∴点M坐标（7，5）
（3）①设点P（x，y）
当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0，
∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2
∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2
∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2
（x≥0）
当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0
∵y＝﹣x2+4
∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4
点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0）
由函数解析式可得图象如下：
②由①可得
【点评】本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键.
15．求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
（2）经过点（-3,2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可；
（2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
【详解】
解：（1）∴函数与的开口大小相同，方向相反，
∴，
∴；
（2）将点（-3，2）代入，得
，解得，
∴所求抛物线的表达式为.
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【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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