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1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．如图，已知二次函数y=x2+
x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（ ）
A．4
个??????????????????????????????????????
B．3个??????????????????????????????????????
C．2个??????????????????????????????????????
D．1个
3．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
4．当时，，则的取值范围是_______．
5．已知：二次函数，当时，函数有最大值.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；
(2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值.
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21.3第1课时二次函数与一元二次方程（重点练)
)
1．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知的一元二次方程整理为:一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，确定出二次函数解析式，令y=0，?得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.
【详解】
一元二次方程化为一般形式得：
，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∴，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
，
而选项①中，只有在m=0时才能成立，故①错误；
二次函数y=
=
=
=
=，
当y=0时，=0，
∴x=2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5，故③正确，
故选：C.
【点评】此题考查已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系式，二次函数图象与坐标轴交点，根与系数的关系公式及根的判别式公式是解此题中的关键计算.
2．如图，已知二次函数y=x2+
x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（ ）
A．4
个??????????????????????????????????????
B．3个??????????????????????????????????????
C．2个??????????????????????????????????????
D．1个
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意可得A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1,0），C的坐标为（0，-1）,点P在抛物线上，而且S△APC=2，那么符合条件的有（1）当点P和点B重合，其面积即为4×1÷2=2，（2）假设动点P在y轴的左侧只干上，则S△APC=，解得，把代入，得（舍去），所以点P（-4，）.在y轴的右侧上找不到适合的点，由此只有两个点．
【考点】二次函数与几何图形相结合
【点评】该题分析较为复杂，主要考查学生对二次函数与直角坐标系各坐标交点以及线上动点与固定点所形成图形面积的计算应用．
3．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
【答案】＜＜
【解析】
【分析】
先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
【详解】
解：抛物线，
∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）．
∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：；
∴，
由对称轴为x=1及图象与x轴交于（，0），（3，0）可知，
当＜＜时，抛物线与线段AB有两个交点；
∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是＜＜；
故答案为：＜＜.
【点评】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大．
4．当时，，则的取值范围是_______．
【答案】m≥1
【解析】
【分析】
设函数，令y=0，求出x，根据函数图像可知：在或时，函数图像在-3≤x≤0的区域内位于x轴下方，再分或两种情况分别求解，最后合并．
【详解】
解：设函数，
则该函数的图像为开口向下的抛物线，
令：，得：
==，
==，
可得，
∴函数与x轴的交点为：
（，0），（，0），
由于-3≤x≤0时，
，即函数的图像在-3≤x≤0时位于x轴下方，根据函数图像可知：在或时，函数图像在-3≤x≤0的区域内位于x轴下方，
因此有或两种情况，
当时，函数的对称轴直线x=m大于，即m＞0，
≥0，
，
∵m＞0，
∴，得：m≥1，
当时，函数的对称轴直线x=m小于，即m＜-3，
，
，
∵m＜-3，
∴m+3＜0，
∴-（m+3）≥，
两边平方得：，
∵m＜-3，
∴不成立，
故m的取值范围是m≥1．
故答案为：m≥1．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是将一元二次不等式转化成二次函数问题求解．
5．已知：二次函数，当时，函数有最大值.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；
(2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值.
【答案】(1)抛物线与轴交于(0，-3)，与轴交于(-1，0)，(3，0)；(2)实数的最大值为3
【解析】
【分析】
(1)求出对称轴，结合，可知当时，随增大而增大，所以时，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可；
(2)折叠部分对应的解析式：，根据求出的取值范围，即，再结合，即可求得实数的最大值.
【详解】
(1)抛物线的对称轴为：.
∴，抛物线开口向上，大致图象如图所示.
当时，随增大而增大；
∵当时，函数有最大值，
∴当时，，
∴，
解得：.
∴
当，，
，x2-2x-3=0，
解得：或，
∴抛物线与轴交于，抛物线与轴交于，.
(2)∵关于的一元二次方程恒有实数根，
∴，即恒成立，
∴恒成立.
∵（1）中的抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴函数的最小值为=-4，
∵点是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，
∴，
∴（k取值的下限），
∴实数的最大值为3.
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
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