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(
21.3第2课时二次函数与一元二次不等式（重点练)
)
1．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；④≥2．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，根据抛物线的对称轴公式x=﹣可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出ax2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.
【详解】
①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵0＜2a≤b，
∴＞1，
∴﹣＜﹣1，
∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；
③由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c≥0，
∴ax2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+b+c≥2b，
∵b＞0，
∴≥2，故④正确，
综上所述，正确的结论有3个，
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.
2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(
)
A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y=
x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【详解】
由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c＝0，
所以△=1-4c>0，
又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数y=
x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c＜﹣2，
故选B.
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
3．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（
）
A．0
B．a≥
C．≤a＜
D．【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知的对称轴为可知使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将代入中，使得，且将代入中使得即可求出a的取值范围.
【详解】
由题意可知的对称轴为
可知对称轴再y轴的右侧，
由与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)可知当时
可求得
使的x的取值范围内恰好只有一个整数时
只要符合将代入中，使得，且将代入中使得
即
求得解集为：
故选：C
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.
4．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1
B．m≥﹣5
C．m＜﹣4
D．m≤﹣4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以得到关于m的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以去的m的取值范围．
【详解】
解：∵2x3-x2-mx＞2，
∴2x2-x-m＞，
抛物线y=2x2-x-m的开口向上，对称轴为直线x=，
而双曲线y=分布在第一、三象限，
∵＜x≤1，2x2-x-m＞，
∴x=时，2×--m≥4，解得m≤-4，
x=1时，2-1-m＞2，解得m＜-1，
∴实数m的取值范围是m≤-4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．
5．抛物线y＝(a2+1)x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集是_____________________．
【答案】-1＜x＜6
【解析】
【分析】现将(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t变形(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c【详解】
解:∵(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t
∴(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c∵y=(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c的图像可由y＝(a2+1)x2+bx+c的图像向右平移2个单位得到
∴y=(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c一定过（﹣1，t）、B（6，t），
又∵a2+1＞0，
∴y=(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c的草图如下：
∴(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集为-1＜x＜6
故答案为-1＜x＜6
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系以及函数图像的平移，对解析式的灵活变形和画出函数图像草图是解答本题的关键．
6．已知3x－y=3a2－6a+9，x+y=a2+6a－9，若，则实数a的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件求a的值.
【详解】
解：依题意得：
,
解得
,
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及二次函数与不等式．
7．已知关于的二次函数和一次函数，若函数的图象始终在函数的图象的一侧，则常数的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】若，则，根据根的判别式时，函数与的图象只有一个交点，此时或，对a的值进行分类讨论，结合图形，根据a的值对函数图形的影响，确定a的取值范围即可．
【详解】
解：若，则，整理得，
当时，函数与的图象只有一个交点，此时或．
①当时，如图（1）所示．当从逐渐增大时，函数的图象开口向上，并随着的增大，开口越来越小，函数的图象逐渐向下平移，此时函数的图象在函数的图象上方．
②当时，如图（2）所示．当从逐渐减小时，函数的图象开口向下，并随着的减小，开口越来越小，函数的图象逐渐向上平移，此时函数的图象在函数的图象下方．
综上所述，若函数的图象始终在函数的图象的一侧，的取值范围为或．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数中系数对函数图象的影响，解题的关键是确定当函数与的图象只有一个交点时a的值，并根据系数对图象的影响确定a的取值范围．
8．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
【答案】或．
【解析】
【分析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】
解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
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1．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；④≥2．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(
)
A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
3．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（
）
A．0B．a≥
C．≤a＜
D．4．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1
B．m≥﹣5
C．m＜﹣4
D．m≤﹣4
5．抛物线y＝(a2+1)x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集是_____________________．
6．已知3x－y=3a2－6a+9，x+y=a2+6a－9，若，则实数a的值为____．
7．已知关于的二次函数和一次函数，若函数的图象始终在函数的图象的一侧，则常数的取值范围是__________．
8．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
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