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(
21.4第1课时几何图形的最大面积（重点练)
)
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）存在，或
【解析】
【分析】
（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：；
（2）设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t．
∴PB＝6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在RtBOC中，．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴BHQ∽BOC，
∴，即，
∴．
∴．
当PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t＝1时，．
答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）如图2，
在RtOBC中，．
设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t．
∴PB＝6﹣3t．
当∠PQB＝90°时，，
即，
化简，得17t＝24，
解得，
当∠BPQ＝90°时，
，
化简，得19t＝30，
解得，
综上所述：或时，以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
2．如图①，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，抛物线y＝﹣+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图②，当点P在y轴右侧时，过点A作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，当点H的对应点H′恰好落在直线AB上时，点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的横坐标．
【答案】（1）；（2）面积最大值为8，；（3）或
【解析】
【分析】
（1）先利用直线进行确定则A（0，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，设P（m，﹣m2+m+4），解方程﹣x+4＝0得B（3，0），根据三角形面积公式，利用面积的和差得到S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝×4?m+×3?（﹣m2+m+4）﹣×3×4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先利用勾股定理计算出AB＝5，讨论：当点P′落在x轴上，如图2，根据旋转的性质得＝4﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，再证明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′＝m2﹣m，然后利用AH′+BH′＝AB得到m+m2﹣m＝5，解方程求出m即可得到P点横坐标；当点P′落在y轴上，如图3，同理可得P′H′＝PH＝m2﹣m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，通过证明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2﹣m）：3＝m：4，然后解关于m的方程即可得到对应P点横坐标．
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则A（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）连接OP，
设P（m，﹣m2+m+4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，
则B（3，0），
∵S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝×4?m+×3?（﹣m2+m+4）﹣×3×4
＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣4）2+8，
当m＝4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（4，4）；
（3）在Rt△OAB中，AB＝＝＝5，
当点落在x轴上，如图2，
∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x轴上
∴＝PH＝4﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，＝AH＝m，＝∠PHA＝90°，
∵＝∠ABO，
∴∽△BAO，
∴：OA＝：OB，即（m2﹣m）：4＝：3，
∴＝m2﹣m，
∵，
∴m+m2﹣m＝5，
解得m1＝2，m2＝﹣2（舍去），
此时P点横坐标为2；
当点P′落在y轴上，如图3，
同理可得＝PH＝m2﹣m，＝AH＝m，＝∠PHA＝90°，
∵＝∠BAO，
∴∽△AOB，
∴：OB＝AH′：AO，即（m2﹣m）：3＝m：4，
整理得4m2﹣25m＝0，
解得m1＝，m2＝0（舍去），
此时P点横坐标为；
综上所述，P点横坐标为2或．
【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴，即，
∴HQ=t．
∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．
∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．
∴S△CBK=．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）
=×4?EK
=2（﹣m2+m）
=﹣m2+3m．
即：﹣m2+3m=．
解得
m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
2．如图①，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，抛物线y＝﹣+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图②，当点P在y轴右侧时，过点A作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，当点H的对应点H′恰好落在直线AB上时，点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的横坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
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