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(
21.4第2课时实物型抛物线及运动中的抛物线问题（基础练)
)
1．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【详解】
过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选D．
【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
2．如图，四边形是菱形，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点P的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出DQ和PQ，即可求出y与x的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象．
【详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴AD=AB=DC=BC=2，∠D=∠ABC=60°
∴当点P到点A时，x=2；当P到点B时，x=4；当P到点C时，x=6
①当点P在AD上，即0＜x≤2时，如下图所示
此时PD=x
∴PQ=PD·sin∠D=，DQ=
PD·cos∠D=
∴y=DQ·PQ=（0＜x≤2），此时图象为开口上的抛物线的一部分；
②当点P在AB上，即2＜x≤4时，如下图所示，过点A作AE⊥DC于E
此时PA=x－AD=x－2
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=，DE=
AD·cos∠D=
易证四边形AEQP为矩形
∴AP=EQ=x－2，PQ=AE=
∴DQ=DE＋EQ=1＋
x－2=x－1
∴y=DQ·PQ=×（x－1）=（2＜x≤4），此时图象为逐渐上升的一条线段；
③当点P在BC上，即4＜x≤6时，如下图所示，
此时CP=
AD＋AB＋BC－x=6－x
∵AD∥BC
∴∠BCQ=∠ADC=60°
∴PQ=CP·sin∠BCQ
=，CQ=CP·cos∠BCQ
=
∴DQ=DC＋CQ=2＋=
∴y=DQ·PQ=（4＜x≤6），此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为D
故选D．
【点评】此题考查的是函数的图象，掌握锐角三角函数、函数图象的判断和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
3．如图，矩形中，，，的角平分线交边于点，点在射线上以每秒个单位长度的速度沿射线方向从点开始运动，过点作于点，以为边向右作平行四边形，点在射线上，且，设点运动时间为秒．
（1）____________（用含的代数式表示）；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）设平行四边形与矩形重合部分面积为，当点在线段上运动时，求与的函数关系式；
（4）直接写出在点、运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时的值（不添加任何辅助线）．
【答案】（1）；（2）4；（3）；（4）或或
【解析】
【分析】
（1）判断出等腰直角三角形即可得出结论；
（2）先判断出点Q是AB中点，进而求出AQ=4，即可得出结论；
（3）分三种情况进行讨论：①如图4中，当
时，重叠部分是平行四边形PQMN，②如图5中，当，重叠部分是五边形PQMGE，③如图6中，时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K，分别求解即可．
（4）分三种情况讨论即可：①如图7中，当Q时AB中点时，，②如图8中，当点P与点E重合时，，③如图9中，当时，分别求解即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵AE是的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
即是等腰直角三角形，
由运动知，，
∴，
故答案为t．
（2）如图，
∵四边形PQMN是平行四边形，
∴，
∵点M在BC上，
∴，
∵AP=PN，
∴，
在中，，
∴，
由运动知，
∴，
∴．
（3）①如图4所示，当时，重叠部分是平行四边形PQMN，，
②如图5所示，
当，重叠部分是五边形PQMGE，
∴．
③如图6，
当，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K，
∴．
综上所述：．
（4）①如图7中，
当点Q是AB中点时，，此时．
②如图8中，
当点P与点E重合时，，此时．
③如图9，
当时，由EK=BQ得到，，解得．
综上所述，或或时，整个图形中形成的三角形存在全等三角形．
【点评】本题主要考查了四边形综合知识点，结合等腰三角形、全等三角形的性质是解题的关键．
4．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【解析】
【分析】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①，即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，熟练掌握计算法则是解题关键.
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1．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，四边形是菱形，，点从点出发，沿运动，过点作直线的垂线，垂足为，设点运动的路程为，的面积为，则下列图象能正确反映与之间的函数关系的是(
)．
A．
B．
C．
D．
3．如图，矩形中，，，的角平分线交边于点，点在射线上以每秒个单位长度的速度沿射线方向从点开始运动，过点作于点，以为边向右作平行四边形，点在射线上，且，设点运动时间为秒．
（1）____________（用含的代数式表示）；
（2）当点落在上时，求的值；
（3）设平行四边形与矩形重合部分面积为，当点在线段上运动时，求与的函数关系式；
（4）直接写出在点、运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时的值（不添加任何辅助线）．
4．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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