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21.4第1课时几何图形的最大面积（基础练)
)
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为______．
【答案】72．
【解析】
【分析】
利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后确定最值即可．
【详解】
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=8cm，
又∵AP=t，
则S1=AP?BD=×8×t=8t，PD=8-t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE=AP=t，
∴S2=PD?PE=（8-t）?t，
∴S1+S2=8t+（8-t）?t=-2（t-6）2+72．
∴S1+S2的最大值为72，
故答案为72．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为．
(1)
求二次函数的解析式．
(2)
求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
(3)
若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．
【答案】（1）；（2）半径=；外心坐标（1，1）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C，那么这两个函数的解析式中的常数项相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出抛物线的顶点坐标，而这个顶点恰好在直线CD上，因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值，由此得解．
（2）△ABC的外心到三角形三个顶点的距离都相同，即为△ABC的外接圆半径；因此先设出该外心的坐标，然后表示出三个半径长，令它们相等即可，可据此思路解题．
（3）四边形ACPB中，△ABC的面积是个定值，因此△CPB的面积最大时，四边形的面积最大；可以过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，首先要求出线段PE的长度表达式，以PE为底、OB为高，即可得到△CPB的面积表达式，由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式，再根据函数的性质解题即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数：y=-x2+bx+c的图象与直线DC：y=x+3交于点C，
∴c=3，即C（0，3）；
二次函数
y=-x2+bx+3中，顶点D
（，），代入直线DC
：y=x+3中，得：
+3=，
解得
b1=0（舍）、b2=2；
故二次函数的解析式：y=-x2+2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）；
设△ABC的外心M（x，y），则：
AM2=（x+1）2+y2、BM2=（x-3）2+y2、CM2=x2+（y-3）2；
由于AM=BM=CM，所以有：，
解得?，
此时
AM=BM=CM=；
∴△ABC的外接圆半径为，外心的坐标（1，1）．
（3）如右图，
过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E；
由B（3，0）、C（0，3）知，直线BC：y=-x+3；
设点P（x，-x2+2x+3），则E（x，-x+3），
PE=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x；
则S四边形ACPB=S△ACB+S△CPB=AB?OC+PE?OB
S四边形ACPB=×4×3+×（-x2+3x）×3=-（x-）2+；
综上，四边形ACPB的最大面积最大值为．
【点评】此题主要考查的是：函数解析式的确定、三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识；（3）题的解法较多，还可以过点P作x轴的垂线，将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分，解此类题目要注意结合图形，找出相关图形间的面积和差关系，根据已知条件选择简便的解题方法．
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1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为______．
2．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为．
(1)
求二次函数的解析式．
(2)
求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
(3)
若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．
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