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一、
选择题
（本题共计
12
小题
，每题
3
分
，共计36分）
1.
下列函数是反比例函数的是（
）
A.＝
B.
C.
D.
2.
下列函数中属于二次函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压大于时，气球将爆炸．为了安全，气体体积应该是（
）
A.小于
B.大于
C.不小于
D.不大于
4.
某公园草坪的防护栏由段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
5.
已知如图，一次函数＝和反比例函数的图象相交于、两点，不等式的解集为（
）
A.
B.或
C.或
D.
6.
如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为(?
?
?
?)
A.
B.
C.
D.
7.
如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为.?
其中正确的有(?
?
?
?
)
A.个
B.个
C.个
D.个
8.
在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表，则关于的函数关系式（?
?
?
?
）
体积
压强
A.
B.
C.
D.
9.
记某商品销售单价为元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为元，且是关于的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为元或元时，他每月均可获得销售利润元；当商家将此种商品销售单价定为元时，他每月可获得销售利润元，则与的函数关系式是（
）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
10.
如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行．点是反比例幽数的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
11.
如果，同号，那么二次函数的大致图象是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
12.
已知一个面积为的矩形的长为，宽为，则与之间的关系用图象大致可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
二、
填空题
（本题共计
6
小题
，每题
3
分
，共计18分）
13.
当________?时，关于的函数是二次函数．
14.
如果反比例函数的图象在的范围内，随的增大而减小，那么的取值范围是________．
15.
如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接，，则的面积为________．
16.
我们把一元二次方程的解看成是抛物线与轴的交点的横坐标，如果把方程适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
17.
抛物线过点，，则此抛物线的对称轴是直线________．
如图，菱形中，点、的坐标分别为和，点的横坐标为，则过点的反比例函数的解析式为________．
三、
解答题
（本题共计
10
小题
，共计66分）
19.(6分)
如图，矩形的两个顶点，分别在轴和轴上，边和与反比例函数和图象交于，和点，．＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点的坐标为，求的长．
20.(8分)
已知函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）当取何值时．
（2）方程的解是什么？
（3）当取何值时，？当取何值时，？
（4）不等式的解集是什么？
21.(6分)
已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）这个函数的图象在哪几个象限？随着的增大怎样变化？
（3）点在这个函数的图象上吗？
22.(6分)
在干燥的路面上，汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车前汽车的速度的关系是.
当分别是，时，求相应的的值．
司机小李正以的速度行驶，突然发现前方大约处有一不明障碍物，他立即刹车，车会撞上障碍物吗？
23.(6分)
如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点．
求这两个函数的解析式；
请利用图象直接回答：当取什么值时，？
24.(6分)
反比例函数的图象的一支在第一象限，、均在这个函数的图象上．
（1）图象的另一支位于什么象限？常数的取值范围是什么？
（2）试比较、的大小；
（3）作轴于点，若的面积为，求这个反比例函数的解析式．
?
25.(6分)
小明对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
?
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
…
…
…
…
其中，________；
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
观察该函数的图象，写出两条关于该函数的性质.
26.(8分)
如图，已知抛物线
与轴交于，两点（点在点的右边），与轴交于点
求点,，的坐标；
此抛物线的对称轴上是否存在点,使得
是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
27.(6分)
一场暴雨过后，一洼地存雨水米，如果将雨水全部排完需分钟，排水量为米分，且排水时间为分钟．
（1）试写出与的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）当排水量为米分时，排水的时间需要多长？
28.(8分)
已知二次函数．
（1）该二次函数图象的对称轴为________；
（2）判断该函数与轴交点的个数，并说明理由；
（3）下列说法正确的是________（填写所有正确说法的序号）
①顶点坐标为；
②当时，；
③在同一平面直角坐标系内，该函数图象与函数的图象关于轴对称．
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(
第21章
二次函数与反比例函数
单元检测（1）
)
一、
选择题
（本题共计
12
小题
，每题
3
分
，共计36分）
1.
下列函数是反比例函数的是（
）
A.＝
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】反比例函数的定义
【解析】根据反比例函数的定义：转化为＝的形式，可得答案．
【解答】
、＝是一次函数，故错误；
、不是反比例函数，故错误；
、不是反比例函数，故错误；
、是反比例函数，故正确；
2.
下列函数中属于二次函数的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】二次函数的定义
【解析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
【解答】
解：、是二次函数，故本选项正确；
、不是整式函数，故本选项错误；
、是一次函数，故本选项错误；
、不是整式函数，故本选项错误．
故选．
某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压大于时，气球将爆炸．为了安全，气体体积应该是（
）
A.小于
B.大于
C.不小于
D.不大于
【答案】C
【考点】反比例函数的应用
【解析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当，可判断的取值范围．
【解答】
解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
∵
图象过点
∴
即，在第一象限内，随的增大而减小，
∴
当时，．
故选．
4.
某公园草坪的防护栏由段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】二次函数的应用
【解析】根据所建坐标系特点可设解析式为的形式，结合图象易求点和点坐标，代入解析式解方程组求出，的值得解析式；再根据对称性求、的纵坐标后再求出总长度．
【解答】
解：如图所示，
由题意得，，
设抛物线的解析式为：，
代入得，
∴
解析式为：.
当时，
当时，
∴
米，
∴
所需不锈钢管的总长度为：米．
故选．
5.
已知如图，一次函数＝和反比例函数的图象相交于、两点，不等式的解集为（
）
A.
B.或
C.或
D.
【答案】B
【考点】反比例函数与一次函数的综合
【解析】观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即有．
【解答】不等式的解集为或．
6.
如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，其中、在轴上，则为(?
?
?
?)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】反比例函数综合题
【解析】设的纵坐标是，则的纵坐标也是，即可求得、的横坐标，则的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】
解：设的纵坐标是，则的纵坐标也是．
把＝代入得，，则，即的横坐标是，；
同理可得：的横坐标是：．
则．
则.
故选.
7.
如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为.?
其中正确的有(?
?
?
?
)
A.个
B.个
C.个
D.个
【答案】C
【考点】二次函数综合题
【解析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与轴的交点可分别判断出、、的符号，从而可判断①；由图象可知当时，，可判断②；由，且，可判断③；把代入方程整理可得，结合③可判断④；从而可得出答案．
【解答】
解：由图象开口向下，可知，
与轴的交点在轴的下方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
∴
，故①正确；
由图象可知当时，，
∴
，故②错误；
由图象可知，
∵
，
∴
，即，
∴
，故③正确；
假设方程的一个根为，把代入方程可得，
整理可得，
两边同时乘可得，
即方程有一个根为，
由②可知，而是方程的根，
∴
是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个.
故选.
8.
在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表，则关于的函数关系式（?
?
?
?
）
体积
压强
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式
9.
记某商品销售单价为元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为元，且是关于的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为元或元时，他每月均可获得销售利润元；当商家将此种商品销售单价定为元时，他每月可获得销售利润元，则与的函数关系式是（
）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【答案】D
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】设二次函数的解析式为：＝，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】
设二次函数的解析式为：＝，
∵
当＝，，时，＝，，，
∴
，
解得，
∴
与的函数关系式是＝＝，
10.
如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行．点是反比例幽数的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于，则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象的对称性
【解析】根据反比例函数的中心对称性得到正方形的面积，则，解得（舍去），所以点坐标为，然后把点坐标代入即可求出．
【解答】
解：∵
图中阴影部分的面积等于，
∴
正方形的面积，
∵
点坐标为，
∴
，
∴
（舍去），
∴
点坐标为，
把代入得．
故选．
11.
如果，同号，那么二次函数的大致图象是(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】二次函数的图象
【解析】分和两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点情况分析判断即可得解．
【解答】
解：，时，抛物线开口向上，对称轴，在轴左边，与轴正半轴相交，
，时，抛物线开口向下，对称轴，在轴左边，与轴正半轴坐标轴相交，
选项符合．
故选.
12.
已知一个面积为的矩形的长为，宽为，则与之间的关系用图象大致可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】反比例函数的应用，反比例函数的图象
【解析】
先根据矩形的面积公式得到与之间的函数关系式，再根据反比例函数的性质判断其图象即可．
【解答】
解：∵
矩形的面积为，长为，宽，
∴
，即，
∵
此函数是反比例函数，其图象是双曲线，
∴
、错误；
∵
，
∴
其图象在第一象限．
故选．
二、
填空题
（本题共计
6
小题
，每题
3
分
，共计18分）
13.
当________?时，关于的函数是二次函数．
【答案】
【考点】二次函数的定义
【解析】根据二次函数的定义，使二次项的系数不为，列式求值即可求得满足的条件．
【解答】
解：∵
是的二次函数，
∴
，
∴
，
故满足的条件是．
故答案为：．
14.
如果反比例函数的图象在的范围内，随的增大而减小，那么的取值范围是________．
【答案】
【考点】反比例函数的性质
【解析】根据反比例函数的性质知：的图象在的范围内随的增大而减小，得出，求出不等式的解集即可．
【解答】
解：∵
反比例函数的图象在的范围内随的增大而减小，
∴
，
∴
．
故答案为：．
15.
如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接，，则的面积为________．
【答案】
【考点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】先设，由直线轴，则，两点的纵坐标都为，而，分别在反比例函数和的图象上，可得到点坐标为，点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：设，
∵
直线轴，
∴
，两点的纵坐标都为，而点在反比例函数的图象上，
∴
当，，即点坐标为，
又∵
点在反比例函数的图象上，
∴
当，，即点坐标为，
∴
，
∴
．
故答案为：．
16.
我们把一元二次方程的解看成是抛物线与轴的交点的横坐标，如果把方程适当地变形，那么方程的解还可以看成是函数________与函数________的图象交点的横坐标（写出其中的一对）．
【答案】,
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【解析】由于一个方程组的解即是组成方程组的两个函数的图象的交点坐标，所以抛物线可看作两个函数组合而成，而将和相减即可得到，所以方程的解还可以看成是函数与函数的图象交点的横坐标．
【解答】
解：∵
可以变为，
∴
的解还可以看成是函数与函数的图象交点的横坐标．
17.
抛物线过点，，则此抛物线的对称轴是直线________．
【答案】
【考点】二次函数的图象
【解析】抛物线过点，，纵坐标相等，它们是抛物线上的对称点，其对称轴是两点横坐标的平均数．
【解答】
解：∵
点，的纵坐标相等，
∴
、两点是抛物线上的两个对称点，
∴
对称轴是直线．
如图，菱形中，点、的坐标分别为和，点的横坐标为，则过点的反比例函数的解析式为________．
【答案】
【考点】反比例函数综合题
【解析】易得点和点的横坐标互为相反数，点的纵坐标为、纵坐标的平均数，代入反比例函数解析式可得的值．
【解答】
解：由题意得点和点的横坐标互为相反数，
∴
点的横坐标为，
∵
点、的坐标分别为和，
∴
的纵坐标为，
设过的函数解析式为，
∴
，
∴
，
故答案为．
三、
解答题
（本题共计
10
小题
，共计66分）
19.(6分)
如图，矩形的两个顶点，分别在轴和轴上，边和与反比例函数和图象交于，和点，．＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点的坐标为，求的长．
【答案】
设，
∴
＝，
∵
＝．
∴
，
∴
，
∵
是反比例函数上的点，
∴
＝，
∵
是反比例函数图象上的点，
∴
＝，
∴
＝，
∴
反比例函数的解析式为．
把＝分别代入和得，和，
∴
，，
∴
＝．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）设，根据已知条件求得，分别代入解析式得出＝，＝，从而求得＝，得出反比例函数的解析式；
（2）把＝分别代入和，即可求得、的值，然后根据＝即可求得．
【解答】
设，
∴
＝，
∵
＝．
∴
，
∴
，
∵
是反比例函数上的点，
∴
＝，
∵
是反比例函数图象上的点，
∴
＝，
∴
＝，
∴
反比例函数的解析式为．
把＝分别代入和得，和，
∴
，，
∴
＝．
20.(8分)
已知函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）当取何值时．
（2）方程的解是什么？
（3）当取何值时，？当取何值时，？
（4）不等式的解集是什么？
【答案】
解：（1）由图象知，函数与轴的交点为，，
所以当或时，；
（2）由图象知，的解为，；
（3）由图象知，当时，，
当或时，；
（4）不等式的解集为．
【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的图象，抛物线与x轴的交点
【解析】
（1）观察图象与轴交点的横坐标，即为时的取值；
（2）方程的解即为函数的图象与轴交点的横坐标；
（3）函数图象落在轴下方的部分对应的的取值范围即为时的取值范围，函数图象落在轴上方的部分对应的的取值范围即为时的取值范围；
（4）不等式的解集即为函数的图象落在轴下方的部分对应的的取值范围．
【解答】
解：（1）由图象知，函数与轴的交点为，，
所以当或时，；
（2）由图象知，的解为，；
（3）由图象知，当时，，
当或时，；
（4）不等式的解集为．
21.(6分)
已知反比例函数的图象经过点．
（1）求的值；
（2）这个函数的图象在哪几个象限？随着的增大怎样变化？
（3）点在这个函数的图象上吗？
【答案】
解：（1）把代入，得
，即；
（2）由（1）知，，则该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小；
（3）∵
，
∴
点不在这个函数的图象上．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质
【解析】
（1）把点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，通过解方程得到的值；
（2）根据的符号进行答题；
（3）把点的坐标代入进行验证即可．
【解答】
解：（1）把代入，得
，即；
（2）由（1）知，，则该函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小；
（3）∵
，
∴
点不在这个函数的图象上．
22.(6分)
在干燥的路面上，汽车紧急刹车后滑行的距离与刹车前汽车的速度的关系是.
当分别是，时，求相应的的值．
司机小李正以的速度行驶，突然发现前方大约处有一不明障碍物，他立即刹车，车会撞上障碍物吗？
【答案】
解：把，代入
，
把，代入
；
把，代入，
故他立即刹车，车不会撞上障碍物．
【考点】二次函数的应用
【解析】
（1）把＝或，分别代入，即可求解；
（2）把＝，代入，将计算结果和比较，即可求解．
【解答】
解：把，代入
，
把，代入
；
把，代入，
故他立即刹车，车不会撞上障碍物．
23.(6分)
如图，一次函数和反比例函数的图象交于，两点．
求这两个函数的解析式；
请利用图象直接回答：当取什么值时，？
【答案】
解：因为
，在上，
所以，，
．
将
，代入得
解得
所以一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；
或时
.
【考点】反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）把、分别代入一次函数和反比例函数，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）看在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数大于或等于反比例函数的函数值．
【解答】
解：因为?，在上，
所以，，?．
将?，代入得
解得
所以一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：；
或时
.
24.(6分)
反比例函数的图象的一支在第一象限，、均在这个函数的图象上．
（1）图象的另一支位于什么象限？常数的取值范围是什么？
（2）试比较、的大小；
（3）作轴于点，若的面积为，求这个反比例函数的解析式．
【答案】
解：（1）∵
反比例函数的图象的一支在第一象限，
∴
图象的另一支在第三象限，
∴
，解得；
（2）∵
，
∴
；
（3）由题意可知，，
∴
，
而，
∴
，
∴
，
∴
该反比例函数的解析式为．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】
（1）根据反比例函数性质当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限得到，解得；
（2）根据当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小求解；
（3）根据反比例函数系数的几何意义得到，而，则，从而确定反比例函数解析式．
【解答】
解：（1）∵
反比例函数的图象的一支在第一象限，
∴
图象的另一支在第三象限，
∴
，解得；
（2）∵
，
∴
；
（3）由题意可知，，
∴
，
而，
∴
，
∴
，
∴
该反比例函数的解析式为．
?
25.(6分)
小明对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
?
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下表：
…
…
…
…
其中，________；
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
观察该函数的图象，写出两条关于该函数的性质.
【答案】（1）
如图，
由图象可知其对称轴为轴；
当或时函数有最小值.
【考点】二次函数的性质，二次函数的图象
【解析】
（1）把代入函数解析式可求得的值；
（2）利用描点法可画出函数图象；
（3）可从对称性及最值等方面考虑，可求得答案．
【解答】
解：由题意可知，
故答案为：.
如图，
由图象可知其对称轴为轴；
当或时函数有最小值.
26.(8分)
如图，已知抛物线
与轴交于，两点（点在点的右边），与轴交于点
求点,，的坐标；
此抛物线的对称轴上是否存在点,使得
是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】
解：?令，
得，
解得，
所以，
令，，
故.
存在点，使得是等腰三角形，
设，
则
情况：当时，
即，
解得，
所以，
情况：当时，
即，
解得，
所以，，
情况：当时，
即，
解得，
所以，
综上得：满足条件的点有，
，，
，.
【考点】二次函数综合题
【解析】
【解答】
解：?令，
得，
解得，
所以，
令，，
故.
存在点，使得是等腰三角形，
设，
则
情况：当时，
即，
解得，
所以，
情况：当时，
即，
解得，
所以，，
情况：当时，
即，
解得，
所以，
综上得：满足条件的点有，
，，
，.
27.(6分)
一场暴雨过后，一洼地存雨水米，如果将雨水全部排完需分钟，排水量为米分，且排水时间为分钟．
（1）试写出与的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）当排水量为米分时，排水的时间需要多长？
【答案】
解：（1）由题意可得函数的解析式为，当时，；
（2）当米分时，．
∴
排水需要分钟．
【考点】反比例函数的应用，根据实际问题列反比例函数关系式
【解析】
（1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间分钟求得的取值范围．
（2）由（1）求得的函数关系式，代入，解得的值即可．
【解答】
解：（1）由题意可得函数的解析式为，当时，；
（2）当米分时，．
∴
排水需要分钟．
28.(8分)
已知二次函数．
（1）该二次函数图象的对称轴为________；
（2）判断该函数与轴交点的个数，并说明理由；
（3）下列说法正确的是________（填写所有正确说法的序号）
①顶点坐标为；
②当时，；
③在同一平面直角坐标系内，该函数图象与函数的图象关于轴对称．
【答案】
解：（1）该二次函数图象的对称轴为直线．
（2）令，得：．
∵
，
∴
方程有两个不相等的实数根，
∴
该函数与轴有两个交点．
（3）①，
顶点坐标为，
②与轴交点坐标为，，当时，或，
③在同一平面直角坐标系内，函数图象与函数的图象关于轴对称．
正确的是①③．
【考点】二次函数的性质
【解析】
（1）直接利用对称轴的计算方法得出答案即；
（2）利用根的判别式直接判定即可；
（3）利用二次函数的性质分析判断即可．
【解答】
解：（1）该二次函数图象的对称轴为直线．
（2）令，得：．
∵
，
∴
方程有两个不相等的实数根，
∴
该函数与轴有两个交点．
（3）①，
顶点坐标为，
②与轴交点坐标为，，当时，或，
③在同一平面直角坐标系内，函数图象与函数的图象关于轴对称．
正确的是①③．
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