第二章 直角三角形的边角关系 章末复习（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 直角三角形的边角关系 章末复习（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-08 08:02:56 | ||
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文档简介
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第二章 直角三角形的边角关系
章末复习
知识构建
考点训练
考点1 锐角三角函数的变换规律
1.如图所示，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A. sinA ＝cosA
B. sinA＞ cosA
C. sinA＞tanA
D. sinA＜cosA
2.比较下列三角函数值的大小
（1）tan36°_______ tan55?；
（2）sin40°_______ cos40°。
考点2 根据30°，45°，60°角的三角函数值求相应锐角的大小
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（ ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 无法确定
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A＝____________。
5.设∠A是锐角，如果sin（A－20°）＝，则∠A的度数是___________。
6.在△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinA的值为___________。
考点3 化斜为直，解三角形
7.如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8，求△ABC的面积.（结果保留根号）
8.如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，AB＝3，求BC的长.
考点4 锐角三角函数的实际应用
9.如图所示，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度，该楼底层为车库，高2.5米，上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度.（精确到0.1米.参考数据:≈1.73）
10.（2019·鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图所示小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A，B，D，E在同一直线上）.然后，小明沿坡度i＝1:1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行。
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）.
11.如图所示，南湖有一个凉亭A，其正东方向有一棵大树B，一游客想测量A，B之间的距离，他在湖边C处测得A在西南方向，测得B在南偏东33°方向上，且量得B，C之间的距离为50m，求A，B之间的距离.（结果精确到0.1m参考数据:sin33?≈0.545，cos33?≈0.839，tan33?≈0.649）
真题训练
1.（2019·长春）如图所示，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为a，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A. 3sina米 B. 3cosa米 C. 米 D. 米
第1题图 第2题图
2.（2018·金华）如图所示，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝a，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A. B. C. D.
3.（2019·威海）如图所示，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点，已知坡角为20°，山高BC＝2千米.用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
第3题图 第4题图
4.（2018·长春）如图所示，某地要修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一
水平面上）为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为a，则A，B两地之间的距离为（ ）
800sina米 B. 800tana米 C. 米 D. 米
5.（2019·营口）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6.（2019·泰安）如图所示，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为________km（ ）
A.30＋30 B.30＋10 C.10＋30 D.30
7.（2016·泰安）如图所示，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46?＝0.7193，sin22?＝0.3746，sin44?＝0.6947）（ ）
A. 22.48 B. 41.68 C. 43.16 D. 55.63
第7题图 第8题图
8.（2015·泰安）如图所示，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50?方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A. 20海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里
9.（2014·泰安）如图1所示是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图2所示，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的点A＇处，如图3所示，则折痕DE的长为（ ）
A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. 3 cm
10.（2012·泰安）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8
11.（2012·泰安）如图所示，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A. 10米 B. 10米 C. 20米 D.米
12.（2018·广西）如图所示，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是_________ m.（结果保留根号）
第12题图 第13题图
13.（2018·泰安）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A＇处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为 _________。
14.（2013·泰安）如图所示，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为_______海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）
15.（2019·邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度.（结果精确到1cm；温馨提示:sin65?≈0.91，cos65°≈0.42，tan65?≈2.14）
16.（2019·郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km.在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救.已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01 km.参考数据:≈1.414，≈1.732，≈2.449）
参考答案
知识构建
① ② ③ ④ ⑤1 ⑥ ⑦∠A＋∠B＝90°
⑧除直角外的两个条件，其中至少一个是边
考点训练
B 2.（1）＜ （2）＜ 3. C 4. 30° 5. 80° 6.
7，解:如图所示，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A＝60?，∠B＝45?，∴∠ACD＝30?。∠BCD＝∠B＝45?.
∴CD＝AD?tanA，BD＝CD.设AD＝X，则CD＝x·tan60?＝x＝8，
∵AB＝AD＋BD＝x＋x＝8，∴x＝4（－1）.
∴CD＝x＝12－4.
∴S△ABC ＝AB·CD＝×8×（12－4）＝48－16.
8，解:如图所示，过点C作CD上AB于点D.
在Rt△ACD中，∠A＝30?，AC＝4.∴CD＝2，AD＝2.
∵AB＝3，∴BD＝.∴BC＝。
9，解:设每层楼高为x米，
由题意得，MC＇＝MC－CC＇＝2. 5－1.5＝1（米），
∴DC＇＝5x＋1（米）， EC＇＝4x＋1（米）.
在Rt△DC＇A＇中，∠DA＇C＇＝60?，∴C＇A＇＝米.
在Rt△EC＇B＇中，∠EB＇C＇＝30°，∴C＇B＇＝＝米。
∵A＇B＇＝C＇B＇－C＇A＇＝AB，∴－＝14.解得x≈3.17.
∴5x＋2.5≈18.4.
答:居民楼高约为18.4米.
10，解:（1）如图所示，过点F作FG⊥EC于点G。
由题意得，∠FDE＝∠DEG＝∠FGE＝90°∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE.
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝2（米）；∴点F到地面的距离为2米；
（2）∵坡度i＝1:1.5，∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝3（米）∴FD＝EG＝3＋6（米）.
∵∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∴AD＝DF＝3＋6（米）.
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6（米），
∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3（米）
答:宣传牌的高度约为4.3米.
11，解:如图所示，过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，sin33°＝，∴BD＝50×sin33?≈27.25（m）
∵cos33°＝，∴CD＝50×cos33°≈41.95（m）.
∵∠ACD＝45°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝41.95（m）
∴AB＝AD＋BD＝41.95＋27.25＝69.2（m）
答:A，B之间的距离约为69.2m.
真题训练
A 2. B 3. A 4. D 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. C 11. A 12. 40 13. 14. 67.5
15.解:设OE＝OB＝2x，∴OD＝DE＋OE＝190＋2x.
∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95＋x.∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝95－x.
∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得x＝9.4.∴OB＝2x≈19（cm）.
答:OB的长度为19cm。
16.解:如图所示，延长CB交AD于点D，则∠CDA＝90°。
在Rt△ADC中，AC＝30（km），∠CAD＝45?，∴AD＝CD＝AC＝15（km）。
在Rt△ADB中，AD＝15（km），∠BAD＝30°，∴AB＝＝10≈24.49（km）
答:巡逻船与渔船的距离约为24.49km
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第二章 直角三角形的边角关系
章末复习
知识构建
考点训练
考点1 锐角三角函数的变换规律
1.如图所示，已知45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A. sinA ＝cosA
B. sinA＞ cosA
C. sinA＞tanA
D. sinA＜cosA
2.比较下列三角函数值的大小
（1）tan36°_______ tan55?；
（2）sin40°_______ cos40°。
考点2 根据30°，45°，60°角的三角函数值求相应锐角的大小
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（ ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 无法确定
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠A＝____________。
5.设∠A是锐角，如果sin（A－20°）＝，则∠A的度数是___________。
6.在△ABC中，∠C＝90°，若cosB＝，则sinA的值为___________。
考点3 化斜为直，解三角形
7.如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8，求△ABC的面积.（结果保留根号）
8.如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝4，AB＝3，求BC的长.
考点4 锐角三角函数的实际应用
9.如图所示，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度，该楼底层为车库，高2.5米，上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度.（精确到0.1米.参考数据:≈1.73）
10.（2019·鄂州）为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图所示小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A，B，D，E在同一直线上）.然后，小明沿坡度i＝1:1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行。
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）.
11.如图所示，南湖有一个凉亭A，其正东方向有一棵大树B，一游客想测量A，B之间的距离，他在湖边C处测得A在西南方向，测得B在南偏东33°方向上，且量得B，C之间的距离为50m，求A，B之间的距离.（结果精确到0.1m参考数据:sin33?≈0.545，cos33?≈0.839，tan33?≈0.649）
真题训练
1.（2019·长春）如图所示，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为a，则梯子顶端到地面的距离BC为（ ）
A. 3sina米 B. 3cosa米 C. 米 D. 米
第1题图 第2题图
2.（2018·金华）如图所示，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝a，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为（ ）
A. B. C. D.
3.（2019·威海）如图所示，一个人从山脚下的A点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点，已知坡角为20°，山高BC＝2千米.用科学计算器计算小路AB的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
第3题图 第4题图
4.（2018·长春）如图所示，某地要修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一
水平面上）为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为a，则A，B两地之间的距离为（ ）
800sina米 B. 800tana米 C. 米 D. 米
5.（2019·营口）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（ ）
A. B. C. D.
第5题图 第6题图
6.（2019·泰安）如图所示，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为________km（ ）
A.30＋30 B.30＋10 C.10＋30 D.30
7.（2016·泰安）如图所示，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46?＝0.7193，sin22?＝0.3746，sin44?＝0.6947）（ ）
A. 22.48 B. 41.68 C. 43.16 D. 55.63
第7题图 第8题图
8.（2015·泰安）如图所示，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50?方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A. 20海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里
9.（2014·泰安）如图1所示是一个直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图2所示，再将图2沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的点A＇处，如图3所示，则折痕DE的长为（ ）
A. cm B. 2 cm C. 2 cm D. 3 cm
10.（2012·泰安）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为（ ）
A. 3 B. 3.5 C. 2.5 D. 2.8
11.（2012·泰安）如图所示，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A. 10米 B. 10米 C. 20米 D.米
12.（2018·广西）如图所示，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高CD是_________ m.（结果保留根号）
第12题图 第13题图
13.（2018·泰安）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A＇处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为 _________。
14.（2013·泰安）如图所示，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为_______海里（取≈1.7，结果精确到0.1海里）
15.（2019·邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直，AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度.（结果精确到1cm；温馨提示:sin65?≈0.91，cos65°≈0.42，tan65?≈2.14）
16.（2019·郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km.在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救.已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01 km.参考数据:≈1.414，≈1.732，≈2.449）
参考答案
知识构建
① ② ③ ④ ⑤1 ⑥ ⑦∠A＋∠B＝90°
⑧除直角外的两个条件，其中至少一个是边
考点训练
B 2.（1）＜ （2）＜ 3. C 4. 30° 5. 80° 6.
7，解:如图所示，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A＝60?，∠B＝45?，∴∠ACD＝30?。∠BCD＝∠B＝45?.
∴CD＝AD?tanA，BD＝CD.设AD＝X，则CD＝x·tan60?＝x＝8，
∵AB＝AD＋BD＝x＋x＝8，∴x＝4（－1）.
∴CD＝x＝12－4.
∴S△ABC ＝AB·CD＝×8×（12－4）＝48－16.
8，解:如图所示，过点C作CD上AB于点D.
在Rt△ACD中，∠A＝30?，AC＝4.∴CD＝2，AD＝2.
∵AB＝3，∴BD＝.∴BC＝。
9，解:设每层楼高为x米，
由题意得，MC＇＝MC－CC＇＝2. 5－1.5＝1（米），
∴DC＇＝5x＋1（米）， EC＇＝4x＋1（米）.
在Rt△DC＇A＇中，∠DA＇C＇＝60?，∴C＇A＇＝米.
在Rt△EC＇B＇中，∠EB＇C＇＝30°，∴C＇B＇＝＝米。
∵A＇B＇＝C＇B＇－C＇A＇＝AB，∴－＝14.解得x≈3.17.
∴5x＋2.5≈18.4.
答:居民楼高约为18.4米.
10，解:（1）如图所示，过点F作FG⊥EC于点G。
由题意得，∠FDE＝∠DEG＝∠FGE＝90°∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE.
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝2（米）；∴点F到地面的距离为2米；
（2）∵坡度i＝1:1.5，∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝3（米）∴FD＝EG＝3＋6（米）.
∵∠ADF＝90°，∠AFD＝45°，∴AD＝DF＝3＋6（米）.
在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6（米），
∴AB＝AD＋DE－BE＝3＋6＋2－6＝6－≈4.3（米）
答:宣传牌的高度约为4.3米.
11，解:如图所示，过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，sin33°＝，∴BD＝50×sin33?≈27.25（m）
∵cos33°＝，∴CD＝50×cos33°≈41.95（m）.
∵∠ACD＝45°，CD⊥AB，∴AD＝CD＝41.95（m）
∴AB＝AD＋BD＝41.95＋27.25＝69.2（m）
答:A，B之间的距离约为69.2m.
真题训练
A 2. B 3. A 4. D 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. C 11. A 12. 40 13. 14. 67.5
15.解:设OE＝OB＝2x，∴OD＝DE＋OE＝190＋2x.
∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95＋x.∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝95－x.
∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得x＝9.4.∴OB＝2x≈19（cm）.
答:OB的长度为19cm。
16.解:如图所示，延长CB交AD于点D，则∠CDA＝90°。
在Rt△ADC中，AC＝30（km），∠CAD＝45?，∴AD＝CD＝AC＝15（km）。
在Rt△ADB中，AD＝15（km），∠BAD＝30°，∴AB＝＝10≈24.49（km）
答:巡逻船与渔船的距离约为24.49km
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