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第22章
相似性单元检测（1)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE=2：5，途接DE交AB于F，则△ADF与△BEF的面积之比为（ ）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．25：4
【答案】A
【解析】【分析】
由题意可证△ADF∽△BEF可得△ADF与△BEF的面积之比＝（）2，由BE：CE＝2：5可得BE：BC＝BE：AD＝2：3，即可求△ADF与△BEF的面积之比．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：CE＝2：5，
∴BE：BC＝2：3
即BE：AD＝2：3，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
故选A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解是本题关键．
2．若，则相似比等于（
）
A．
B．
C．
D．周长：周长
【答案】D
【解析】【分析】
根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′，
k2=S△ABC：S△A′B′C′，
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似三角形的相似比的平方是解题的关键.
3．在三条线段，，中，的一半等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
依题意可得，设=k，继而可根据比例的性质得出答案.
【详解】
由题意得：，
设=k，则有a=2k，b=4k，c=6k，
所以=3：1，
故选D.
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握是解题的关键.
4．如图，身高为米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影由向走去，当走到点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得米，米，则树的高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【解析】【分析】
根据题意画出图形，根据相似三角形的性质即可解答．
【详解】
如图：∵BC=4，
AC=2，
∴AB=2+4=6，
∵CD∥BE，
∴△ACD∽△ABE，
∴AC：AB=CD：BE，
∴2：6=1.5：BE，
∴BE=4.5m，
∴树的高度为4.5m，
故选B.
【点评】本题考查了相似三角形的应用举例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出树的高度，体现了转化的思想．
5．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【分析】
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE：BC的值．
【详解】
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵EC＝1，AC＝3，
∴AE＝AC?EC＝2，
∴．
∴．
故选A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（
）
A．AB2＝BCBD
B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD
D．ABAC＝ADBC
【答案】B
【解析】【分析】
根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
【详解】
∵△ABC∽△DBA，
∴＝＝，
∴AB2＝BCBD，ACBD＝ABAD，ABAC＝ADBC，
故选：B.
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】C
【解析】【分析】
已知DE∥BC，
根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值即可求AC的长.
【详解】
∵DE∥BC，
∴,
∵AD＝3，BD＝6，AE＝2，
∴，
∴AC=6.
故选C.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，截得的线段对应成比例．
8．如图，，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】
根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【详解】
解：∵△ADE∽△ABC，AD:DB=3:4
∴AD:AB=3:7，
∴DE:BC=3:7，
故选:C.
【点评】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.
9．已知两个相似三角形的面积比为，周长和是，则这两个三角形的周长分别是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】A
【解析】【分析】
先设两个三角形的周长分别是x、y，根据题意可得关于x、y的方程组，解即可．
【详解】
设两个三角形的周长分别是x、y，
那么有x+y=40①，
②，
解关于①②的方程得
x=16，y=24，
故选：A.
【点评】考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
10．如图，直线与交于点，且与，，分别交于点，，，，，，则下列比例式不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．
【详解】
解：A.，
∴，故本选项正确；
B.，
∴,故本选项正确；
C.，
∴，故本选项正确；
D.，
∴，故本选项错误；
故选:D.
【点评】考查平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例.
11．如图，已知△ABC中，P是边AC上的一点，连接BP，以下条件不能判定△ABP∽△ACB的是（
）
A．∠ABP=∠C
B．∠APB=∠ABC
C．=
D．=
【答案】D
【解析】【分析】
已知了△ABP和△ACB中有一个公共角，那么可再找出一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例，即可得出△ABP∽△ACB的结论．
【详解】
解：由图得：∠A=∠A，
∴当∠ABP=∠C或∠APB=∠ABC或时，△ABP∽△ACB.
故选:D
【点评】考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
12．如图，已知，那么下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；根据上述分析，一一判断即可.
【详解】
根据平行线分线段成比例定理，可得
故选D.
【点评】考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
二、填空题
13．如图，两条直线被第三条直线所截，DE=，EF=，AB=1，则AC=_____．
【答案】
+1．
【解析】【分析】
由l1∥l2∥l3，可得，可得，由此即可解决问题.
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∴AC＝＝＋1，
故答案为＋1．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．若的三条边长的比为，与其相似的另一个的最小边长为，那么的最大边长是________．
【答案】24cm
【解析】【分析】
根据相似三角形对应边成比例求出△A′B′C′的最小边长与最大边长的比，然后列式计算即可得解.
【详解】
设△A′B′C′的最大边长是xcm，
∵△ABC的三条边长的比为3：5：6，△ABC
∽
△A′B′C′，
∴12：x=3：6，
∴x=24，
故答案为：24cm．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.
15．若，且对应高线的比为，则它们的面积比为________．
【答案】
【解析】【分析】
根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行计算即可得解．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，对应高线的比为2：3，
∴它们的相似比为2：3，
∴它们的面积比为（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方的性质．
16．已知：???，若，??，则与???的相似比为________，它们的面积比为________．
【答案】1:2
1：4
【解析】【分析】
本题可根据相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解．
【详解】
∵△ABC∽△A?B?C?，
∴△ABC与△A?B?C?的相似比为AB：A′B′=1：2；
它们的面积比为AB2：A′B′2=1：4．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
17．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
000的地图上测得所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.
【答案】160
【解析】【分析】
设小明所居住的城市与A地的实际距离为x
km，根据比例尺的定义列出方程，解方程求得x的值即可.
【详解】
设小明所居住的城市与A地的实际距离为x
km，
根据题意可列比例式为，
解得x＝160.
∴小明所居住的城市与A地的实际距离为160km.
故答案为：160.
【点评】本题考查了比例尺的定义，熟知比例尺是图上距离与实际距离的比值是解题的关键.
18．已知，，且，则________．
【答案】
【解析】【分析】
利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比．
【详解】
解：∵△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F，
∴
∵AB:DE=1:2，
∴EF:BC=2:1，
故答案为:2:1.
【点评】考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等.
19．如图，五边形与五边形是位似图形，且位似比为．若五边形的，面积为，那么五边形的面积为________．
【答案】
【解析】【分析】
直接利用位似图形面积比等于相似比的平方，进而得出答案．
【详解】
解：∵五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE是位似图形,且位似比为，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积与五边形ABCDE的面积比为：1:4，
∵五边形ABCDE的面积为，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：5.
【点评】考查位似图形的性质，位似图形面积比等于相似比的平方.
20．如图所示，，分别在的边、上，与不平行，当满足________条件时，有．
【答案】或或
【解析】【分析】
由于∠D≠∠B，∠DAE=∠CAB，则∠ADE=∠C或∠AED=∠B，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED；当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED．
【详解】
解：∵DE与BC不平行，
∴∠D≠∠B，
而∠DAE=∠CAB，
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时,△ABC∽△AED.
当时,△ABC∽△AED.
故答案为∠ADE=∠C或∠AED=∠B或.
【点评】本题考查了相似三角形的判定.常用的判定方法有：
(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;
(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;
(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
三、解答题
21．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点在线段上，从点开始沿边以厘米/秒的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以厘米/秒的速度向点移动．如果、同时分别从、出发，写出出发时间与的面积的函数关系式，求出的取值范围．
【答案】
【解析】【分析】
△BPQ的面积=BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．
【详解】
∵PB=6﹣t，BQ=BE+EQ=6+t，∴S=PB?BQ=PB?（BE+EQ）=（6﹣t）（6+t）=﹣t2+18，∴S=﹣t2+18（0≤t＜6）．
【点评】解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑．
22．如图，和是否相似？为什么？
【答案】和相似
【解析】【分析】
相似，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形是相似三角形，即可证明．
【详解】
△AEB和△CEF相似．理由如下：
∵EF：AE=24：32=3：4，EC：BE=21：28=3：4，∴EF：AE=EC：BE．
又∵∠CEF=∠AEB（对顶角相等），∴△AEB∽△FEC（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记各种判定方法是解题的关键，题目比较简单，是中考常见题型．
23．如图，若，和相交于点，和相交于点，，，，求．
【答案】．
【解析】【分析】
先求出的相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求出.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点评】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
24．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
【答案】2.
【解析】试题分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．
试题解析：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△的两边长分别为1，1.5，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
25．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形
，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点
的横坐标是2，求点B的横坐标．
【答案】-2.5
【解析】解：过点、分别作⊥轴于,⊥轴于，
.
……………………1分
∵的位似图形是，
∴点、、在一条直线上，
．……………………2分
．
3分
．………………………4分
又∵，
.
又∵点的横坐标是2，点的坐标是(-1，0)
，
，
．…………………………………………5分
．
∴点的横坐标为．…………………………………………6分
26．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接与交于点，求的值．
【答案】.
【解析】分析：过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．
详解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴，
∵AF：BF=1：2，
∴，
∴，
即FE=BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=BC，
∵FE∥BD，
∴．
即FN：ND=2：3．
点睛：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
27．如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求证：为的中点；
（3）连接，设，，，在（2）的条件下，判断是否成立？并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】【分析】
（1）由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可证出△ADE≌△DCF；
（2）先证出，再证明，得出比例式，证出，即可得出结论；
（3）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论．
【详解】
（1）证明：由，，，得；
（2）证明：因为四边形是正方形，
所以，所以.
又因为，所以.
因为，所以，
所以.
因为是的中点，所以，所以
因为，所以，即是的中点．
（3）解：成立．
理由：因为，所以，
所以.
因为，
所以，
所以.
所以，.
所以.
在中，由勾股定理，得，
所以，即.
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形相似才能得出结论．
28．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
【答案】矩形EFGH的周长为30cm．
【解析】【分析】
直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出EH，EF的长，即可得出答案．
【详解】
∵矩形EFGH中，EH∥FG，EH=GF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AM⊥EH，
∴，
设EH=3x，则MD=EF=2x，AM=12﹣2x，
∴，
解得：x=3，
∴EH=3x=9，EF=2x=6，
∴矩形EFGH的周长为：2×（9+6）=30（cm）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
29．（1）已知，求的值；
（2）已知2x=3y=4z，求的值．
【答案】（1）；（2）8
【解析】【分析】
（1）可设比值为k，然后表示出x、y、z，再代入比例式计算即可得解；
（1）可设比值为k，然后表示出x、y、z，再代入比例式计算即可得解.
【详解】
解：（1）设=k（k≠0），
则x=2k，y=3k，z=4k，
所以
==；
（2）设2x=3y=4z=k≠0，
则x=，y=，z=，
所以==8．
【点评】本题考查了比例的性质，分式的化简求值问题，利用“设k法”求解更简便．
30．如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，经过多少时间，以、、为顶点的三角形恰与相似？
【答案】经过秒或者经过后两个三角形都相似
【解析】【分析】
设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA与△CPQ∽△CAB.
【详解】
设经过秒后，，此时，，
∵，，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
设经过秒后，，此时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
所以，经过秒或者经过后两个三角形都相似.
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论.
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第22章
相似性
单元检测（1)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE：CE=2：5，途接DE交AB于F，则△ADF与△BEF的面积之比为（ ）
A．9：4
B．4：9
C．3：2
D．25：4
2．若，则相似比等于（
）
A．
B．
C．
D．周长：周长
3．在三条线段，，中，的一半等于的四分之一长，也等于的六分之一长，那么这三条线段的和与的比等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，身高为米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影由向走去，当走到点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得米，米，则树的高度为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
5．如图，在中，，分别与、相交于点、，若，，则的值为（
）
B．
C．
D．
6．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论不正确的是（
）
A．AB2＝BCBD
B．AB2＝ACBD
C．ACBD＝ABAD
D．ABAC＝ADBC
7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为( )
A．4
B．5
C．6
D．8
8．如图，，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知两个相似三角形的面积比为，周长和是，则这两个三角形的周长分别是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
10．如图，直线与交于点，且与，，分别交于点，，，，，，则下列比例式不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，已知△ABC中，P是边AC上的一点，连接BP，以下条件不能判定△ABP∽△ACB的是（
）
A．∠ABP=∠C
B．∠APB=∠ABC
C．=
D．=
12．如图，已知，那么下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，两条直线被第三条直线所截，DE=，EF=，AB=1，则AC=_____．
14．若的三条边长的比为，与其相似的另一个的最小边长为，那么的最大边长是________．
15．若，且对应高线的比为，则它们的面积比为________．
16．已知：???，若，??，则与???的相似比为________，它们的面积比为________．
17．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500
000的地图上测得所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________km.
18．已知，，且，则________．
19．如图，五边形与五边形是位似图形，且位似比为．若五边形的，面积为，那么五边形的面积为________．
20．如图所示，，分别在的边、上，与不平行，当满足________条件时，有．
三、解答题
21．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点在线段上，从点开始沿边以厘米/秒的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以厘米/秒的速度向点移动．如果、同时分别从、出发，写出出发时间与的面积的函数关系式，求出的取值范围．
22．如图，和是否相似？为什么？
23．如图，若，和相交于点，和相交于点，，，，求．
24．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
25．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形
，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点
的横坐标是2，求点B的横坐标．
26．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连接与交于点，求的值．
27．如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接.
（1）求证：；
（2）若是的中点，求证：为的中点；
（3）连接，设，，，在（2）的条件下，判断是否成立？并说明理由．
28．如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC=18cm，高AD=12cm，现在要把它加工成长与宽的比为3：2的矩形零件EFCH，要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求矩形EFGH的周长．
29．（1）
已知，求的值；
（2）已知2x=3y=4z，求的值．
30．如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，经过多少时间，以、、为顶点的三角形恰与相似？
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