中小学教育资源及组卷应用平台
第22章
相似性单元检测（2)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：
，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（??
）
A．4
?????
B．4??????
C．2????
D．1
2．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝6，
DB＝7，则BC的长是（???）
A．???????
B．???????
C．
D．
3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
5．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知：如图中，，且，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列说法不正确的是（
）
A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
8．若ad=bc，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（
）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
10．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（ ）
△AED与△ACB
B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE
D．△AEC与△DAC
11．若3x=2y，则x：y的值为（
）
A．2：3
B．3：2
C．3：5
D．2：5
12．王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度，最下面一级踏板的长度．则踏板的长度为（
）
A．0.6m
B．0.65m
C．0.7m
D．0.75m
二、填空题
13．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则FC：FB=_____．
14．已知：如图，在中，，，垂足是，，BD=1．则______．
15．如图，已知平行四边形中，过点的直线与相交于点、与相交于点、与的延长线相交于点，若，，则________.
16．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是________．
17．函数的图象如图所示，观察图象，使成立的的取值范围是________．
?
18．如图，，，，且，，则________．
19．点是的边上一点，过点的直线与的边界的另一个交点为，则使与相似的直线可能有________（把正确的结论的代号都填上）．
①条；②条；③条；④条．
20．如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则________．（用含的式子表示）
三、解答题
21．如图，中，，，分别是，的中点，作且使，平分．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）求证：．
22．已知实数x、y、z满足，试求的值.
23．如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形“，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）点B的坐标为
，△ABC的面积为
；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A1、B1，点B1在第一象限；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为
．
25．如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．
?
26．中，为上的一点，，是上一点，，求，的值．
27．如图，，且．
梯形与梯形是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由；
若．求梯形的面积．
28．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE
（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；
（2）直接写出△DEF的面积．
29．如图，经过的顶点，，，交于．
求证：；
连结，如果，，求的长．
30．如图，已知与是位似图形，求证：．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第22章
相似性单元检测（2)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．如图，已知矩形ABCD满足AB：BC=1：
，把矩形ABCD对折，使CD与AB重合，得折痕EF，把矩形ABFE绕点B逆时针旋转90°，得到矩形A′BF′E′，连结E′B，交A′F′于点M，连结AC，交EF于点N，连结AM，MN，若矩形ABCD面积为8，则△AMN的面积为（??
）
A．4
?????
B．4??????
C．2????
D．1
【答案】C
【解析】【分析】
先根据已知条件判定△E'A'B∽△ABC，得出∠A'BE'=∠ACB，进而判定AC∥BE'，连接BN，则△AMN的面积=△ABN的面积，根据N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，进而得到△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，据此可得结论．
【详解】
如图：
由折叠可得，BE=BC=AF，而AB：BC=1：，
∴，
由旋转可得，AF=A'E'，AB=A'B，
∴，
又∵，
∴，
又∵∠E'A'B=∠ABC=90°，
∴△E'A'B∽△ABC，
∴∠A'BE'=∠ACB，
∴AC∥BE'，
连接BN，则△AMN的面积=△ABN的面积，
由题可得，N为AC的中点，故△ABN的面积为△ABC面积的一半，
∴△AMN的面积为△ABC面积的一半，即矩形ABCD面积的四分之一，
∴△AMN的面积=×8=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质以及旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应角相等，得出平行线．解题时注意：平行线之间的距离处处相等．
2．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝6，
DB＝7，则BC的长是（???）
A．???????
B．???????
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
连接CA、CD，根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是∠CBD，再根据AC弧所得的圆周角也是∠CBA，然后求出AC=CD，过点C作CE⊥AB于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，然后求出△ACE和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE2，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可求出BC．
【详解】
如图，连接CA、CD，
根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是∠CBD，
∵弧AC所对的圆周角是∠CBA，∠CBA=∠CBD，
∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），
过点C作CE⊥AB于E，
则AE=ED=AD=×6=3，
∴BE=BD+DE=7+3=10，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ACB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴，
即CE2=AE?BE=3×10=30，
在Rt△BCE中，BC===，
故选：D．
【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD是解题的关键．
3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】【分析】
据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【详解】
解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＋∠DCN＝90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM＋∠DCN＝90°，
∴∠BCN＝∠CDM，
又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
∵△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，
又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM＝ON故②正确，
∵△OCM≌△OBN，
∴∠COM＝∠BON，
∴∠MON＝∠COB＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∵△AOD也是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确，
∵AB＝BC，CM＝BN，
∴BM＝AN，
又∵Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，
∴AN2＋CM2＝MN2，
故④正确；
∴本题正确的结论有：①②③④，
故选D．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，考查了学生对综合知识的运用能力．
4．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（ ）
A．12
B．9
C．6
D．3
【答案】B
【解析】【分析】
由∠ACD＝∠B、∠CAD＝∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD＝3，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD＝S△ABC?S△ACD中即可求出结论．
【详解】
解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∵S△ACD＝3，
∴S△ABC＝4?S△ACD＝12，
∴S△BCD＝S△ABC?S△ACD＝9．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键．
5．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】
根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案.
【详解】
∵AD?//?BE?//?CF，
∴，
∵，，，
∴，
∴DF=4.5，
故选C.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键.
6．已知：如图中，，且，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
首先过点F作FM∥BC，交AE于M，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得与=1，则可求得BE：EC的值．
【详解】
过点F作FM∥BC，交AE于M，
∵AF：FC=1：2，
∴AF：AC=1：3，
∴，
∴EC=3FM，
∵BD=DF，
∴=1，
∴BE=FM，
∴BE：EC=1：3,
故选B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键.注意数形结合思想的应用．
7．下列说法不正确的是（
）
A．含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
【答案】B
【解析】【分析】
根据相似三角形与相似多边形的判定方法逐一进行判断即可得.
【详解】
A.
含角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含角的直角三角形是相似的，故不符合题意；
B.
若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；
C.
所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；
D.
所有的等边三角形都是相似的，正确，故不符合题意，
故选B.
【点评】本题考查了相似三角形与相似多边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.
8．若ad=bc，则下列各式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
由ad＝bc，根据比例变形，即可求得答案，注意排除法的应用.
【详解】
∵ad＝bc，∴＝，A项正确；＝，B项错误；＝，C项正确；＝，D项正确.所以答案选B.
【点评】此题考查了比例的性质，需要注意比例的变形.
9．如图，在菱形ABCD中，点E为边AD的中点，且∠ABC=60°，AB=6，BE交AC于点F，则AF=（
）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
【答案】B
【解析】【分析】
根据四边形ABCD是菱形，证出△AEF∽△BCF，然后利用其对应边成比例即可求得AF与CF的比，又易知△ABC为等腰三角形，AC＝AB＝6，即可求出AF的长度.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，
根据定理“两直线平行，内错角相等”可知∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，
又∵∠BFC＝∠EFA，∴△BFC∽△EFA，
∴AF∶CF＝AE∶CB＝1∶2，
又∵△ABC中AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AF＋FC＝BC＝AB＝6，
∴AF＝AC＝×6＝2，所以答案选B.
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，菱形的性质和比例的应用；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似并且用相似比求出线段长度是解决问题的关键.
10．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB延长线于E，则图中一定相似的三角形是（ ）
A．△AED与△ACB
B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE
D．△AEC与△DAC
【答案】C
【解析】【分析】
易知△ADC为等腰三角形，根据等腰三角形底角相等的性质可得∠C＝∠DAC，易证∠BAE＝∠DAC，即可证明∠C＝∠BAE，即可证明△AEB与△ACD全等.
【详解】
∵在直角三角形中，斜边上的中线为斜边长的一半，
∴AD＝BD＝CD，∴△ADC为等腰三角形，
∵∠BAE＋∠BAD＝90°，∠DAC＋∠BAD＝90°,
∴∠BAE＝∠DAC，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠E＝∠E,
∴△BAE∽△ACE，所以答案选C.
【点评】本题主要考查相似三角形的证明，同时考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中求证∠C＝∠BAE是解题的关键.
11．若3x=2y，则x：y的值为（
）
A．2：3
B．3：2
C．3：5
D．2：5
【答案】A
【解析】【分析】
根据比例的基本性质，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积逆推即可得到答案.
【详解】
∵3x＝2y，∴x∶y＝2∶3，故答案选A.
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积.
12．王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共有级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度，最下面一级踏板的长度．则踏板的长度为（
）
A．0.6m
B．0.65m
C．0.7m
D．0.75m
【答案】A
【解析】【分析】
根据梯形中位线定理和相似三角形的性质解答．
【详解】
如图：
因为每相邻两级踏板之间的距离都相等，
所以A4B4为梯形A1A7B7B1的中位线，
根据梯形中位线定理，A4B4＝（A1B1＋A7B7）＝（0.5＋0.8）＝0.65m．
作A1C∥B1B4，
则DB3＝CB4＝A1B1＝0.5m，
A4C＝0.65m?0.50m＝0.15m，
于是＝，
＝，
解得A3D＝0.10m．
A3B3＝0.10m＋0.50m＝0.60m．
【点评】本题考查了梯形中位线定理和相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
二、填空题
13．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，延长AE与BC延长线交于点F，则FC：FB=_____．
【答案】
【解析】【分析】
作EH⊥AB于H．根据EC∥AB，可得=，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，想办法求出EC即可解决问题.
【详解】
解：作EH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAH＝∠EHA＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴AD＝BC＝EH，DE＝AH，
∵AB＝2BC，设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
在Rt△AEH中，AE＝AB＝2a，EH＝AD＝a，
∴AH＝＝a，
∴EC＝BH＝2a?a，
∵EC∥AB，
∴△FEC∽△FAB，
∴=＝=，
故答案为：
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
14．已知：如图，在中，，，垂足是，，BD=1．则______．
【答案】
【解析】【分析】
根据勾股定理可求出CD的长，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°可证明∠A=∠BCD，即可证明△BCD∽△ACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.
【详解】
∵，．
∴CD=
=，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BCD∽△ACD，
∴AD：CD=CD：BD，
∴AD==5.
故答案为5.
【点评】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
15．如图，已知平行四边形中，过点的直线与相交于点、与相交于点、与的延长线相交于点，若，，则________.
【答案】
【解析】【分析】
根据平行四边形可得AD∥BC、
AB∥CD，由此可得△AEB∽△EGC，△AEF∽△BEC，利用其对应边成比例可求出EG的长，再用EG减去EF即可求得FG的长．
【详解】
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△BEC，
∴
，
又∵AB∥CD，
∴△ABE∽△EGC，
∴
，
∴，
将BE=5，EF=2，代入求得EG=12.5，
∴FG=EG-EF=12.5-2=10.5．
故答案为10.5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得到是解决问题的关键．
16．已知是轴的正半轴上的点，是由等腰直角三角形以为位似中心变换得到的，如图，已知，，则位似中心点的坐标是________．
【答案】
【解析】【分析】
根据位似图形的概念，连接AG，与CE的交点即是点P．根据相似三角形的性质求得OP的长，即可得点P的坐标.．
【详解】
如图，连接AG，
∵EO=1，DC=2，
∴△ACD与△GOE的位似比是2：1，
∴AD：OG=2：1，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥x轴，
∴AD∥OG，
∴△OPG∽△DPA
∴PD：OP=2：1，
∵OD=2，
∴OP=，
∴位似中心P点的坐标是（，0）．
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查了位似的相关知识，熟知位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解决问题的关键．
17．函数的图象如图所示，观察图象，使成立的的取值范围是________．
?
【答案】或
【解析】【分析】
观察图象，根据直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值即可解答．
【详解】
解：观察图象可得，直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值为x≤-1或x≥3.
故答案为：x≤-1或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数图象与不等式之间的关系，判断出y≥1的自变量的取值是直线y=1上方的函数图象所对应的自变量的取值是解决本题的关键．
18．如图，，，，且，，则________．
【答案】7
【解析】【分析】
延长AD、BC交于G，根据相似三角形的性质可得GD：GA=5：8，进一步得到DC：EF=5：7，依此即可求解．
【详解】
延长AD、BC交于G．∵AB∥EF∥DC，∴△GDC∽△GAB，△GDC∽△GEF，∴GD：GA=DC：AB=5：8．
∵DE=2AE，∴GD：GE=5：7，∴DC：EF=5：7，解得：EF=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是构造相似三角形．
19．点是的边上一点，过点的直线与的边界的另一个交点为，则使与相似的直线可能有________（把正确的结论的代号都填上）．
①条；②条；③条；④条．
【答案】④
【解析】【分析】
根据题意画出图形，过点P作PD∥BC，PF∥AC，作∠APE=∠C，∠BPG=∠C；可得这样的直线一共有4条．
【详解】
如图所示，
①过点P作PD∥BC，则△APD∽△ABC；
②作∠APE=∠C，则△APE∽△ACB；
③过点P作PF∥AC，则△PBF∽△ABC；
④在∠BPG=∠C，则△PBG∽△CBA．
故答案为：④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，分别为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，，的面积为，则________．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】【分析】
由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，即可求得△B1C1Mn的面积，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．
【详解】
∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上,点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，
∴
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴
即
∴
故答案为.
【点评】考查相似三角形的判定与性质,
正方形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
三、解答题
21．如图，中，，，分别是，的中点，作且使，平分．
（1）判断的形状，并证明你的结论；
（2）求证：．
【答案】（1）是等腰直角三角形；（2）证明见解析；
【解析】【分析】
（1）根据直角三角形的性质，可得∠FBA+∠BAC=90°，根据等式的性质，可得，根据等腰直角三角形的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠EDA=∠EAD=∠CBF，根据等量代换，可得，，根据相似三角形的判定，可得答案．
【详解】
解：（1）是等腰直角三角形，
证明：∵，
∴．
∵，，
，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）∵，
∴．
∵，，
∴，
∴
【点评】考查相似三角形的判定，
等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
22．已知实数x、y、z满足，试求的值.
【答案】
【解析】【分析】
先根据实数x、y、z满足，求出，从而得到x=y,z=y
把它们代入式子求解即可.
【详解】
方法一：∵实数x、y、z满足，
∴x=y,z=y
∴原式===.
方法二：
∵x、y、z满足，
∴，∴＝，＝＝，
∴＝＝＝k，∴x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴＝＝＝.
【点评】本题考查了求分式的值，解答本题的关键是根据实数x、y、z满足，求出，从而得到x=y,z=y，然后代入求值.
23．如图，已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴上，点在射线上，且．垂直轴于点．
点坐标为________，点坐标为________．
操作：将一足够大的三角板的直角顶点放在射线或射线上，一直角边始终过点，另一直角边与轴相交于点．问是否存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）存在这样的点，使以点，，为顶点的三角形与全等
【解析】【分析】
（1）根据点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，即可得出E（10，0），再根据点F在射线BA上，可设F（x，x+2），则OH=x，FH=x+2，最后根据勾股定理求得x即可；
（2）当点Q在射线HF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10；当点Q在射线AF上时，分两种情况：①QE=OE=10，②QP=OE=10，分别作辅助线构造直角三角形或相似三角形，求得QH的长，即可得出点Q的坐标．
【详解】
（1）∵点E在x轴正半轴上，OE=OF=10，∴E（10，0）．
∵点F在射线BA上，∴可设F（x，x+2），则OH=x，FH=x+2，如图，连接OF，则
Rt△OHF中，x2+（x+2）2=102，解得：x=6，∴x+2=8，∴F（6，8）．
故答案为（10，0），（6，8）；
（2）存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等．
当点Q在射线HF上时，分两种情况：
①如图所示，若QE=OE=10，而HE=10﹣6=4，∴在Rt△QHE中，QH===2，∴Q（6，2）；
②如图所示，若QP=OE=10，作PK⊥FH于K，则∠PKQ=∠QHE=90°，QK==8．
∵∠PQK+∠EQH=∠QEH+∠EQH=90°，∴∠PQK=∠QEH，∴△PQK∽△QEH，∴=，即=，解得：QH=3，∴Q（6，3）；
当点Q在射线AF上时，分两种情况：
①如图所示，若QE=OE=10，设Q（x，x+2），作QR⊥x轴于R，则RE=10﹣x，QR=x+2，∴Rt△QRE中，（10﹣x）2+（x+2）2=102，解得：x=4±，∴Q（4+，6+）或（4﹣，6﹣）；
②如图所示，若QP=OE=10，则QE=OP，设Q（x，x+2）．
∵∠POE=90°，∴四边形OPQE是矩形，∴x=OE=10．
∵Q在射线AF上，∴x+2=QE=12，∴Q（10，12）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理的综合应用．解决第（2）题的关键是分类讨论，运用勾股定理以及相似三角形的对应边成比例进行计算求解．分类时注意不能遗漏，也不能重复．
24．在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形“，如图，△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（﹣1，2）．
（1）点B的坐标为
，△ABC的面积为
；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，放大后点A、B的对应点分别为A1、B1，点B1在第一象限；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为
．
【答案】（1）（2，2）、3；（2）见解析；（3）（2a，2b）．
【解析】【分析】
（1）直接根据图形可得点B的坐标、由三角形面积公式可得△ABC的面积；
（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）由位似变换的性质可得答案．
【详解】
解：（1）点B的坐标为（2，2）、△ABC的面积为×3×2=3，
故答案为（2，2）、3；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）若P（a，b）为线段AC上的任一点，则放大后点P的对应点P1的坐标为（2a，2b），
故答案为（2a，2b）．
【点评】此题主要考查了位似变换，利用位似图形的性质得出对应点坐标是解题关键．
25．如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．
?
【答案】见解析
【解析】【分析】
连接AF，根据线段垂直平分线的性质，得到FD=FA，∠FAD=∠FDA，再根据三角形外角的性质，得到两个三角形的一对对应角相等，另一对角是这两个三角形的公共角，可以证明两个三角形相似，然后用相似三角形的性质对应线段的比相等进行证明．
【详解】
如图，连接，
∵垂直平分，
∴．，
∵平分，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质定理对应边的比相等证明等式成立．
26．中，为上的一点，，是上一点，，求，的值．
【答案】，．
【解析】【分析】
作交于，如图，已知把BD：DC=2：1和AE：ED=1：4，通过作平行线建立FC、AF与DG的关系，GF与BF的关系，EF与EG的关系，即可求得答案.
【详解】
作交于，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线、把它们的比转移到同一条线段上．
27．如图，，且．
梯形与梯形是否位似？如果位似，求出它们的相似比，如果不位似，说明理由；
若．求梯形的面积．
【答案】梯形与梯形不位似；理由见解析；．
【解析】【分析】
（1）分别求出梯形MNQP与梯形PBCQ的对应边的比，根据位似变换的概念进行判断即可；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出S△APQ和S△AMN，计算得到答案．
【详解】
梯形与梯形不位似，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴梯形与梯形不位似；
∵，
∴，又，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴梯形的面积．
【点评】本题考查的是位似变换和相似三角形的性质，掌握位似变换的概念和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
28．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE
（1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；
（2）直接写出△DEF的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）7.5．
【解析】【分析】
（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=，BC=，AC=，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=；
（2）根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】
（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；
?
（2）△DEF的面积=×5×3=7.5．
【点评】本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．
29．如图，经过的顶点，，，交于．
求证：；
连结，如果，，求的长．
【答案】证明见解析；．
【解析】【分析】
（1）根据MN∥BC，得到，，等量代换得到，根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）根据，得到DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到，于是推出，即，即可得到结论．
【详解】
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
30．如图，已知与是位似图形，求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】
根据位似图形的性质得到，加上∠AOB＝∠A′OB′，则可判断△AOB∽△A′OB′，所以∠BAO＝∠B′OA′，然后根据平行线的判定即可得到结论．
【详解】
如图，
∵与是位似图形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
