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第23章
解直角三角形单元检测（1)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（ ）
A．asin50°
B．atan50°
C．acos50°
D．
【答案】B
【解析】【分析】
根据题意，可得Rt△ABC，同时可知AC与∠ACB．根据三角函数的定义解答．
【详解】
根据题意，在Rt△ABC，有AC＝a，∠ACB＝50°，且tan50°＝，
则AB＝AC×tan50°＝a?tan50°，
故选B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握三角函数的定义．
2．一树干被台风吹断，折成与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则树干原来的高度为（
）米．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
根据题意画出图形，再根据直角三角形的性质进行解答即可．
【详解】
如图所示：AB=20米，∠ABC=30°，
∴AC=AB?tan30°=20×=（米）；
BC=（米），
∴AC+BC=+=20（米）．
故选B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
3．中，，于点，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
首先由已知中，，求出，，，由，在中求得的长．
【详解】
∵∠A：∠B：∠C=l：2：3，
∴∠A=180×
=30°，
∠B=180°×=60°，
∠ACB=180°×=90°，
又∵CD⊥AB，
∴在Rt△BCD中，
CD=BC?sin∠B=a．
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和及解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.
4．如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
先解Rt△CAD，由tan∠CAD==
，可设CD=x，则AC=2x，根据勾股定理得出x2+
（2x）2=（）2，求出x=1，那么CD=1，AC=2．再解Rt△CAB，由tan∠ABC=
，求出BC=4，然后根据BD=BC-CD即可求解.
【详解】
∵在Rt△CAD中,∠C=90°,tan∠CAD=
=12，
∴可设CD=x，则AC=2x，
∵AD=，
∴由勾股定理得：x2+(2x)2=()2，
解得x=1，
∴CD=1，AC=2.
∵在Rt△CAB中,∠C=90°，tan∠ABC=，
∴BC=4，
∴BD=BC?CD=4?1=3.
故选B
【点评】本题考查解直角三角形。关键找对邻边、对边、恰当选择三角函数函数.
5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】D
【解析】【分析】
根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB．
【详解】
∵=sinα，
∴AB=.
故选D.
【点评】本题考查的是解三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键.
6．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】D
【解析】【分析】
根据解直角三角形的知识可知：=sinα，即可求出AB．
【详解】
∵=sinα，∴AB==．
故选D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题，掌握三角函数的定义是解答本题的关键．
7．中，，，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据锐角三角函数的定义直接求解即可．
【详解】
已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴tan∠ACB==．
故选D．
【点评】本题考查了的知识点是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5
，BC=3，则tanB的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】分析：根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可．
详解：∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∴cosA==．
故选D．
点睛：本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．cos30°的值为（??
）
A．1?????????????????????????????
B．???????????????????
C．?????????????????????????
D．
【答案】D
【解析】cos30°=．
故选D．
10．在
中，
，
若cosB=
，则sinA的值为
(??
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB=.
故选B.
点睛：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB.
11．如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．海里
【答案】D
【解析】试题解析：由已知得：
在中，
(海里)
故选D.
12．在中，，当，时，的值是（
）
A．c=4
B．c=5
C．c=6
D．c=7
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意可得：sinA=sin60°=，则c=6，故选C．
二、填空题
13．在中，，，，________．
【答案】8
【解析】【分析】
根据∠A=90°，BC=10，cosB=
，根据三角函数可得AC的长.
【详解】
解：
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10，cosB=，cosB=，
∴BC=6．
∴AC===8．
故答案为8．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确锐角三角函数指的是哪两条边的比值．
14．在中，，，，则________．
【答案】
【解析】【分析】
根据勾股定理可求，然后运用三角函数定义求解．
【详解】
∵，，，
∴c=,
∴.
故答案为：.
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt△ABC中，
，
，
.
15．如图，中，，，，现将绕点顺时针旋转至，交于点，则线段的长为________．
【答案】
【解析】【分析】
首先根据旋转不变形得到∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，设EF=x，则FB=FD=2x，ED=3x，在Rt△DEB中，利用边角关系列出有关x的方程求解即可．
【详解】
∵∠A=30°,现将△ABC绕点B顺时针旋转30°至△DEB，
∴∠EBC=∠EBF=∠FBD=∠D=30°，
∴FB=FD
∵∠C=90°，
∴设EF=x，则FB=FD=2x，
∴ED=3x，
∵在RT△DEB中，
cos∠D=,即：
解得：x=
.
故答案为：.
【点评】本题考查旋转的性质，解直角三角形.关键是找对已知边和恰当的三角函数.
16．在高米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为和，则两船间的距离是________（精确到米，）
【答案】
【解析】【分析】
在直角△ABC中，根据AB、∠ACB可以求得BC的长度，在直角△ADB中，根据AB、∠BAD可以求得BD的长度，根据CD=CB-BD可以求得CD的长度，即可解题．
【详解】
如图：
根据题意得：∠C=∠EAC=15°，∠ADB=∠EAD=75°，
∴∠DAB=15°，
在Rt△ABD中，tan∠DAB=，
∵tan15°=2-，
∴BD=AB?tan15°=400-200，
在Rt△ABc中，tan∠ACB=tan15°=，
∴BC==400+200，
∴CD=BC-BD=400，
∴两船间的距离是400．
故答案为400．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-俯角和仰角问题，本题中计算BC、BD的值是解题的关键．
17．计算________．
【答案】1
【解析】解：原式=．故答案为1．
18．河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________．
【答案】
【解析】【分析】
根据勾股定理求出BC的长，根据坡度的概念计算即可．
【详解】
由勾股定理得：BC==24米，则斜坡AB的坡度i=AC：BC=1：2.4．
故答案为：1：2.4．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】【分析】
【详解】
解：在Rt△APC中，∵AP=
，∠APC=45°，∴AC=PC=40．
在Rt△BPC中，∵∠
PBC=30°，∴BC=PCcot30°=40×=
，
∴AB=AC+BC=（海里）．
故答案为．
【点评】本题考查了方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
20．在国道襄阳段改造工程中，需沿方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点取，，．为了使开挖点在直线上，那么________．（供选用的三角函数值：，，）
【答案】642.8
【解析】试题解析：
即
解得：DE=642.8m.
故答案为642.8.
三、解答题
21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．
【答案】这棵树的高度AB为（16+5）米．
【解析】【分析】
设AG=x,
分别在RtΔAFG和RtΔACG中,
表示出CG和GF的长度,
然后根据DE=10m,
列出方程即可解决问题.
【详解】
解：如图
设AG=x．
在Rt△AFG中，
∵tan∠AFG=，
∴FG=，
在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x，
∵DE=10，
∴x﹣=10，
解得：x=15+5
∴AB=15+5+1=16+5（米）．
答：这棵树的高度AB为（16+5）米．
【点评】本题主要考查三角函数的实际,应用根据已知条件列出等式是解题的关键.
22．人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）
（2）当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？
【答案】（1）5.82米；（2）此时人能够安全地使用这个梯子.
【解析】【分析】
（1）根据锐角三角函数关系得出sinα=，进而求出BC的长；
（2）利用锐角三角函数关系得出α的余弦值，进而得出α的取值范围即可得出答案．
【详解】
解：（1）当，则，
故，
故使用这个梯子最高可以安全攀到的墙；
（2）当梯子的底端距离墙面时，
，
∵，，
∴，
∴此时人能够安全地使用这个梯子．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是三角函数的建模能力.
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知a＝4，b＝8，求c；
(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；
(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.
【答案】(1)c=4；(2)a=，c=；(3)a=10，b=10.
【解析】分析：
（1）由已知条件根据勾股定理即可求得c的长；
（2）由已知条件结合直角三角形中边、角间的关系即可求得a和c的长；
（3）由已知条件结合直角三角形中边、角间的关系即可求得a和b的长.
详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝8，
∴；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠B＝60°，
∴，
；
（3）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝20，∠A＝60°，
∴，
.
点睛：熟记：“正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，理解直角三角形中边、角间的关系”是正确解答本题的关键.
24．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．(结果精确到0.1米)
【答案】楼EF的高度约为11.9米．
【解析】试题分析：设楼EF的高为x米,由EG=EF?GF表示出EG，根据题意得到EF⊥AF,DC⊥AF,BA⊥AF,BD⊥EF在Rt△EGD中，利用锐角三角函数定义表示出，在Rt△EGB中，利用锐角三角函数定义表示出，根据,列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
试题解析：设楼EF的高为x米,可得EG=EF?GF=(x?1.5)米，
依题意得：EF⊥AF,DC⊥AF,BA⊥AF,BD⊥EF(设垂足为G)，
在Rt△EGD中,米,
在Rt△EGB中,米，
米，
∵CA=12米,
解得：
则楼EF的高度约为11.9米.
25．如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B的正西方向，AB＝2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为_____km．（结果保留根号）
【答案】1+
【解析】此题主要考查学生对方向角的理解及运用能力
过点C作CD⊥AB，根据直角三角形的性质可得出CD=BD，ADCD，从而得出CD的长．
如图，过点C作CD⊥AB，
∵∠CBD=45°，
∴BD=CD，
∵CAD=30°，
∴ADCD，
∵AB=2km，
∴AD+BD=CDCD=2km，
∴CD，
答：船C离海岸线的距离为
26．计算:.
【答案】
【解析】【分析】
【详解】
解：原式
27．计算：
【答案】1
【解析】分析：根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂和cos45°=得到原式=，然后进行乘法运算后合并即可．
详解：原式=，
=
=1．
点睛：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．也考查了零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
28．计算：．
【答案】10
【解析】试题分析：原式第一项开立方，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．
试题解析：原式=2+9-1
=10.
29．计算
．
【答案】3.
【解析】【分析】
根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质及二次根式的性质分别计算各项后，再合并即可求解.
【详解】
解：原式=2--2×+1+2
=3.
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、二次根式的性质及实数的混合运算，熟练运用相关知识进行计算是解决问题的关键.
30．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
【答案】能求，13.44米
【解析】【分析】
根据题意：可得△ACD∽△DCB；可得；进而得到CD与AC、BC的关系，代入数据解可得答案．
【详解】
解：能求．
△ACD与△DCB中，有∠ADC=∠DBC=40°；∠DAC=∠BDC=50°；
故有△ACD∽△DCB，
∴，
CD2=AC?BC=12×15=180，
∴CD=13.44（米）．
答：该教学楼的高度约为13.44米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
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第23章
解直角三角形单元检测（1)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（ ）
A．asin50°
B．atan50°
C．acos50°
D．
2．一树干被台风吹断，折成与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则树干原来的高度为（
）米．
A．
B．
C．
D．
3．中，，于点，若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知在中，，是边上一点，，，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
6．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，堤坝高为米，则迎水坡面的长度是（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
7．中，，，，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5
，BC=3，则tanB的值是（
）
A．
B．
C．
D．
9．cos30°的值为（??
）
A．1?????????????????????????????
B．???????????????????
C．?????????????????????????
D．
10．在
中，
，
若cosB=
，则sinA的值为
(??
)
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船正向东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是（
）
A．海里
B．海里
C．海里
D．海里
12．在中，，当，时，的值是（
）
A．c=4
B．c=5
C．c=6
D．c=7
二、填空题
13．在中，，，，________．
14．在中，，，，则________．
15．如图，中，，，，现将绕点顺时针旋转至，交于点，则线段的长为________．
16．在高米的山顶上测得正东方向两船的俯角分别为和，则两船间的距离是________（精确到米，）
17．计算________．
18．河堤的横断面如图，堤高米，迎水斜坡长米，那么斜坡的坡度是________．
19．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）．
20．在国道襄阳段改造工程中，需沿方向开山修路（如图所示），为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从上的一点取，，．为了使开挖点在直线上，那么________．（供选用的三角函数值：，，）
三、解答题
21．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．
22．人要使用斜靠在墙面上的梯子安全地攀到梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个的梯子．问：
（1）使用这个梯子最高可以安全攀到多高的墙？（精确到）
（2）当梯子的底端距离墙面时，此时人是否能够安全地使用这个梯子？
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知a＝4，b＝8，求c；
(2)已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；
(3)已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.
24．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．(结果精确到0.1米)
25．如图，在笔直的海岸线l上有两个观测点A和B，点A在点B的正西方向，AB＝2km．若从点A测得船C在北偏东60°的方向，从点B测得船C在北偏东45°的方向，则船C离海岸线l的距离为_____km．（结果保留根号）
26．计算:.
27．计算：
28．计算：．
29．计算
．
30．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
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