中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第23章解直角三角形单元检测（2)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200
B．250
C．300
D．540
【答案】B
【解析】【分析】
根据坡度的概念和俯角的概念解答即可．
【详解】
解：由题意得，∠EAC＝45°，EC＝100米，
∴AC＝EC＝100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC＝3EC＝300米，
∴AB＝300＋100＝400米，
设DF＝x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD＝3DF＝3x米，
∵∠DAF＝12°，tan12°≈0.2，
∴AD＝5DF＝5x米，
则8x＝400，
解得x＝50，
∴AD＝250米．
故选B．
【点评】本题考查的是解直角三角形、熟记锐角三角函数的定义、根据题意列出方程是解题的关键．
2．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n
B．x=m+n
C．x＞m+n
D．x2=m2+n2
【答案】D
【解析】【分析】
将△ABM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，连接NN′；证明△AMN≌△ANN′，则有MN＝NN′；在Rt△NN'C′中，根据勾股定理可得结论．
【详解】
解：∵tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，
∴∠B＝∠C＝∠MAN＝45°，
∵∠CAB＝90°，
∴AC＝AB，
将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在N′处，连接NN′，
则有AN′＝AM，CN′＝BM，∠1＝∠3，
∵∠MCN＝45°，
∴∠1＋∠2＝45°，
∴∠2＋∠3＝45°，
∴∠NAN′＝∠MAN．
在△MAN与△NAN′中，
，
∴△MAN≌△NCN′（SAS），
∴MN＝NN′，
由旋转性质可知，∠ACN′＝∠B＝45°，
∴∠NCN′＝∠ACN′＋∠ACB＝90°，
∴NN'2＝NC2＋N'C2，
即x2＝n2＋m2，
故选D．
【点评】此题主要考查了旋转、全等三角形、等腰直角三角形、勾股定理、三角函数等知识点．解题关键是作出辅助线，构造直角三角形是关键．
3．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
连接BD，先利用勾股定理逆定理得△ABD是直角三角形，再根据正切函数的定义求解可得．
【详解】
解：如图所示，连接BD，
则BD2＝12＋12＝2，AD2＝22＋22＝8，AB2＝12＋32＝10，
∴BD2＋AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
则tan∠BAC＝，
故选B．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是构建直角三角形并掌握勾股定理逆定理、正切函数的定义．
4．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（ ）米．
A．10，30
B．30，30
C．30﹣3，30
D．30﹣30，30
【答案】D
【解析】【分析】
在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，延长AE交CD于F，则AF∥BC，求得∠AFD＝90°，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．
【详解】
延长AE交CD于F，则AF∥BC，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AF⊥DC，
∴∠AFD＝∠AFC＝∠ABC＝∠BCD＝90°．
∴四边形ABCF为矩形，
∴AF＝BC＝30m，FC＝AB．
∵∠DAE＝45°，
∴∠ADF＝45°，
∴DF＝AF＝30m，
在Rt△BCD中，DC＝BC?tan∠DBC＝30，
∴FC＝DC?DF＝30?30，
答：甲建筑物的高AB为（30?30）m，乙建筑物的高DC为30m．
故选：D．
【点评】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．
5．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【分析】
直接利用网格结合正方形的性质构造直角三角形，再利用勾股定理得出答案．
【详解】
如图所示：连接BD，交AC于点E，
由正方形的性质可得：BD⊥AC，
故BD＝，AB＝，
则sin∠BAC＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题关键．
6．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（ ）
A．7海里
B．14海里
C．3.5海里
D．4海里
【答案】A
【解析】【分析】
过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【详解】
过P作PDAB于点D.
PBD=PAB+APB=90°-60°=30°,
PAB=90-75=15,PAB=APB,
BP=AB=7(海里)
故答案选A.
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角的问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-方向角的问题.
7．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【分析】
根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．
【详解】
在△ABC中,∠C=90，
∵AC=4，BC=3，
∴AB==5.
∴sinA==，
故答案选：B.
【点评】本题考查的知识点是锐角三角形的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角形的定义.
8．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα=
，
则飞机到目标B的水平距离BC为（ ）
A．5400米?????????????????????B．5400米???????????????????????C．5600米???????????????????
D．5600米
【答案】A
【解析】【分析】
利用所给角的正切函数求得线段BC的长即可.
【详解】
由题知，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=α?，AC=4500
，
∵tanα=??????
∴BC=5400.
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.
9．如图，由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，则山高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】C
【解析】【分析】
首先根据题意分析图形；过点作，的垂线，垂足分别为，，构造两个直角三角形与，分别求解可得与的值，再利用图形关系，进而可求出答案．
【详解】
过点B作CD，AC的垂线，垂足分别为E，F，
∵∠BAC=30°，AB=1500米，
∴BF=EC=750米．
AF=AB?cos∠BAC=1500×=750（米）．
设FC=x米，
∵∠DBE=60°，
∴DE=x米．
又∵∠DAC=45°，
∴AC=CD．
即：750+x=750+x，
解得x=750．
则CD=750（+1）米．
故选C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-俯角、仰角问题，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
10．工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为，腰长为；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为、，且有一内角为．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为的圆洞中穿过，结果是（
）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过
B．甲板不能穿过，乙板能穿过
C．甲、乙两板都能穿过
D．甲、乙两板都不能穿过
【答案】A
【解析】【分析】
把一边水平放置，看最高顶点到对边边所在直线的距离是否小于圆洞的直径即可．
【详解】
过点B作BD⊥AC于点D，
∵等腰三角形，顶角为45°，AB=12cm，
∴BD=AD=ABsin45°=12×=6＜8.5，
∴甲能穿过圆洞．
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，过B点作BE⊥CD，垂足为E，
∵∠C=60°，BE=BC?sin60°=5＞8.5，不能通过；
故选A．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，求出最高顶点到对边所在直线的距离是解答本题的关键．
11．cos45°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】cos45°=
故选B．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【分析】
△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【详解】
由Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，得
cosA=sinB=，
故选C．
【点评】本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系，互为余角的三角函数关系：一个角的正弦等于它余角的余弦．
二、填空题
13．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.
【答案】100
【解析】【分析】
利用题意得到∠C=30°，AB=100，然后根据30°的正切可计算出BC．
【详解】
根据题意得∠C=30°，AB=100，
∵tanC=，
∴BC====100（m）．
故答案为100．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．
【答案】
【解析】【分析】
根据∠A的正弦求出∠A＝60°，再根据30°的正弦值求解即可．
【详解】
解：∵，
∴∠A＝60°，
∴．
故答案为．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，DE为△ABC的中位线，点F为DE上一点，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=10，则EF的长为________．
B．小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米）
【答案】1
70.4
【解析】【分析】
A，首先根据三角形的中位线定理求得DE的长，然后利用直角三角形斜边上中线的性质可求得FD的长，则EF即可求得；
B、先作出图形，则AB=138米，∠A=24.8°，最后，在Rt△ABC中，利用三角函数的定义可求得BC的长.
【详解】
A、∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=×10=5，
∵∠AFB为直角，D是AB的中点，即FD是直角△ABF的中线，
∴FD=AB=×8=4，
∴EF=DE﹣FD=5﹣4=1，
故答案是：1；
B、如图2，
在Rt△ABC中，
AB=138米，∠BAC=24.8°，
∵=tan24.8°，
∴BC=ABtan24.8°≈138×0.51≈70.4（米）．
故答案为：70.4．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，则AE的长为_____．
【答案】9
【解析】【分析】
过点D作DH⊥BC，垂足为H．根据三角函数求出DH的长度，再证明△CDH∽△CAE，运用相似三角形的性质求AE的长．
【详解】
解：过点D作DH⊥BC，垂足为H,
在Rt△BDH中，
DH＝BD?sin∠CBD＝8×＝6．
∵DH⊥BC，AE⊥BC，
∴DH∥AE，△CDH∽△CAE．
∴＝，
∴AE＝DH＝×6＝9．
【点评】本题综合考查了相似三角形、解直角三角形等知识点，作辅助线是关键．难度较大．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为_____．
【答案】
【解析】【分析】
作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE＝AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N．构造等腰梯形，把等腰梯形分成两个全等三角形一个矩形解决问题即可．
【详解】
解：如图，作AH⊥BC于H，在CB上截取CE，使得CE＝AD，连接AE，作DM⊥AE于M，CN⊥AE于N，
∵∠ADC＝∠ECD，DA＝CE，
∴四边形ADCE是等腰梯形，则△ADM≌△ECN，可得AM＝EN，四边形MNCD是矩形，可得CD＝MN，
在Rt△ABH中，∵tanB＝，AB＝，
∴AH＝5，BH＝2，
∵BC＝8，EC＝AD＝7，
∴BE＝8?7＝1，
∴EH＝BH?BE＝1，
在Rt△AEH中，AE＝＝，
∵△ECN∽△EAH，
∴，
∴EN＝，
∴AM＝EN＝，
∴CD＝MN＝AE?AM?EN＝，
故答案为．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．△ABC中，AB=AC，sinA=，则tanB=_____．
【答案】
【解析】【分析】
根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tanB的值．
【详解】
解：如图，△ABC中，AB=AC，sinA=，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，
则BD=CD，sinA==,
设BE=13a,则AB=12a，
在Rt△ABE中，AB=13a，BE=12a，则AE=5a，CE=AC=AE=AB-AE=8a，
在Rt△BCE中，BE=12a，CE=8a，则BC=a，BD=a，
在Rt△ABD中，AD=a，
故tanB=.
故答案为.
【点评】此题考查了解直角三角形，熟记相关概念以及熟练运用勾股定理是解此题的关键.
19．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有________个．
【答案】3
【解析】【分析】
先求出点M、N到在OB的距离，再根据等腰三角形的判定逐个画出即可．
【详解】
解：
过M作MM′⊥OB于M′，过N作NN′⊥OB于N′，
∵OM=3，ON=7，∠AOB=45°，
∴MN=4，MM′=OM×sin45°=＜4，NN′=ON×sin45°=＞4，MH=M′N′=4×sin45°=2＜4，
所以只有一小两种情况：①以M为圆心，以4为半径画弧，交直线OB于P1、P2，此时△NP1M和△NMP2都是等腰三角形；
②作线段MN的垂直平分线，交直线PB于P3，此时△MNP3是等腰三角形，
即有3个点P符合，
故答案为：3．
【点评】本题考查饿等腰三角形的判定，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
20．公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．则这块草地的面积为________．
【答案】
【解析】【分析】
易得的度数，连接可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．
【详解】
连接BD，过C作CE⊥BD于E，
∵BC=DC=10，∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=30°，∴∠ABD=90°．
∴CE=5，
∴BE=5，
∵∠A=45°，
∴AB=BD=2BE=10，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB?BD+BD?CE
=×10×10+×10×5
=(150+25)m2．
【点评】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，把四边形问题整理为三角形问题是解决本题的突破点，作等腰三角形底边上的高，是常用的辅助性方法．
三、解答题
21．计算
．
【答案】3.
【解析】【分析】
根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质及二次根式的性质分别计算各项后，再合并即可求解.
【详解】
解：原式=2--2×+1+2
=3.
【点评】本题考查了绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、二次根式的性质及实数的混合运算，熟练运用相关知识进行计算是解决问题的关键.
22．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．
（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
【答案】滑动支架BD的长大约为25cm
【解析】【分析】
根据锐角三角函数可以求得BE的长，然后根据sin∠BDE的值即可求得BD的长，本题得以解决．
【详解】
解：在Rt△BOE中，∠BOE=55°，
tan55°=，
∴OE=，
在Rt△BDE中，∠BDE=25°，
tan25°=，
∴DE=，
∴DO=30，
∴DO=DE+OE=+=30，
解得，BE≈10.6，
在Rt△BDE中，∠BDE=25°，
sin25°=，
∴BD=≈25，
答：滑动支架BD的长大约为25cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
23．如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
【答案】15
【解析】【分析】
此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BD⊥AC于D，求出∠DBC＝30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的长，由勾股定理求出AB即可.
【详解】
解：由示意图可知：∠ACB=60°，
由平行线的性质可知∠ABC=180°﹣30°﹣75°=75°，
∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=45°，BC=60×=30（海里），
过B作BD⊥AC于D，
则∠BDC=90°，∠DBC=30°，
∴DC=BC=15海里，
由勾股定理得：BD=15海里，
∵∠A=45°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴AD=BD=15海里，
由勾股定理得：AB=（海里），
答：此时货轮距灯塔A的距离AB为海里．
【点评】本题主要考查了方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点．
24．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
【答案】能求，13.44米
【解析】【分析】
根据题意：可得△ACD∽△DCB；可得；进而得到CD与AC、BC的关系，代入数据解可得答案．
【详解】
解：能求．
△ACD与△DCB中，有∠ADC=∠DBC=40°；∠DAC=∠BDC=50°；
故有△ACD∽△DCB，
∴，
CD2=AC?BC=12×15=180，
∴CD=13.44（米）．
答：该教学楼的高度约为13.44米．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25．如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求水渠的深度h．
【答案】水渠的深度h为1.2m
【解析】【分析】
作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．则四边形AMNB为矩形．MN＝0.8m．根据已知求得AM的值，再加上0.2即可．
【详解】
解：作AM⊥EF于M，BN⊥EF于N．如图，
四边形AMNB为矩形．MN=0.8m．
由题意得=1÷0.5=2．
∴AM=2ME．
设ME为x，则AM=2x．
∴EF=2x+0.8．
∴×（0.8+2x+0.8）×2x=1.3．
解得x=或x=﹣1.3（舍去）．
∴AM=2×=1．
∴h=1+0.2=1.2（m）．
答：水渠的深度h为1.2m．
【点评】此题主要考查等腰梯形的性质和坡度问题，注意公式：tanα（坡度）＝垂直距离：水平距离．
26．如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，=9，∠BAE=α，求sinα+cosα的值．
【答案】
【解析】【分析】
先利用同角的余角相等，得出∠D＝∠B，得到△AFD∽△EFB，有，代入＝9中得出AF＝3EF，再由勾股定理得出AE与EF的关系，代入原式求解．
【详解】
解：∵∠B+∠BAC=∠D+∠BAC=90°，
∠B=∠D，
∴Rt△DAF∽Rt△BEF，
∴，
∵=（）2=9，
∴AF=3EF，
∴AE==EF?，
∴sinα+cosα=．
【点评】本题利用了勾股定理和相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念．
27．计算或化简：
（1）sin45°?cos60°﹣cos45°?sin30°；
（2）5tan30°﹣2（cos60°﹣sin60°）；
（3）（tan30°）2005?（2sin45°）2004；
（4）（2cos45°﹣tan45°）﹣（tan60°+sin30°）0﹣（2sin45°﹣1）﹣1．
【答案】（1）0（2）
（3）
（4）-2
【解析】【分析】
（1）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可；
（2）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可；
（3）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可；
（4）根据特殊的三角函数值解出对应的函数值，再代入原式计算即可.
【详解】
解：（1）原式=×﹣×=0；
（2）原式=5×﹣2（﹣）=﹣2×=﹣1+=；
（3）原式=（×）2005?（2×）2004=（）2005?（2）2004=（）2004?22004?=；
（4）原式=（2×﹣1）﹣（+）0﹣（2×﹣1）﹣1=2﹣﹣1﹣=1﹣﹣（+1）=﹣2．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记这些函数值是解此题的关键.
28．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
【答案】继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．
【解析】【分析】
先作出辅助线构造出直角三角形，求出BP，进而得出PD，最后和25进行判断即可．
【详解】
过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD=90°﹣60°=30°，且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°，∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=15×2=30（海里）．
在直角△BPD中，∵∠PBD=∠PAB+∠APB=30°，∴PD=BP=15海里＜25海里，故若继续向东航行则有触礁的危险，不能一直向东航行．
【点评】本题是解直角三角形﹣﹣方向角问题，主要考查了直角三角形的性质，解答本题的关键是构造出直角三角形，用锐角三角函数是解决此类题目的关键．
29．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，公路上距A处45千米的红方在B处沿南偏西67°方向前进实施拦截．红方行驶26千米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西37°方向前进，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离AD．（参考数据：sin67°≈
，cos67°≈
，tan67°≈
，sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
）
【答案】点D处到公路的距离AD约为38千米．
【解析】【分析】
根据正弦和余弦的定义分别求出BF、CF，根据正切的定义求出CE，计算即可．
【详解】
在Rt△BCF中，
BF=BC×cos∠FBC≈10，
CF=BC×sin∠FBC≈24，
∴DE=45﹣24=21，
在Rt△DCE中，CE=
≈28，
∴AD=BG=BF+CE≈38．
答：点D处到公路的距离AD约为38千米．
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角的问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-方向角的问题.
30．如图，已知斜坡的坡脚处有一颗大树，太阳光线以的俯角将树顶的影子落在斜坡上的点处．如果大树在斜坡上的影子长为米，大树高为米，求斜坡的坡度．
【答案】．
【解析】【分析】
根据题意过点作于点，进而利用勾股定理得出的长，再利用求出其坡比即可．
【详解】
解：如图所示：过点作于点，
∵太阳光线以的俯角将树顶的影子落在斜坡上的点处，
∴，
∴，
设，则，
则，
解得：（不合题意舍去），，
故，
则斜坡的坡度为：．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关键是先转化为解直角三角形问题,主要是由勾股定理和三角函数求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第23章解直角三角形单元检测（2)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练(沪科版)
一、单选题
1．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（ ）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200
B．250
C．300
D．540
2．如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（ ）
A．m=n
B．x=m+n
C．x＞m+n
D．x2=m2+n2
3．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
4．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30日，在A点测得D点的仰角∠EAD=45°，在B点测得D点的仰角为∠CBD=60°，测得甲、乙这两座建筑物的高度分别为（ ）米．
A．10，30
B．30，30
C．30﹣3，30
D．30﹣30，30
5．如图是边长为1的小正方形组成的网格图，其中点A，B，C均为格点，则sin∠BAC为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=（ ）
A．7海里
B．14海里
C．3.5海里
D．4海里
7．在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（?
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，某侦察机在空中A处发现敌方地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=4500米，tanα=
，
则飞机到目标B的水平距离BC为（ ）
A．5400米????????????????????????B．5400米????????????????????????C．5600米?????????????????????
D．5600米
9．如图，由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，则山高为（
）
A．米
B．米
C．米
D．米
10．工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为，腰长为；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为、，且有一内角为．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为的圆洞中穿过，结果是（
）
A．甲板能穿过，乙板不能穿过
B．甲板不能穿过，乙板能穿过
C．甲、乙两板都能穿过
D．甲、乙两板都不能穿过
11．cos45°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观测C地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为__________m.
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝_____．
15．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A．如图，DE为△ABC的中位线，点F为DE上一点，且∠AFB=90°，若AB=8，BC=10，则EF的长为________．
B．小智同学在距大雁塔塔底水平距离为138米处，看塔顶的仰角为24.8（不考虑身高因素），则大雁塔市约为________米．（结果精确到0.1米）
16．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，则AE的长为_____．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=，AD=7，BC=8，tan∠B=，∠C=∠D，则线段CD的长为_____．
18．△ABC中，AB=AC，sinA=，则tanB=_____．
19．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=3，ON=7，点P是直线OB上的点，要使点P，M，N构成等腰三角形的点P有________个．
20．公园里有一块形如四边形的草地，测得米，，．则这块草地的面积为________．
三、解答题
21．计算
．
22．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB=25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．
（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
23．如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A的距离AB．
24．为了测量某教学楼CD的高度，小明在教学楼前距楼基点C，12米的点A处测得楼顶D的仰角为50°，小明又沿CA方向向后退了3米到点B处，此时测得楼顶D的仰角为40°（B、A、C在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由．（取2.24）
25．如图所示，某村要设计修建一条引水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道底面宽0.8m，渠道内坡度是1：0.5．引水时，水面要低于渠道上沿0.2m，水流的横断面（梯形ABFE）的面积为1.3m2，求水渠的深度h．
26．如图，已知BC⊥AD于C，DF⊥AB于F，=9，∠BAE=α，求sinα+cosα的值．
27．计算或化简：
（1）sin45°?cos60°﹣cos45°?sin30°；
（2）5tan30°﹣2（cos60°﹣sin60°）；
（3）（tan30°）2005?（2sin45°）2004；
（4）（2cos45°﹣tan45°）﹣（tan60°+sin30°）0﹣（2sin45°﹣1）﹣1．
28．已知：如图，为了躲避台风，一轮船一直由西向东航行，上午点，在处测得小岛的方向是北偏东，以每小时海里的速度继续向东航行，中午点到达处，并测得小岛的方向是北偏东，若小岛周围海里内有暗礁，问该轮船是否能一直向东航行？
29．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，公路上距A处45千米的红方在B处沿南偏西67°方向前进实施拦截．红方行驶26千米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西37°方向前进，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离AD．（参考数据：sin67°≈
，cos67°≈
，tan67°≈
，sin37°≈
，cos37°≈
，tan37°≈
）
30．如图，已知斜坡的坡脚处有一颗大树，太阳光线以的俯角将树顶的影子落在斜坡上的点处．如果大树在斜坡上的影子长为米，大树高为米，求斜坡的坡度．
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
