12.3 角平分线的性质同步练习（含答案）

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第十二章 全等三角形12.3 角平分线的性质练习
一、单选题（共10小题)
1．（2019·许昌市期末）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
2．（2019·邵阳市期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2017·肥城市期中）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（2018·青岛市期中）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（2019·泉州市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
6．（2018·杭州市期中）如图在中，，分别是、上的点，作，，垂足分别是，，，，下面三个结论：①；②；③≌．其中正确的是（ ）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
7．（2019·泰安市期末）如图，AD是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和35，则的面积为　　
A．25 B． C． D．
8．（2020·武安市期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2018·北京市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2018·毕节市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△EDB的周长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题（共5小题)
11．（2019·南阳市期中）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有____对全等三角形．
12．（2018·东营市期中）如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD=30，则AM=_____．
13．（2018·东营市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是_____．
14．（2020·盐城市期末）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　 　．
15．（2020·淮安市期中）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则：：等于__________．
三、解答题（共2小题）
16．（2017·驻马店市期中）如图，在ABC中，∠C＝90?，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
17．（2019·汕头市期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF.
(1)求证：CF=EB；
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由.
答案
一、单选题（共10小题)
1【答案】B【详解】作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，故选B．
2．【答案】A【详解】
作DE⊥AB于E，∵AB=10，S△ABD =15，∴DE=3，∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，故选A.
3．【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C．
4．【答案】D【解析】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．故选D．
5．【答案】B【解析】解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30．故选B．
6． 【答案】A【解析】连接，
由题意得，，在和中，，
∴≌，∴，故①正确．
，∴，
在中，∴，∴，
∴，
∴，故②正确；
在和中，只有，
不满足三角形全等的条件，故③错误．
故选．
7．【答案】D【详解】如图，过点D作于H，
是的角平分线，，，
在和中，，
≌，
，
在和中，
≌，
，
和的面积分别为60和35，
，
=12.5，
故选D．
8【答案】C【详解】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．故选：C．
9．【答案】B【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB=8，CD=2，
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴DE=CD=2，
∴△ABD的面积
故选B.
10．【答案】D【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠AED=90°，CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE=AC，
∴△DBE的周长=DE+EB+BD=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10，故选D．
二、填空题（共5小题)
11．【答案】3【解析】试题分析：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，在△AOP与△BOP中，，
∴△AOP≌△BOP，∴AP=BP，在△EOP与△FOP中，，
∴△EOP≌△FOP，在Rt△AEP与Rt△BFP中，，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，∴图中有3对全等三角形，
故答案为3．
12．【答案】60【详解】如图，过点P作PE⊥AB于点E，∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，
∴PE=PD=30，∵∠BAC=30°，PM∥AC，∴∠PME=∠BAC=30°，∠APM=∠PAD，∴PM=2PE=60，
∵∠BAP=∠PAD，∴∠BAP=∠APM，∴AM=PM=60．故答案为60．
13．【答案】15【详解】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，
由作图知CP是∠ACB的平分线，∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，∵AC=10，∴S△ACD=?AC?DQ=×10×3=15，故答案为15．
14．【答案】4【解析】作DE⊥AB，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CD=4，∴DE=4。
15．【答案】2：3：4.【详解】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，
∴：：=2：3：4故答案为2：3：4．
三、解答题（共2小题）
16．【答案】（1）证明见解析；（2）2.【详解】解：（1）过点O作OM⊥AB于点M
∵正方形OECF ∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴OM＝OE＝OF∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO ∴∠MA0＝∠FAO ∴点O在∠BAC的平分线上
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12 ∴AB＝13∴BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE ∴BE＝12－OE，AF＝5－OE
∴BM＋AM＝AB 即BE＋AF＝13 12－OE＋5－OE＝13 解得OE＝2
17．【答案】(1)见详解；(2) AF+BE=AE【详解】
证明：(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90?，∴DC=DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，
DC=DE，DF=DB，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF=EB；
(2)AF+BE=AE.∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴AC=AE，∴AF+FC=AE，
即AF+BE=AE.
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