数学必修一全册知识点讲解+练习（人教新课标A版）

集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper
subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary
set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1.
集合，集合，那么间的关系是（
）.
A.
B.
C.
=
D.以上都不对
【答案】B
【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.
综上知，，应选.?
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合，则（
）.
A.
B.
C.
=
D.
【答案】C
例2.
写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有
个.
【答案】7个
【变式2】（2016
湛江一模）已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B的子集个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】D
【解析】∵
集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y∈A}，
∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}
∴B的子集个数为：23=8个．
故选D．
例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．
【变式2】
设集合，，则与的关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】集合M表示函数的定义域，有；
集合N表示函数的值域，有，故选A.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系
377430
例2】
【变式3】
设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足(
)
A.
M=N
B.
MN
C.
NM
D.
M∩N=
【答案】B
【解析】
当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系
377430
例3】
例4．已知若M=N，则=
．
A．－200
B．200
C．－100
D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故
x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=(
)
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二、集合的运算
例5.
设集合，，，求.
【答案】,
【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.
集合表示3的倍数所组成的集合；
集合表示除以3余1的整数所组成的集合；
集合表示除以3余2的整数所组成的集合；
集合表示除以6余1的整数所组成的集合；
,.
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式】（2014
河南洛阳期中）已知集合，，则M∩N＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合M中的代表元素是x，集合N的代表元素是y，表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={x|x∈R}，N={y|y≥0}，所以M∩N={x|x≥0}，选C．
例6.（2016春
福建期中）已知全集U=R，集合A={x∈R｜x2－3x－4＜0}，B={x∈R｜2a＜x＜4a，a∈R}
（1）当a=1时，求；
（2）若A∪B=A，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）将a=1代入B，求出B，得到B的补集，从而求出其和A的交集即可；
（2）根据A、B的包含关系，通过讨论B得到关于a的不等式组，解出即可．
【答案】（1）；（2）或a≥4
【解析】A={x∈R｜x2－3x－4＜0}，
（1）当a=1时，B={x∈R｜2＜x＜5}，
∴
（2）由已知A∪B=A，得；
①当时2a≥4+a，即a≥4，满足；
②当时，即时，满足；
综上所述a的取值范围为或a≥4．
举一反三：
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}，
B={y|y=-x2+4}，
求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3，
a2
，1+a}，
B={a-3，
a2+1，
2a-1}，
其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}，
B={y|y≤4}，
A∩B={y|0≤y≤4}，
A∪B=R.
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3a=0，
A={-3，0，1}，
B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3a=-1，
∴
A={-3，1，0}，
B={-4，2，-3}，
符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.
【高清课堂：集合的运算
377474
例5】
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.已知全集，求CuA.
【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.
【答案】
当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.
【解析】
当时，方程无实数解.
此时.CuA=
当时，二次方程的两个根，必须属于.
因为，所以只可能有下述情形：
当时，，此时
CuA=；
当时，，此时
CuA=.
综上所述，当时，CuA=；
当时，CuA=；
当时，CuA=.
【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、集合运算综合应用
例8．（2014
北京西城学探诊）已知集合A={x|－4≤x＜2}，
B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．
（1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围；
（2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（1）a≥3
（2）a≤－4
【解析】
（1）∵A={x|－4≤x＜2}，
B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=，如图，a≥3；
（2）画数轴同理可得：a≤－4．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（
）
A．(-∞,
-1]
B．[1,
+∞）
C．[-1，1]
D．（-∞，-1]
∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又
，
∴，∴
故选C．
例9.
设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（1）2．
【解析】首先化简集合，得.
（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】,.
①当时，此时方程无解，由，解得或.
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得.
综上，实数的取值范围是或.
【变式2】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
CuA=，.
CuA，，即.实数的取值范围是.
PAGE指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N
，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN
，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
要点四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.计算：（1）；
（2）.
【答案】
【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【总结升华】
对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）。
类型二、指数运算、化简、求值
例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂。
=
==
=
=
【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。
举一反三：
【高清课堂：指数与指数运算369050
例1】
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）。
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=。
例3.计算：
(1)；
(2)
(3)。
【答案】3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；　　(2).
【答案】(1)112
（2）
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
例4.化简下列各式.
（1）；
（2）；　　（3）.
【答案】；；0.09
【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.
（1）原式；
（2）
（3）
举一反三：
【变式1】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式2】化简下列式子：
(1)
(2)
(3)
【答案】；；
【解析】(1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.
【高清课堂：指数与指数运算369050
例4】
例5．已知，求的值。
【答案】
【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。
，，
，
=
=
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。
举一反三：
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12，
xy=9，且x【答案】；
【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
(2)
又∵
x+y=12，
xy=9，
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又
∵
x∴x-y=代入(1)式得:.
【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.
(2)一般不采用分别把x，
y，
2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.
【变式2】已知，求及的值．
【答案】；
【解析】∵
，∴
x＞0，
则，
则，
∵
，
则，
∴
，
∴
．
例6．（2016
甘肃期末）（1）已知，求的值．
（2）化简
【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可．
（2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可．
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1），
．
（2）
【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．【巩固练习】
1．设A={(x,
y)|
|x+1|+(y-2)2=0}，B={-1,
2}，则必有（
）
　　A．
B．
C．A=B
D．A∩B=
2．（2014
湖北武汉期中）已知；，则A∩B＝（
）
A．
B．
C．[－2，2]
D．
3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是
（
）
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（
）
A．
AB
B．
BA
C．
D．
5．若集合，，且，则的值为(
)
A．1
B．-1
C．1或-1
D．1或-1或0
6．（2016
海南三模）已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B={x｜x=n2，n∈A}，则A∩B的子集共有（
）
A．16个
B．8个
C．4个
D．2个
7．设，则.
8．（2014
北京西城学探诊）某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有
人．
9．（2015
上海模拟）已知全集U=R，集合A={x｜x+a≥0，x∈R}，B={x｜|x－1|≤3，x∈R}．若，则实数a的取值范围是________．
10．若，则=
.
11．设全集，集合，，那么等于________________.
12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是
.
13．（2014
福建期中）已知集合，，．
（Ⅰ）求A∪B；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
14．设，集合，；若，求的值.
15．（2016春
南安市月考）已知集合A={x2－5x－14≤0}，B={x｜m+1＜x＜2m－1}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x,
y)|
|x+1|+(y-2)2=0}={(-1,
2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.【答案】C
【解析】集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={y|y≥－2}，B={y|y≤2}，所以A∩B={y|－2≤y≤2}，选C．
3．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
4．【答案】C
【解析】
5.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴.
6．【答案】B
【解析】集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
B={x｜x=n2，n∈A}={1，4，9，16，25，36，49，64，81}，
A∩B={1，4，9}．
A∩B的子集共有23=8．
故选：B．
7.【答案】
【解析】.
8.【答案】12
【解析】全体员工类人：设既不会骑车也不会驾车的人数为人；仅会骑车的人数为()人；仅会驾车的人数为()人；既会骑车也会驾车的人数为57人.
∴+，∴.
9．【答案】a＜－4
【解析】由A中的不等式解得：x≥―a，即A=[―a，∞），
∵全集U=R，∴，
由B中的不等式变形得：－3≤x－1≤3，即－2≤x≤4，
∴B=[－2，4]
∵
∴－a＞4，即a＜－4．
故答案为：a＜－4．
10.【答案】
【解析】，.
11.【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴.
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但、、只能取1个；、只能取1个；、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵
，，
∴
A∪B
或
或
（Ⅱ）若，由数轴知
14.【答案】
或
【解析】，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
15．【答案】（－∞，4]
【解析】由A中的不等式变形得：(x+2)(x－7)≤0，
解得：－2≤x≤7，即A=[－2，7]；
∵B=（m+1，2m－1），且A∪B=A，
∴当时，m+1≥2m－1，解得：m≤2，
当时，，
解得：－3≤m≤4；
则实数m的取值范围为（－∞，4]．函数及其表示方法
【学习目标】
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；
；
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．
优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
3.函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
4.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一、函数的概念
例1.已知集合，，则从到的函数有
个.
【答案】8
【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
4
4
4
4
5
5
5
5
4
4
5
5
4
4
5
5
4
5
4
5
4
5
4
5
由表可知，这样的函数有8个，故填8.
【总结升华】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键.
举一反三：
【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？
（1）；
（2），；
（3），对任意的.
【解析】（1）对于任意一个非零实数被唯一确定，所以当时，是函数，可表示为.
（2）当时，，得或，不是有唯一值和对应，所以（）不是函数.
（3）不是，因为当时，在集合中不存在数值与之对应.
【高清课程：函数的概念与定义域
356673
例2】
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1)
的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3)
的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4)
的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
(3)是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)；
(2)；　　　　(3).
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.
(1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)；
(2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例4.（2016春
陕西期中）（1）已知函数y=f（x）的定义域为[―1，2]，求函数y=f（1―x2）的定义域．
（2）已知函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，求函数y=f（x）的定义域．
【思路点拨】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．
【答案】（1）；（2）（―7，―1]
【解析】（1）因为函数y=f（x）的定义域是[―1，2]，
所以函数f（1―x2）中―1≤1－x2≤2，
∴－1≤x2≤2，
即，
∴f（1－x2）的定义域为．
（2）∵函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，
∴－2＜x≤1，－4＜2x≤2，－7＜2x－3≤―1，
即函数y=f（x）的定义域为（―7，―1]．
【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的.
举一反三：
【变式1】已知的定义域为，求的定义域.
【答案】
【解析】的定义域为，，，，解得：或，所以的定义域为.
例5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【思路点拨】确定的取值范围，使之对任意，都有，即方程无实根.
【答案】
【解析】
当时，对任意恒成立.
当时，要使恒成立，即方程无实根.只需判别式，于是.
综上，的取值范围是.
【总结升华】（1）函数有意义，分母恒成立，转化为时，二次方程无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里应分、两种情况讨论.（3）本题是求定义域的逆向问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.
类型三、求函数的值及值域
例6.
已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)；
(2)f(g(2))，g(f(2))；
(3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例7.
求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).
【解析】(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】
求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
类型四、映射与函数
【高清课程：函数的概念与定义域
356673
例1】
例8.
判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1，
}，对应法则是f：
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
(3)是映射，也是函数，函数解析式为．
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．
【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．
举一反三：
【变式1】（2015秋
云南昭通月考）判断下列对应是否是实数集R上的函数：
（1）f：把x对应到3x+1；
（2）g：把x对应到|x|+1；
（3）h：把x对应到；
（4）r：把x对应到．
【解析】（1）是．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R，3x+1都有唯一确定的y值与之对应．如x=―1，则3x+1=―2与之对应；
（2）是．它的对应关系f是：把x取绝对值再加1，对于任一x∈R，|x|+1都有唯一确定的y值与之对应．如x=－1，则|x|+1=2与之对应；
（3）不是．当时，根据对应关系，没有值与之对应；
（4）不是．当x＜－2时，根据对应关系，找不到实数与之对应．
类型五、函数解析式的求法
例9.求函数的解析式
(1)已知是二次函数，且，求；
(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
（3）已知，求.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)设，由得
由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，故所求函数的解析式为.
(2)
∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则
（3）因为，①
用代替得，②
由①②消去，得.
【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择.
（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.
（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程.
举一反三：
【变式】求下列函数的解析式
（1）已知，求；（2）已知，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）令，则
∴
∴
（2）将已知式子中的x换成得
消去，得
【总结升华】求函数解析式常用方法：
（1）换元法；（2）配凑法；（3）定义法；（4）待定系数法等．注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围．
类型六、函数的图象
例10.作出下列函数的图象.
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．
类型七、分段函数
例11.设函数若，则=
．
【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换．
【答案】
【解析】由题意，当时，，则
又，∴
（舍）或
∴
，∴
（舍负）
∴
【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．
例12．如图所示，等腰梯形的两底分别为，作直线交于，交折线于.设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数.
【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式，这样就需准确揭示之间的变化关系.依题意，可知随着直线的移动，点分别落在梯形的边、及边上，有三种情况，所以需要分类解答.
【答案】
【解析】
作，为垂足，，为垂足，依题意，则有
（1）当位于点的左侧时，，
由于
（2）当位于点、之间时，由于
（3）当位于点的右侧时，
由于
=
=
综上有
【总结升华】（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可.
（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
举一反三：
【变式1】如图，在边长为4的正方形的边上有一点，沿着边线
由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）画出的图象.
【解析】（1）
（2）当点在边上运动时，即当时，
当点在边上运动时，即当时，
当点在边上运动时，即当时，，故为分段函数.
P
D
C
A
B【巩固练习】
1．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是
（
）
3．（2016
武汉模拟）已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（
）
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（
）
A．
AB
B．
BA
C．
D．
5．（2014
山西大同期中）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．设集合，，则(
)
A．
B．
C．
D．
7．用适当的符号填空：
（1）
；（2）
；（3）
.
8.
若集合，，，则的非空子集的个数为
.
9．（2014
北京西城学探诊）若集合或，，则_____________．
10．（2016
上海模拟）设集合A={x｜|x－2|＜1}，B={x｜x＞a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是____．
11．已知，则_________.
12．（2015秋
慈溪市期中）若集合S={3，a2}，T={x｜x＜x+a＜3，x∈Z}，且S∩T={1}，P=S∪T，求集合P的所有子集．
13．（2014
山东日照期末）已知集合
（1）求；
（2）已知，若，求实数的取值的集合.
14．已知集合，且,求实数的值．
15．设全集，，.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】对于，因此．
2．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
3．【答案】B
【解析】由题意A∪B=A，即，又，B={1，m}，
∴m=3或，解得m=3或m=0及m=1，
验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，
故选B．
4.【答案】
C
【解析】
5．【答案】D
【解析】由题意，∵
，，
∴
，
又∵
∴
，，，，故选D
6.【答案】
B
【解析】
；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
8.【答案】15
【解析】
，，非空子集有.
9．【答案】
或
【解析】
画出数轴，显然或.
10．【答案】（－∞，1]
【解析】由｜x－2｜＜1得1＜x＜2，则A={x｜1＜x＜3}，
∵B={x｜x＞a}，且A∩B=A，
∴，即a≤1，
故答案为：（－∞，1]．
11.【答案】
【解析】，，，.
12．【答案】，{0}，{1}，{3}，{0，1}，{1，3}，{3，0}，{0，1，3}
【解析】∵S={3，a2}，且S∩T={1}，
∴a2=1，得a=1或－1
①当a=1时，T={0｜0＜x+1＜3，x∈Z}={0，1}，符合S∩T={1}，
此时P=S∪T={0，1，3}，集合P的所有子集为：，{0}，{1}，{3}，{0，1}，{1，3}，{3，0}，{0，1，3}
②当a=－1时，T={x｜0＜x－1＜3，x∈Z}={2，3}，此时S∩T={3}，不符合题意．
综上所述，得集合P的所有子集为：，{0}，{1}，{3}，{0，1}，{1，3}，{3，0}，{0，1，3}
13．【答案】（1）或或．（2）
【解析】（1）显然又,
或，或或．
（2）如图,应有
解之得．
14.【答案】
【解析】显然又,，即0-0+=0，.
由解得或1
，可解得.于是，解得或1.
.
15.【答案】
【解析】当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴
∴.对数函数及其性质
【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
要点诠释：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。
要点二、对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增函数
在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0
当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0
要点诠释：
关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0要点四、反函数
1．反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、对数函数的概念
例1.下列函数中，哪些是对数函数？
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（5）
【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数．
（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．
（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．
（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数．
（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．
【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．
类型二、对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例2.
求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为，即，所以函数；
(2)因为，即，所以函数.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
举一反三：
【变式1】求函数的定义域.
【答案】(1，)(，2]
【解析】因为，
所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2].
类型三、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例3.
比较下列各组数中的两个值大小：
(1)；
(2)；
(3)与；
(4)
与．
(5)（）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)<
；(2)
<；(3)
>；(4)
>；(5)
略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；
解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；
(2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；
(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．
(4)
(5)
注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且4.2<4.8，所以，
当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令，则，令，则
当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b1当时，在R上是减函数，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【高清课堂：对数函数369070
例1】
例4．利用对数函数的性质比较、、的大小．
【答案】
【解析】，，，只需比较与的大小即可
【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于的一个结论，，得出三个数的大小．
举一反三：
【变式1】设，，，则（
）
A．
a＜b＜c
B．
a＜c＜b
C．
b＜c＜a
D．
b＜a＜c
【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．
【答案】D
【解析】∵，，
．
∴b＜a＜c．
故选：D．
【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用．
例5．已知函数在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）
A．
（－∞，4）
B．
（－4，4]
C．
（－∞，－4）∪[2，+∞）
D．
[－4，2）
【思路点拨】由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0即可．
【答案】B
【解析】令，由题意知：
t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0
又a∈R+解得：－4＜a≤4
则实数a的取值范围是（－4，4]
故选B．
【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．
举一反三：
【变式1】求函数的值域和单调区间．
【答案】；减区间为，增区间为．
【解析】设，则，∵
y=为增函数，
的值域为．
再由：的定义域为
在上是递增而在上递减，而为增函数
∴
函数y=的减区间为，增区间为.
类型四、函数的奇偶性
例6.
判断下列函数的奇偶性.
(1)
(2).
【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型五、利用函数图象解不等式
例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。
【答案】
【解析】
要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
举一反三：
【变式1】
当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】1＜a≤2
【解析】设，，要使当x∈（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，
只需，
即，，∴1＜a≤2．
类型六：对数函数性质的综合应用
例8．（2016春
广东揭阳月考）已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3），求使f（x）＞0成立的x的集合．
【思路点拨】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据，可得：a=2，根据对数函数的性质即可求使f（x）＞0的x的解集．
【答案】（1）－1＜x＜1；（2）f（x）是奇函数；（3）（0，1）．
【解析】（1）要使函数有意义，则，
解得－1＜x＜1，
（2）∵，
∴f（x）是奇函数．
（3）若，
∴，
解得：a=2，
∴，
若f（x）＞0，则，
∴x+1＞1－x＞0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
【总结升华】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．
举一反三：
【变式1】已知函数.
（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数的取值范围.
【答案】（1）a＞1；（2）0≤a≤1．
【解析】（1）的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有
a>1.∴
a的取值范围为a>1.
（2）f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数
a=0或0≤a≤1，
∴
a的取值范围为0≤a≤1.单调性与最大（小）值
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
要点诠释：
(1)属于定义域A内某个区间上；
(2)任意两个自变量且；
(3)都有；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有（或）；
②存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；
③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.
要点二、基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
4．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【高清课堂：函数的单调性
356705
例1】
例1．已知：函数
（1）讨论的单调性.
（2）试作出的图像.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1①当时，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函数.
②当-1∴x1-x2<0，0∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是减函数.
同理：函数是减函数,
函数是增函数.
（2）函数的图象如下
【总结升华】
（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
■
举一反三：
【变式1】讨论函数的单调性，并证明你的结论.
【解析】设，则，.
，即.
在上单调递减.
同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减.
故函数在和上单调递增；在和上单调递减.
类型二、求函数的单调区间
例2.
判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2；
(2)
【思路点拨】
对进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
【答案】（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
（2）f(x)在上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；
(2)　(3)；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
（2）上为减函数；
（3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
（4）单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.
【解析】(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).
【高清课堂：函数的单调性356705
例3】
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.
【总结升华】
（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；
（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.
例3.已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有.
（1）试说明：函数是上的单调递减函数；
（2）试求函数在（且）上的值域.
【思路点拨】（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；（2）由（1）的结论可知、分别是函数在上的最大值与最小值，故求出与就可得所求的值域.
【答案】（1）证明略；（2）．
【解析】
（1）任取、，且，，于是由题设条件可知：
.
对任意的都有，
.
.
故函数是上的单调递减函数.
（2）由于函数是上的单调递减函数，
在[m,n]上也为单调递减函数，
在[m,n]上的最大值为，最小值为.
由于，同理...
因此函数在上的值域为.
【总结升华】像本例这样不知道解析式的函数，我们称为抽样函数.研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的.一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型.对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可.
举一反三：
【变式1】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性.
【答案】单调递增
【解析】设，则.
.
在上单调递增.
【变式2】已知增函数y=f（x）的定义域为且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围．
【答案】
【解析】由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，
2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
所以f（x）+f（x﹣3）≤2等价于
f（x）+f（x﹣3）≤f（4），
因为，
所以f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]，
所以f[x（x﹣3）]≤f（4）．
又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
所以
故满足的实数x的取值范围是．
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例4.
已知函数是定义域为的单调增函数．
（1）比较与的大小；
（2）若，求实数的取值范围．
【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．
（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．
例5.
求下列函数的值域：
(1)；
1)x∈[5，10]；
2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.
(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2)
；
(3)经观察知，，；
(4)令.
举一反三：
【变式1】（2015
哈尔滨期末）已知
（1）画出这个函数的图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．
【答案】（1）略；（2）单调递减区间为[―3，―2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[―2，0），[1，3]；（3）当x=3时，f（x）取得最大值为4，当x=6时，f（x）取得最小值―5
【解析】（1）∵，作出其图象如下：
（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为[―3，―2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[―2，0），[1，3]．
（3）由f（x）的图象可得，当x=3时，f（x）取得最大值为4，当x=6时，f（x）取得最小值―5．
例6.（2016
浙江东阳市模拟）设a∈R，函数
（1）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；
（2）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值．
【思路点拨】（1）分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，运用单调性，判断求解；
（2）对a讨论，分a≥0时，a＜0，再分a≤－2时，，运用单调性，求得最大值；再由分段函数的单调性，求得最小值．
【解析】（1）设，
，为对称轴，
①当a=0时，，
∴｜g（x）｜在x∈[0，1]上单调递增，
∴a=0符合题意；
②当a＞0时，g（0）=0，，
∴｜g（x）｜在x∈[0，1]上单调递增，
∴a＞0，符合题意；
③当a＜0时，，g（0）=0，
∴｜g（x）｜在上单调递增，
即只满足，即有a≤－2；
∴a≤－2，符合题意．
综上，a≥0或a≤－2；
（2）若a≥0时，，对称轴为，
f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=1+a；
若a＜0，则f（x）在递增，在递减，在（－a，+∞）递增，
若，即a≤－2时，f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=－a－1；
若，即，可得f（x）的最大值为；
若，即，可得f（x）的最大值为M（a）=1+a．
即有；
当时，；
当a≤－2时，M（a）≥1；
当，可得．
综上可得M（a）的最小值为．
【总结升华】本题考查了含绝对值函数的单调性和最值的求法，考查分类讨论的思想方法，以及不等式的解法，有一定的难度．
举一反三：
【变式1】
求在区间[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，对称轴为．
（1）当时，由上图①可知，，
（2）当时，由上图②可知，，
（3）当时，由上图③可知，，
（4）当时，由上图④可知，，
类型四、抽象函数的单调性及应用
例7．已知：函数对一切实数x，y都有成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，设P：当时，不等式恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩?RB（R为全集）．
【思路点拨】（1）令x=﹣1，y=1，由条件，结合f（1）=0，即可得到f（0）；
（2）令y=0，结合，即可求出的解析式；
（3）化简不等式，得到，求出左边的范围，由恒成立得到a的范围；由二次函数的单调性，即可得到集合B，从而求出A∩?RB．
【答案】（1）﹣2；（2）；（3）A∩CRB={a|1≤a＜5}．
【解析】（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1×（﹣1+2+1）
∵f（1）=0，∴f（0）=﹣2；
（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=﹣2，∴
；
（3）不等式，即即，
当时，，
又恒成立，故A={a|a≥1}，
又在[﹣2，2]上是单调函数，故有，或，
∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，
∴A∩CRB={a|1≤a＜5}．
【总结升华】本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查不等式的恒成立问题转化为求最值的问题，以及函数的单调性及运用，属于中档题．
PAGE巩固练习
1．下列个函数中，是指数函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若函数与的图象关于轴对称，则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数在R上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．
已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（
）
A．
2
B．
C．
D．
6．已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．函数在其定义域内是（
）
A．
奇函数
B．
偶函数
C．
既奇又偶函数
D．
非奇非偶函数
8．（2016
山东菏泽二模）若函数（b∈R）的图象不经过第二象限，则有（
）
A．b≥1
B．b≤1
C．b≥0
D．b≤0
9．当时，的值域为
．
10．设函数是偶函数，则实数的值是
．
11．设函数若，则的取值范围是_________．
12．函数的单调递减区间是_______________．
13．比较下列各题中两个数的大小：
（1）；（2）；
（3）已知，比较的大小．
14．已知函数，求其单调区间及值域．
15．设函数
（1）判断并说明函数的单调性；
（2）确定a的值，使为奇函数及此时的值域．
16．（2016春
江苏淮安期末）设函数（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若，f（x）是单调增函数．
答案与解析
1．【答案】D
【解析】根据指数函数的概念判断．
2．【答案】C
【解析】因为函数与的图象关于轴对称，所以，，即，所以．故选C．
3．【答案】C
【解析】∵，，，
函数在R上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，
∴，故，
故选C．
4．【答案】D
【解析】因为函数是上的减函数，所以，所以，即．
5．【答案】B
【解析】因为（1），所以，又为奇函数，为偶函数，所以（2），有（1）、（2）得：．．
6．【答案】C
【解析】（2）（4）（5）正确，其余错误．
7．【答案】A
【解析】由，得x≠0，
∴函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，
又，
故函数为奇函数，
故选A．
8．【答案】A
8．【答案】D
【解析】因为，当x＜0时，y∈（0，1）．所以，函数（b∈R）的图象不经过第二象限，
则有b－1≤－1，解得b≤0．
故选D．
9．【答案】
【解析】因为，则，即．
10．【答案】-1
【解析】取特殊值法
因为函数为偶函数，所以，即，，，，，，．
11．【答案】
【解析】当时，由可知，；当时，由可知，，∴
或
．
12．【答案】
【解析】令，
∵为增函数，∴的单调递减区间为．
13．【解析】（1）是上的增函数，，．
（2）是上的减函数，．
（3）设函数，它在实数集上是减函数，．
14．【解析】令，，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵，
∴的值域为．
15．分析：（1）运用函数的单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论，即可判断；
（2）由函数的奇偶性的定义，即可得到a，再运用变量分离，结合指数函数的值域，即可得到所求值域．
【答案】（1）详见解析；（2）a=1，值域（－1，1）
【解析】（1）任取，则，
∵
，∴
，即，又∵
，，
∴，即．
∴不论a为何值，总为增函数；
（2）∵
为奇函数，∴，，
解得
a=1，故
在其定义域内是增函数，
当x趋向－∞时，趋向1，趋向－1，当x趋向+∞时，趋向+∞，趋向1，
∴的值域（－1，1）．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的值域的求法，考查运算能力．
16．【答案】（1）k=―1；（2）略
【解析】（1）∵函数（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，
∴对于任意实数都成立．
∴k=―1．
（2）由（1）可知：，
∵，又a＞0，解得a=2．
∴．
任取实数x1＜x2，则
∵，∴，又，
∴
，∴f（x）是单调增函数．【巩固练习】
1．函数的定义域是(　
)
A．
B．　
C．
D．
2．函数的值域为
（
）
A．[0,3]
B．[-1,0]
C．[-1,3]
D．[0,2]
3．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论
(
)
①B中的任何一个元素在A中必有原象；
②A中的不同元素在B中的象也不同；
③A中任何一个元素在B中的象是唯一的；
④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．
其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个　　　
C．3个
D．4个
4．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有
(
)个．
A．1个
B．2个　　　
C．3个
D．4个
5．设函数则的值为
A．
B．
C．
D．
6．（2016
河北衡水模拟）已知f（x2―1）定义域为[0，3]，则f（2x―1）的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
7．向高为的水瓶里注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（
）
8．已知函数，则的值是（
）
A．2008
B．2009
C．
D．
2010
9．若函数的定义域是，则函数的定义域是
．
10．已知，则不等式的解集是
．
11．（2016
浙江台州模拟）若函数在（a，a+6）（b＜－2）上的值域为（2，+∞），则a+b=____．
12．已知，则=
．
13．当为何值时，方程（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．
14．（2015春
重庆期末）已知函数f（x）=x2+mx+n（m，n∈R），f（0）=f（1），且方程x=f（x）有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的值域．
15．设两地相距260，汽车以的速度从A地到B地，在B地停留后，再以的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数．
16．设函数
．
（1）若，求方程的解；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；并证明：
．
【答案与解析】
1．【答案】D．
【解析】由题意1-x≥0且x≥0，解得，故选D．
2．【答案】C
【解析】
又，
∴
当x=2时，y=－1
当x=0时，y=3
∴
－1≤y≤3
即
，故选C
3．【答案】A．
【解析】由映射的概念知，只有③正确．
4．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
5．【答案】D
【解析】该分段函数的二段各自的值域为，
∴
，故选D．
6．【答案】B
【解析】根据f（x2－1）定义域为[0，3]，得x∈[0，3]，
∴x2∈[0，9]，
∴x2－1∈[―1，8]；
令2x―1∈[―1，8]，
得2x∈[0，9]，
即；
所以f（2x―1）的定义域为．
故选B．
7．【答案】B.
【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A、C、D都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度的增加，体积V也增加，并且随单位高度的增加，选项A的体积V的增加量变大；选项B的体积V的增加量变小；选项C的体积V的增加量先变小后变大；选项D的体积V的增加量不变，故选B.
8．【答案】C．
【解析】，．
9．【答案】
解不等式组得，又．
10．【答案】
【解析】
当
当，
∴.
11．【答案】―10
【解析】由，
∵b＜－2，∴（b+2）＞0，
则函数在（－∞，―2），（―2，+∞）上为减函数，
又函数在（a，a+6）上为减函数，且值域为（2，+∞），
∴a=―2，且，解得b=―8．
∴a+b=―10．
故答案为：―10．
12．【答案】4020
【解析】
令，则由
可得即
分别令，
则
=2+2+2+…+2=2010×2=4020
13．【解析】设，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问题来处理．
设
则
画出函数的图象，如右图．
再画出函数的图象．由图象可以看出：
（1）当时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．
（2）当或时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解．
（3）当时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解．
（4）当时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．
14．【解析】（1）∵f（x）=x2+mx+n，且f（0）=f（1），
∴n=1+m+n．
∴m=－1．
∴f（x）=x2－x+n．
∵方程x=f（x）有两个相等的实数根，
∴方程x=x2―x+n有两个相等的实数根．
即方程x2―2x+n=0有两个相等的实数根．
∴(―2)2―4n=0．
∴n=1．
∴f（x）=x2－x+1．
（2）由（1），知f（x）=x2－x+1．
此函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
∴当时，f（x）有最小值．
而，f（0）=1，f（3）=32－3+1=7．
∴当x∈[0，3]时，函数f（x）的值域是
15．【答案】
16．【答案】（1）或；（2）略
【解析】（1）时：
当时，，由
得（舍去），
故
当时，
，
由得
故当时，方程的解是或
（2）不妨设，
　
　
　　
若，与矛盾，
　
且有
①
，
②
　　
由①得：，
由②得：
　　
的取值范围是
联立①、②消去得：
PAGE《函数》全章复习与巩固
【学习目标】
1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；
2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；
5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；
6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：关于函数的概念
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
4．函数的定义域
函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：
（1）已知得函数表达式，求定义域；
（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．
5．函数的值域
由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域．
函数值域的求法：
（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；
（2）形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域（注意）；
（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；
（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．
6．函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出．
要点二：函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．
要点三：函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
要点四：图象的作法与平移
（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；
（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；
（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．
要点五：一次函数和二次函数
1．一次函数
，其中．
2．二次函数
二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为，对称轴方程为．
对于二次函数．
当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值．
当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值．
要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）
（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
要点七：函数与方程
（1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点．
（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根．
（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．
（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系．
①，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；
②，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；
③，方程无根，其对应二次函数无零点．
【典型例题】
类型一：映射
例1．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b2－4a≥0；（3）b2=4a
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0．
③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】
已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
D
【解析】
由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型二：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492
例2】
例2．设定义在R上的函数y=
f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y=
f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）定义在R上的偶函数f
(x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）D
（2）A
【解析】（1）由函数是奇函数且在[0，2]上是增函数可以推知在[－2，2]上递增，又，故函数以8为周期，，，，故．故选D．
（2）由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例3．设函数的定义域为，若所有点
构成一个正方形区域，则的值为（
）
A．－2
B．－4
C．－8
D．不能确定
【答案】
B
【解析】
依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（
）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．[0，1）∪（1，4]
D．（0，1）
【答案】
B
【解析】
要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例4．设函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．
【答案】（1）右图；（2）．
【解析】
（1）由于，则函数的图象如图所示．
（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a＜―2时，函数与函数y=ax的图象有交点．故不等式的解集非空时，a的取值范围为．
举一反三：
【变式1】对于实数和,定义运算“﹡”:,设,且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】由定义运算“
”可知
,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是.
【变式2】（2016
山东）已知函数，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【思路点拨】作出函数的图象，依题意，可得（m＞0），解之即可．
【答案】（3，+∞）
【解析】当m＞0时，函数的图象如下：
∵x＞m时，，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须（m＞0），
即（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
例5．（2016春
云南保山期末）定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，．
（1）求f（x）在R上的表达式；
（2）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．
【思路点拨】（1）设x＜0时，则－x＞0，利用f（x）=f（－x），以及当x≥0时，，求得x＜0时函数解析式，从而得出结论．
（2）根据函数的解析式求得y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，
当x≥0时，，
设x＜0时，则－x＞0，
故，
综上可得，．
（2）根据函数的解析式可得，当x=±2时，y=f（x）取得最大值为4，
结合f（x）的图象定出f（x）在R上的单调增区间为（－∞，－2]、[0，2]；
减区间为[－2，0]、[2，+∞）．
【总结升华】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的最值以及单调区间．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492
例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）2
；（2）单调递增
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则
=
所以函数在上单调递增．
【变式2】函数在上有定义,若对任意,有,则称在上具有性质.设在[1,3]上具有性质,现给出如下命题:
①在上的图像时连续不断的;
②在上具有性质;
③若在处取得最大值,则;
④对任意,有
其中真命题的序号是
（　　）
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
【答案】D
【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误
例6．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4，当x=1时，u有最大值，umax=4，显然u没有最小值．∴当x=1时，有最小值，没有最大值．
（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
（2）对于函数，试研究其最值情况．
【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【解析】（1）不正确．没有考虑到u还可以小于0．
正确解答如下：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4≤4，
当0＜u≤4时，，即；当u＜0时，，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
（2）对于函数，令u=ax2+bx+c（a＞0）．
①当Δ＞0时，u有最小值，，
当时，，即；当u＞0时，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
②当Δ=0时，u有最小值，，
此时，u≥0，∴＜，即，既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，，
即．
∴，即．
∴当时，有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】
函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
（2）设，是二次函数，若的值域是[0，+∞），则的值域是（
）
A．（－∞，－1]∪[1，+∞）
B．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】要使的值域是[0，+∞），则可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又是二次函数，定义域连续，故不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C项．
【总结升华】
函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出的值域，要求的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．
类型三：函数的零点问题
例7．若函数在区间（1，6）内有零点，求的取值范围．
【答案】
【答案】
二次函数在区间（，）上有零点，分以下四种情况：
【解析】
（1），解得，如图1
（2），解得，如图2
（3），解得，如图3
（4）或，解得，如图4或5
综上所述的取值范围是．
【总结升华】二次函数（不妨设）在有限的开区间内有零点的条件是：（1）（2）（3）（4）或
举一反三：
【变式1】试讨论函数的零点个数．
【解析】
由得，令
的图象如图所示，
．
当即时，与无公共点．
当或，即或时，与有两个交点．
当即时，与有四个交点．
当，即时，与有三个交点．
所以，当时，函数无零点．
当或时，函数有两个零点．
当时，函数有四个零点．
当时，函数有三个零点．
【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．
例8．已知,函数.
（Ⅰ）证明：函数在上单调递增；
（Ⅱ）求函数的零点．
【答案】（Ⅰ）略
；（Ⅱ）详见解析
【证明】（Ⅰ）在上任取两个实数,且,
则．
∵,
∴．
∴,
即.
∴．
∴函数在上单调递增．
（Ⅱ）(ⅰ)当时,
令,
即,
解得.
∴是函数的一个零点．
（ⅱ）当时,
令,
即．(※)
①当时,
由(※)得,[
∴是函数的一个零点；
②当时,
方程(※)无解；
③当时,
由(※)得,(不合题意,舍去)
综上,
当时,
函数的零点是和；
当时,
函数的零点是．
类型四：函数的综合问题
例9．（1）已知函数在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[－1，1]，求函数的最小值．
【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；
第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．
【答案】（1）－3或；（2）略
【解析】
（1）．
①当a=0时，函数在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当a＞0时，函数在区间[－1，2]上是增函数，最大值为，；
③当a＜0时，函数在区间[―1，2]上是减函数，最大值为，a=―3．
综上，a的值为－3或．
（2），对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：
当a≥1时，函数在区间[―1，1]上是减函数，最小值为；
当―1＜a＜1时，函数在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为；
当a≤―1时，函数在区间[―1，1]上是增函数，最小值为．
【总结升华】
求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．
举一反三：
【变式1】设函数，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数的最小值．
【答案】
【解析】
二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．
，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：
当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为；
当1≤t+1≤2，即0≤t≤1时，如上图②，最小值为；
当t＞1时，如上图③，函数在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为．
综上有
【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．
例10．设a为实数，函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）设函数，x∈（a，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式的解集．
【答案】（1）（―∞，－1]；（2）；（3）略．
【解析】（1）因为，所以－a＞0，即a＜0．
由a2≥1知a≤―1．因此a的取值范围为（―∞，－1]．
（2）记的最小值为，我们有
（i）当a≥0时，，由①②知，此时．
（ii）当a＜0时，．若x＞a，则由①知；若x≤a，则x+a≤2a＜0，由②知．此时．
综上得．
（3）（i）当时，解集为（a，+∞）；
（ii）当时，解集为；
（iii）当时，解集为．
类型五：函数的实际应用
【高清课堂：函数模型的应用实例392115
例3】
例11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100
3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当，
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
举一反三：
【变式1】某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品，每年可售出1000吨，若将该产品每吨的价格上涨，则每年的销售量将减少。
（1）当时，求销售额的最大值；
（2）如果涨价能使销售额增加，求的取值范围。
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．
【答案】（1）11250万元；（2）（0，1）
【解析】销售总额
（1）当时，
∴
时销售额最大，最大值为11250万元。
（2）涨价能使销售额增加也就是当时，
即
亦即
∴，解得
∴的取值范围是（0，1）【巩固练习】
1．已知函数仅有唯一个正零点，则此零点所在的区间是（
）
A．（3，4）　　
B．　（2，3）　
C．（1，2）　
D．（0，1）
2．有两个互为相反数的零点的函数(　　)
A．只能是偶函数　　B．可以是奇函数　　C．可以是增函数　　D．可以是减函数
3．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（
）
A．（－2，2）
B．（－2，2]
C．（－∞，－2）∪[2，∞）
D．（∞，2]
4．设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内(　　)
A．可能有3个实数根　　B．可能有2个实数根　　C．有唯一的实数根　　D．没有实数根
5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（
）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1．5）=0．625
f（1．25）=－0．984
f（1．375）=－0．260
f（1．4375）=0．162
f（1．40625）=－0．054
那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（
）
A．1．2
B．1．3
C．1．4
D．1．5
7．如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)
8．设是方程的两个根，则的最大值等于（
）
A．19　　B．18　　C．17　　D．16
9．（2015年天津高考）已知函数
函数
，其中
，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
10．（2016
福建模拟）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．
11．若方程在（1,2）内有实数解，则实数的取值范围是
．
12．关于的方程的根分别为，则的值为
．
13．设函数．
（1）证明：在区间（-1,0）内有一个零点；
（2）借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解．（精确到0．1）
14．（2016
浙江嘉兴一模）已知函数，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）设h(x)=(2x－3)f
(x)，若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；
（Ⅱ）求函数y=｜f（x）｜在[0，1]上最大值．
15．设二次函数满足f（－1）=0，对于任意的实数x都有f（x）－x≥0，并且当x∈（0，2）时，．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：a＞0，c＞0；
（3）当x∈（－1，1）时，函数g（x）=f（x）－mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】C　
【解析】由题意，可知f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0,故选C．
2．【答案】B　
【解析】增函数与减函数不可能有两个零点，而奇函数和偶函数都可能有两个互为相反数的零点，故选B．
3．【答案】B
分析：将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论
【解析】不等式，可化为，
当a－2=0，即a=2时，恒成立，合题意．
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得－2＜a＜2．
所以a的取值范围为（－2，2]．
故选B．
点评：本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想．
4．【答案】C　
【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1]
上有唯一实根．故选C．
5．【答案】D．
【解析】由二分法的概念知D正确．　
6．【答案】C
【解析】由，则，又，则，又，则，又，又，则，故选C．
7．【答案】B　
【解析】用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解．故选B．
8．【答案】B
【解析】由是方程的两个根，
，解得
，
当时，取得最大值18．
9．【答案】D
【解析】先画出图象，b=0时，函数与的图象的关于点（1，0）成中心对称，如图所示：
由题意，将向上平移与相交，容易求出：当时，曲线的段与的DE段相切，，此时与有两个交点；继续向上平移，与有四个交点，满足题意；当b=2时，图中的段与的DF段重合，此时与有无穷多个公共点．
综上，满足条件的范围是
．
故选：D．
10．【答案】[1，+∞）
【解析】当x＜1时，令ln（x―1）=0解得x=0，故f（x）在（―∞，1）上有1个零点，
∴f（x）在[1，+∞）上有1个零点．
当x≥1时，令得．
∴实数a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．
11．【答案】（2,10）
【解析】设函数．易证明是上的增函数，依题意，得所以．
12．【答案】3
【解析】在同一直角坐标系中画出的图象，观察可得．
13．【答案】-0．4
【解析】解：（1）设，由，推出，
所以在区间（-1,0）内有一个零点．
（2）由；由；
由；
由，所以．
14．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，
即a2－4=0，解得a=±2；
（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，
代入得，
解得，检验满足Δ＞0；
综上所述，a的了取值集合为．
（Ⅱ）（1）若，即a≥0时，
函数y=｜f（x）｜在[0，1]上单调递增，
故；
（2）若，即－2＜a＜0时，
此时，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；
故，
（3）若，即a≤－2时，
此时f（1）=2+a≤0，，
综上所述，
15．分析：（1）由可得
f（1）≤1，由f（x）－x≥0可得
f（1）≥1，故有（1）=1．
（2）f（x）－x≥0恒成立，可得a＞0，且f（0）－0≥0
恒成立，从而得到c≥0．
（3）由题意得，g（x）的对称轴在区间（－1，1）的左边或右边，即，或，解出m的取值范围．
【答案】（1）1；（2）证明详见解析；（3）（－∞，c－a]∪[3a+c，+∞）
【解析】（1）∵二次函数满足∴a+c=b，函数．
∵当x∈（0，2）时，，∴f（1）≤1．
又对于任意的实数x都有f（x）－x≥0，∴f（1）－1≥0，f（1）≥1，故
f（1）=1．
（2）由题意得，恒成立，∴a＞0，且f（0）－0≥0
恒成立，
∴c≥0．
综上，a＞0，c≥0．
（3）∵，当x∈（－1，1）时，g（x）是单调的，
∴，或，∴m≤c－a，或
m≥3a+c，
故m的取值范围为（－∞，c－a]∪[3a+c，+∞）．
点评：本题考查二次函数的性质，解分式不等式，正确使用题中条件是解题的关键．
PAGE【巩固练习】
1．下列条件所指对象能构成集合的是
(
)
A．与0非常接近的数
B．我班喜欢跳舞的同学
C．我校学生中的团员
D．我班的高个子学生
2．下列四个集合中，是空集的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．集合可化简为（
）
A．
B．
C．
D．
4．下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是1；　　　　　　
(2)若不属于，则属于；
(3)若则的最小值为2；
(4)的解可表示为；
其中正确命题的个数为(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
6．（2016
广东湛江期中）已知集合A={0，1，2}，B={z｜z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（
）
A．{0，1，2，3，4}
B．{0，1，2}
C．{0，2，4}
D．{1，2}
7．设集合,，则有
A．
B．
C．
D．
8.方程组用列举法表示为
.
9．设a，b∈R，集合，则b－a=
．
10．（2015秋
上海期中）若集合A={x｜ax2－2x+1=0}至多有一个元素，则实数a的取值集合是________。
11．用描述法表示的集合可化简为
.
12．已知集合，试用列举法表示集合.
13．（2015秋
晋城月考）设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x。
（1）求实数x应满足的条件；
（2）若－2∈A，求实数x。
14．已知集合={x|，}，若中元素至多只有一个，求实数的取值范围.
【答案与解析】
1.【答案】
C
【解析】
元素的确定性.
2.
【答案】D
【解析】
选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.
3.
【答案】
B
【解析】
解方程得，因为，故选B.
4.
【答案】A
【解析】(1)最小的数应该是；(2)反例：，但；(3)当；(4)元素的互异性.
5.
【答案】D
【解析】
元素的互异性.
6．【答案】A
【解析】∵A={0，1，2}，B={z｜z=x+y，x∈A，y∈A}，
①当x=0，y=0；x=1，y=1；x=2，y=2时，x+y=0，2，4，
②当x=0，y=1；x=1，y=2时，x+y=1，3，
③当x=1，y=0；x=2，y=1时，x+y=1，3，
④当x=0，y=2时，x+y=2，
⑤当x=2，y=0时，x=y=2，
综上，集合B中元素有：{0，1，2，3，4}。
故选A。
A．
B．
C．
D．
7．【答案】A
【解析】集合A中的元素是所有的奇数组成的，而a=5，是奇数，所以a是集合A中的元素，根据元素与集合的关系，故选A
8.
【答案】
【解析】
加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.
9．【答案】b－a=2
【解析】∵
，∴
a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
∴
a+b=0或，∴
－1∈，a=－1，
∵
a+b=0，b=1，∴
b－a=2．
10．【答案】{a｜a≥1，或a=0}
【解析】当a=0时，，符合题意；
当时，a≥1，此时方程ax2－2x+1=0至多有一个解，即集合A至多有一个元素；
∴a≥1，或a=0，即实数a的取值集合是{a｜a≥1，或a=0}。
故答案为：{a｜a≥1，或a=0}
11.
【答案】
【解析】，，.
12.
【答案】
【解析】由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即
.
13．【答案】（1）x{0，－1，3}；（2）x=－2
【解析】（1）∵集合A中含有三个元素3，x，x2－2x。
∴3≠x且3≠x2－2x且x≠x2－2x，
解得：x≠3，且x≠－1，x≠0，
故实数x应满足x{0，－1，3}，
（2）若－2∈A，则x=－2，或x2－2x=－2，
由x2－2x=－2无解，
故x=－2
14.
【答案】或
【解析】（1）时，原方程为，得符合题意；
（2）时，方程为一元二次方程，依题意，解得.
综上，实数的取值范围是或.
PAGE集合与函数单元复习巩固
《函数应用》全章复习与巩固
编稿：丁会敏
审稿：王静伟
【学习目标】
1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点．
2．进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数思想方法．
3．在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：函数、方程的有关问题
1．一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数
y=
ax2+bx+c
(a≠0）的图像有如下关系：
判别式=b2-4ac
>0
0
<0
二次函数y=ax2+bx+c
的图像
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两个不相等的实数根x1，x2
有两个相等实数根x1=x2
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
要点诠释：
（1）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
（2）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根的个数?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点的个数?函数y＝f(x)的零点的个数．
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
3.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
要点二：函数的实际应用
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
【典型例题】
类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题
例1．若函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（
）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得．
【答案】
C
【解析】对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一
举一反三：
【变式1】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．
【答案】
×
×
×
图象略
【变式2】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是
(　　)
A．(－2，－1)　
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
【答案】B
【解析】∵f(0)＝1>0，f(－1)＝<0，∴选B.
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
例2．求函数零点的个数．
【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程不易解，舍之．若将方程变形为：．构造函数与，方程的根即为方程组的解，函数的零点个数即为函数与图像的交点的个数．
【答案】0
【解析】函数与图像如图所示：
由此易知，函数与的图像交点个数为0，即得：函数的零点个数为0．
【总结升华】函数零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程变形为：，构造函数与，这两个函数的交点个数即为函数的零点的个数．这种方法数形结合，直观性强．
举一反三：
【变式1】求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
【答案】1
（2，3）
【解析】分别作出函数和的图象可知．如下图：
【变式2】已知函数，当时，函数的零点,则
．.
【答案】2
【解析】用数形结合法，由已知得：
作出
及的图象，
作出
及
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
例3.(2015
怀化一模)已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【思路点拨】首先根据函数类型和零点个数确定零点位置然后列出关系式求出实数a的取值范围.
【解析】函数有三个零点，
且在上有2个两点
解得
【总结升华】对于函数零点问题一般采用数形结合的方法解决.
举一反三：
【变式1】(2015
锦州二模)已知函数且函数
只有一个零点，则实数a的取值范围是
.
【答案】
【解析】函数只有一个零点，
只有一个x的值，使
即令
函数与只有一个交点，如图示：
当时，与有两个交点
当时，与有一个交点
实数a的范围是
【高清课程：函数与方程377543
例5】
【变式2】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去．
（2）当时，令，
分情况讨论：
①，
不满足题意舍去．
②，
若且即，满足题意．
若且即时，的另一解是．
综上所述，满足条件的的取值范围是．
例4．借助计算器或计算机用二分法求方程的一个近似解．（精确到0.01）
【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数的近似零点．注意到，则方程在[-l，0]内有实根，再用二分法求近似解．
【解析】考查函数，因为，，所以方程在[-l，9]内有实数解．
如此，得到方程的实数解所在区间的表：
1
左端点
右端点
第1次
-1
0
第2次
-1
0.5
第3次
-0.75
-0.5
第4次
-0.75
-0.625
第5次
-0.6875
-0.625
第6次
-0.6875
-0.65625
第7次
-0.6875
-0.671875
第8次
-0.6875
-0.6796875
第9次
-0.6875
-0.68359735
第10次
-0.6875
-0.685546875
至此，可以看出，区间[-0.687
5，-0.685546875]内的所有值，都精确到0.01都是0.69，所以0.69是方程精确到0.01的实数解．
【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法．用二分法求函数零点的近似值应注意：
（1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；
（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算；
（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们都符合给定的精确度．
举一反三：
【变式1】举出一个方程，但不能用“二分法”求出它的近似解
．
【答案】
【解析】如果函数不能很明显的找到两个使函数值异号的x，这样就不好用二分法了．
类型二：函数模型极其应用
例5.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y
kg与身高x
cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式;
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78
kg的在校男生的体重是否正常？
【思路点拨】由上表中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型.由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（快速增长），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数关系.
【答案】（1）（2）偏胖
【解析】(1)身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图
根据点的分布特征可以考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数模型.
选取表其中两组数据，代入得：
用计算机算得
，
这样，得到函数模型：
.
将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像，可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)如何应用模型判断某男生的体重是否正常？
将代入，得
由计算器算得
由于
所以，这个男生偏胖.
【总结升华】用数据拟合函数模型时，如何从散点图观察函数，需要平时积累一些常见的函数模型，并了解具体模型适用的大致的实际问题．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．
举一反三：
【变式1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
【解析】记为投资总回报，为投资天数，则方案一：；方案二：；方案三：，可做图象，结合函数表格分析得：投资8天以下（不含8天），应选择第一种方案；投资8-9天，应选择第二种方案；投资11天以上（含11天），则应选择第三种投资方案．
函数应用
函数与方程
实际问题的函数建模
利用二分法求方程的近似解
利用函数性质判定方程解的存在
实际问题的函数刻画
用函数模型解决实际问题
函数模型案例【巩固练习】
1．下列函数与有相同图象的一个函数是（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数与的图象关于下列那种图形对称（
）
A．轴
B．轴
C．直线
D．原点中心对称
3．（2015年山东高考）若函数是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（
）
A．（－∞，－1）
B．（－1，0）
C．（0,1）
D．（1，+∞）
4．函数在上递减，那么在上（
）
A．递增且无最大值
B．递减且无最小值
C．递增且有最大值
D．递减且有最小值
5．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（
）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
6．函数的定义域为（
）；
A．
B．
C．
D．
7．当0A．（0，）
B．（，1）
C．（1，）
D．（，2）
8．函数的反函数是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2016春
上海月考）已知，若f（a）＞f（2），则a的取值范围是________．
10．已知函数，对任意都有,则、
、的大小顺序是
．
11．函数的定义域是
；值域是
．
12．函数的定义域是
．
13．（2016春
广东揭阳月考）已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3），求使f（x）＞0成立的x的集合．
14．（1）求函数的定义域；
（2）求函数的值域．
15．已知，求函数的值域．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
，对应法则不同；
；．
2．【答案】D
【解析】由得，即关于原点对称．
3．【答案】C
【解析】由题意f（x）=―f（―x），即所以，，a=1，，由得，，0＜x＜1，故选C．
4．【答案】A
【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值．
5．【答案】C
【解析】=，只需将的图象上所有点向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，即可得要求的图象．
6．【答案】D
【解析】．
故选D．
7．【答案】B
【解析】，，又当时，
，所以，即，所以综上得：的取值范围为．
8．【答案】D
【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D．
9．【答案】
【解析】∵，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
若f（a）＞f（2），则，或a＞2，
∴满足条件的a的取值范围为
故答案为：
10．【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以
11．【答案】
【解析】　；．
12．【答案】[1，2）
【解析】函数定义域要满足，即，
解得1≤x＜2，即函数的定义域为[1，2），
故答案为：[1，2）
点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
13．【答案】（1）（－1，1）；（2）f（x）是奇函数；（3）（0，1）
【解析】（1）要使函数有意义，则，
解得－1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（－1，1）；
（2）∵，
∴f（x）是奇函数．
（3）若，
∴，
解得：a=2，
∴
，
若f（x）＞0，则，
∴x+1＞1－x＞0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
14．【答案】（1）（2）
【解析】（1），即定义域为；
（2）令，则，，即值域为．
15．【答案】
【解析】，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．
PAGE【巩固练习】
1.若，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
非以上答案
2．（2016
山东模拟）若实数a＞0，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
3.计算的结果是（
）
A.32
B.16
C.
64
D.128
4.化简，结果是（
）
A.
B.
C.
D.
5.等于（
）
A.
B.
C.
D.
6.若，且，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.2
7.计算=
.
8.化简=
.
9．计算：的结果是
．
10．（2016
山东青州市期末）（1）化简：；
（2）若a＞0，b＞0，化简：．
11.计算：
（1）；
（2）.
12.计算下列各式：
（1）
（2）。
13.
计算：
14．已知，求的值.
【答案与解析】
1.
【答案】B
【解析】因为，所以，原式==，故选B。
2．【答案】D
【解析】对于A，，故A错误，
对于B，，故B错误，
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选D．
3.【答案】
A
【解析】，故选A。
4.
【答案】A
【解析】原式=
=
=
=
5.【答案】C
【解析】=
6.【答案】C
【解析】因为，所以，即。同理，又因为，所以，故。
7.【答案】.
【解析】原式=
8.【答案】.
【解析】原式=。
9．【答案】
【解析】原式．
故答案为：．
10.【答案】.
【解析】因为，所以，原式=。
10．【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）原式．
（2）原式．
11.【解析】（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
12.【解析】（1）原式．
（2）原式=
=-（）
=0
13.
【解析】原式=
=
=
=0
14．【答案】
【解析】由题意，，所以
原式函数及其表示方法
【学习目标】
(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
；
；
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．
优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
4.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
5.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一、函数的概念
例1：下列式子是否能确定是的函数？
（1）
（2）
（3）.
【答案】（1）不能
（2）能（3）不能
【解析】（1）由得，因此由它不能确定是的函数，如当时，由它所确定的值有两个，即y=.
（2）由得，当在中任取一个值时，由它可以确定唯一的值与之对应，故由它可以确定是的函数.
（3）由得，
故由它不能确定是的函数.
【总结升华】判断由一个式子是否能确定是的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的的取值的集合中任意一个的值，由式子是否可确定唯一的一个的值与之对应，也可以看由式子解出的的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性”
.即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值.
【高清课程：函数的概念与定义域
356673
例2】
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1)
的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3)
的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4)
的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
(3)是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例3.（2015秋
河南月考）求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】（1）要使函数有意义，则开偶次方根被开方数大于等于0，列出不等式组求出定义域；
（2）要使函数有意义，则开偶次方根被开方数大于等于0，分式的分母不等0，列出不等式组求出定义域；
（3）利用x0有意义需x≠0，开偶次方根被开方数大于等于0，分母不为0，列出不等式组求出定义域．
【答案】（1）[―8，3]；（2）{－1}；（3）（－∞，0）
【解析】（1）要使函数有意义，
则
，
解得：－8≤x≤3．
故函数的定义域为[―8，3]
（2）要使函数有意义，
则，
解得：x=―1．
故函数的定义域为{－1}．
（3）要使函数有意义，
则，
解得：x＜0．
故函数的定义域为（－∞，0）．
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)；
(2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
类型三、求函数的值及值域
例4.
已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)；
(2)f(g(2))，g(f(2))；
(3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例5.
求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[7，28]
[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．
【解析】
(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】
求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
类型四、映射与函数
【高清课程：函数的概念与定义域
例1】
例6.
判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1，
}，对应法则是f：
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
(3)是映射，也是函数，函数解析式为．
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．
【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．
举一反三：
【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？
(1)A=N，B={1，-1}，f：xy=(-1)x；
(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；
(3)A=R，B=R，
(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；
(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；
(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.
【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.
【变式2】（2015秋
湖南浏阳市月考）已知A={1，2，3，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，a∈N
，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．
【答案】a=2，k=5
【解析】若x∈A，y∈B，使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应，
则当x=1时，y=4；
当x=2时，y=7；
当x=3时，y=10；
当x=k时，y=3k+1；
又由a∈N
，
∴a4≠10，则a2+3a=10，a4=3k+1
解得a=2，k=5．
类型五、函数解析式的求法
例7.
求函数的解析式
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)已知，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)用代入法，．
(2)法一：换元法
令，则，所以
即：.
法二：凑配法
=，所以．
(3)
①，用代替上式中的，得
②
由①②联立，消去，得
故所求的函数为．
【总结升华】（1）由求，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出的解析式．
举一反三：
【变式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)．
【答案】f(x)=x2+2x-1
【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax2+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
；
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
类型六、函数的图象
例8.作出下列函数的图象.
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．
类型七、分段函数
例9.函数中，若，则的值为（
）．
A．1
B．1或
C．
D．
【思路点拨】分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
【答案】D
【解析】若，由，得，舍去．
若，由，得，由于，舍去，故．
若，则得，舍去．
综上知．故选D．
【总结升华】（1）解决分段函数的问题关键在于“分段归类”，即首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系（图象），离开定义域谈函数是无意义的．
（2）作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．
举一反三：
【变式】已知函数，若，则实数a的值等于（
）
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【答案】选A
【解析】∵
，∴
，
又∵
1＞0，∴
∴
作出函数的图象，如图
则
∴
例10．已知函数
（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．
【答案】（1）（2）如图（3）．
【解析】（1）由题意，去掉绝对值符号，则考虑x＞1和x＜1两种情况
∴
当x≥1时，
当x＜1时，
即
（2）
（3）由（2）图形可知，的值域为．指数函数、对数函数、幂函数综合
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．
3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．
6．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）．
【知识框图】
【要点梳理】
要点一：指数及指数幂的运算
1．根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为．
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．
2．n次方根的性质：
（1）当为奇数时，；当为偶数时，
（2）
3．分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义．
4．有理数指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）
要点二：指数函数及其性质
1．指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为．
2．指数函数函数性质：
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小．
要点三：对数与对数运算
1．对数的定义
（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
（2）负数和零没有对数．
（3）对数式与指数式的互化：．
2．几个重要的对数恒等式
，，．
3．常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
4．对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
要点四：对数函数及其性质
1．对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．
2．对数函数性质：
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小．
要点五：反函数
1．反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
2．反函数的性质
（1）原函数与反函数的图象关于直线对称．
（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
要点六：幂函数
1．幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
2．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
（3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1．化简与计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．
【答案】（1）；（2）100；（3）．
【解析】
（1）原式=
=1+=；
（2）原式=
=
=100
（3）
原式=
．
【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；
举一反三：
【变式一】化简下列各式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）-27；（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
例2．已知：，求：的值．
【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法．
【答案】2
【解析】
∴
当时，．
【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算．
解题时，要注意运用下列各式．，;
例3．计算
（1）
；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）1；（3）3；（4）14．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=1-+=1
（3）原式=
=
=2+=3；
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．
【变式1】=（
）
A．0
　B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】=．
【变式2】（1）；（2）．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）
原式
；
（2）
原式
．
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
4．（2015年山东高考）设函数，若，则b=（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，由得，
或，解得，故选D．
【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值．
举一反三：
【变式1】已知函数若，则实数等于（
）．
A．
　B．
C．
2
D．
9
【答案】．
【解析】，由，则有．，，选．
例5．（2016
湖南岳阳模拟）若函数y=f（x）的定义域是[2，4]，则的定义域是（
）
A．
B．[4，16]
C．
D．[2，4]
【思路点拨】令，使t满足y=f（x）的定义域中x的取值范围相同，求出的定义域即可．
【答案】C
【解析】∵，令，
∴，
∵函数y=f（x）的定义域是[2，4]，
∴y=f（t）的定义域也为[2，4]，即2≤t≤4，
∴有，解得：，
∵函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，
∴的定义域为，
即：．
故选C．
【总结升华】本题只要明确函数的定义域即解析式中自变量的取值范围，运用整体代换（换元法）即可迎刃而解．
【高清课堂：幂指对综合377495
例4】
例6．函数的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B
【高清课堂：幂指对函数综合
377495
例1】
例7．
函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞）
B．（－∞，3）
C．（4，+∞）
D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．
类型三：综合问题
例8．已知函数为常数）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性．
（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性
【答案】（1）；（2）f（x）为增函数；（3）a＞1．
【解析】（1）由
∵a＞0，x≥0
∴f（x）的定义域是．
（2）若a=2，则
设
，
则
故f（x）为增函数．
（3）设
①
∵f（x）是增函数，
∴f（x1）＞f（x2）
即
②
联立①、②知a＞1，
∴a∈（1，+∞）．
【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可．
举一反三：
【变式1】（2015北京高考真题）设函数
①若a=1，则f（x）的最小值为___________；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_________．
【答案】－1；
【解析】①a=1时，函数f（x）在上为增函数，函数值大于1；在为减函数，在为增函数，当时，f（x）取得最小值为－1；
②
i）若函数在x＜1时与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2－a＞0，所以0＜a＜2，
函数g（x）=4（x－a）（x－2a）有一个交点，所以2a≥1且a＜1
所以
ii）若函数h（x）＝2x－a与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x－a）（x－2a）与x轴有两个交点．
当a≤0，h（x）与x轴无交点，g（x）在x≥1时与x轴无交点，不满足题意（舍）
当h（1）=2－a≥0时，a≥2，
g（x）与x轴有两个交点为x1=a，x2=2a都满足题意
综上所述，a的取值范围是或a≥2．
故答案为：－1；
0
1
0
1
0
1
0
1
PAGE【巩固练习】
1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
1.99
3
4
5.1
6.12
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（
）
A.
B.
C.
D.
2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如下图所示，那么图象所应对的函数模型是（
）
A．分段函数
B．二次函数
C．指数函数
D．对数函数
3．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（　　）
　
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
4．（2016
四川广元模拟）某城区按以下规定收取水费：若每月和水不超过20
m3，则每立方米水费按2元收取；若超过20
m3，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水（
）
A．46
m3
B．44
m3
C．26
m3
D．25
m3
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
6．一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如右图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v=f
(h)的大致图象可能是下图中四个选项中的（
）
7．下表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高h米处落下，弹跳高度d与下落高度h的关系：
h（米）
50
80
100
150
…
d（米）
25
40
50
75
…
写出一个能表示这种关系的式子为________．
8．某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k（万元）是单位产品数Q的函数，，则总利润L（Q）的最大值是________．
9．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，则k=________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个．
10．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
(Ⅱ)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15=1.6)
11．（2016
山东模拟）已知某城市2015年底的人口总数为200元，假设此后该城市人口的年增长率
1%（不考虑其他因素）．
（1）若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；
（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？
12．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
（Ⅰ）确定x与y的一个一次函数关系式y=f（x）；
（Ⅱ）若日销售利润为P元，根据（I）中关系写出P关于x的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】把的值分别代入四个函数式，结果最最近的就是。
2．【答案】A
【解析】
由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．
3．分析：根据题意列出出厂价格和成本之间的不等关系式：5x+4000≤10x，解出即可．
【答案】D
【解析】由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
故选D．
点评：主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．
4．【答案】D
【解析】设他这个月共用了x立方米的水
20×2+(x－20)×3=2.2x
40+3x－60=2.2x
0.8x=20
x=25．
他这个月共用了25立方米的水．
故选：D．
5．【答案】3.75
【解析】由题意得解之得
∴，最佳加工时间应是p最高的时候，
当t＝3.75时，p有最大值．故填3.75.
6．【答案】B
【解析】由鱼缸的形状可知，水的体积随h的减小，一开始减少得慢，后来又减少得快，然后再减少得慢．
7．【答案】
【解析】观察表中数据即可．
8．【答案】2500万元
【解析】
总利润L=总收入k－总支出（生产成本+固定成本）．所以．故当Q=300时，总利润的最大值为2500万元．
9．【答案】2ln2
1024
【解析】
将代入，得，所以，k=2ln2，这时函数关系式为，令t=5（小时），得y=210=1024（个）．
10．【解析】(Ⅰ)第1年末的住房面积．
第2年末的住房面积(a·-b)·-b=a·()2-b(1+)=1.21a-2.1b(m2)．
(Ⅱ)第3年末的住房面积[a·()3-b(1+)]-b=a·()3-b[1++()2]．
第4年末住房面积为a·()4-b[1++()2+()3]．
第5年末住房面积为a·()5-b[1++()2+()3+()4]=1.15a-b=1.6a-6b
依题意可知，1.6a-6b=1.3a，解得b=，所以每年拆除的旧房面积为(m2)．
11．【答案】（1）；（2）5年
【解析】（1）．
（2）令y=210，即，解得．
答：要经过5年该城市人口总数达到210万．
12．分析：（Ⅰ）设出y=f（x）的表达式，利用已知条件列出方程组求解即可得到函数的解析式；
（Ⅱ）若日销售利润为P元，根据（I）中关系直接写出P关于x的函数关系，然后利用二次函数闭区间的最值即可求解最大的日销售利润．
【答案】（Ⅰ）y=162－3x，且0≤x≤54；（Ⅱ）42元
【解析】（Ⅰ）因为f（x）为一次函数，设y=ax+b，解方程组
得a=－3，b=162，
故y=162－3x为所求的函数关系式，
又∵y≥0，∴0≤x≤54．
（Ⅱ）依题意得：
．
当x=42时，，
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．
点评：本题考查函数的模型的选择与应用，二次函数闭区间上的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．巩固练习
1．下列函数中，是幂函数的个数是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．函数的定义域是（
）
A．[0，+∞）
B．（-∞，0）
C．（0，+∞）
D．R
3．函数的图象是（
）
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2015秋
广东河源期末）幂函数的图象过点（2，4），那么函数f（x）的单调递增区间是（
）
A．（－2，+∞）
B．[－1，+∞）
C．[0，+∞）
D．（－∞，－2）
6．若幂函数的图象在0）
A．<1
B．>1
C．0<<1
D．<0
7．下列结论中正确的个数有（
）
（1）幂函数的图象一定过原点；
　　
（2）
当<0时,幂函数是减函数；
（3）当>0时，幂函数是增函数；（4）函数既是二次函数，又是幂函数．
A．0
B．1
C．2
D．3
8．三个数，，的大小顺序是（
）
A．cB．cC．
bD．a9．（2015
陕西宝鸡三模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则________．
10．（2016
上海模拟）已知幂函数的图象经过点（8，4），则k－a的值为________．
11．若，则实数a的取值范围是
．
12．函数的单调递减区间为
．
13．比较下列各组中两个值大小
（1）
（2）
14．（2015秋
湖南邵东县期末）已知幂函数f（x）的图象经过点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明．
15．（2015秋
广州期中）已知，
（1）分别求出A，B的值；
（2）已知函数是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，求m的值．
答案与解析
1．【答案】B
【解析】根据幂函数的定义判断，是幂函数．
2．【答案】C
【解析】函数，所以函数的定义域是．
3．【答案】C
【解析】函数，因为，所以这个函数为偶函数，图象关于轴对称，可能是或，又，所以当时，图象应在直线的下方，故选C．
4．【答案】A
【解析】函数，所以函数是偶函数，又，所以函数在区间上单调递减，故选A．
5．【答案】C
【解析】幂函数的图象过点（2，4），
所以，即，所以幂函数为
它的单调递增区间是：[0，+∞）
故选C．
6．【答案】B
【解析】幂函数，考察指数函数的增减性知，．
7．【答案】A
【解析】幂函数，当时，图象一定过原点，当时，图象一定不过原点,故（1）不对．当时，幂函数图象在上是减函数，故（2）不对．当时，幂函数图象在上是增函数，故（3）不对．函数是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．
8．【答案】A
【解析】,易知，又函数在上单调递增，所以，故选A．
9．【答案】
【解析】设幂函数，
∵其图象过点，
∴，
∴．
∴，
∴，
故答案为：．
10．【答案】
【解析】幂函数的图象经过点（8，4），
∴k=1且，
解得；
∴．
故答案为：．
11．【答案】
【解析】由题意知解得．
12．【答案】和
【解析】将函数的单调区间向左平移一个单位即可．
13．【解析】（1）
（2）函数上增函数且
14．【答案】（1）（x≠0）；（2）见解析
【解析】（1）∵f（x）是幂函数，则设（α是常数），
∵f（x）的图象过点，
∴，
∴，
故，即（x≠0）；
（2）f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．证明如下：
设∈（0，+∞），且，
∴，
∵∈（0，+∞），
∴，，，
∴，即，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
15．【答案】（1），；（2）m=－3．
【解析】（1），
（2）∵函数是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，
故，
解得：m=－3．《函数》全章复习与巩固
【学习目标】
1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；
5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；
6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：关于函数的概念
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
4．函数的定义域
函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：
（1）已知得函数表达式，求定义域；
（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；
（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．
5．函数的值域
由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域．
函数值域的求法：
（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；
（2）形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域（注意）；
（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；
（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．
6．函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出．
要点二：函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．
要点三：函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
要点四：图象的作法与平移
（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；
（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；
（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．
要点五：一次函数和二次函数
1．一次函数
，其中．
2．二次函数
二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为，对称轴方程为．
对于二次函数．
当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值．
当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值．
要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）
（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
要点七：函数与方程
（1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点．
（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根．
（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．
（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．
（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系．
①，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；
②，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；
③，方程无根，其对应二次函数无零点．
【典型例题】
类型一：映射
例1．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0．
③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】
已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
D
【解析】
由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型二：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492
例2】
例2．设定义在R上的函数y=
f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y=
f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】奇函数有和,又是增函数的只有选项D正确．
【变式2】
定义在R上的偶函数f
(x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例3．设偶函数满足，则（
）
A．{x|x＜－2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜－2或x＞2}
【答案】
B
【解析】
当x＜0时，－x＞0，
∴，
又是偶函数，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故选B．
例4．设函数的定义域为，若所有点
构成一个正方形区域，则的值为（
）
A．－2
B．－4
C．－8
D．不能确定
【答案】
B
【解析】
依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（
）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．[0，1）∪（1，4]
D．（0，1）
【答案】
B
【解析】
要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例5．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】
函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
举一反三：
【变式1】（2016
上海青浦区二模）对于函数，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为________．
【答案】－4
【解析】若a＞0，由于，即x(ax+b)≥0，
∴对于正数b，f（x）的定义域为：，
但f（x）的值域，故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为．
由于此时，
故函数的值域．
由题意，有，
由于b＞0，所以a=－4．
故答案为：－4．
例6．（2016秋
河南金水区期中）已知函数．
（1）当a=0时，画出函数f（x）的简图，并指出f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）有4个零点，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）当a=0时，函数f（x）=｜x(x－2)｜的图象如图所示，由函数的图象可得f（x）的增区间和减区间．
（2）由题意可得函数f（x）的图象有4个零点，即函数的图象和直线y=a有4个交点，结合（1）中函数的图象可得a的范围．
【答案】（1）增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）；（2）0＜a＜1
【解析】（1）当a=0时，函数的图象如图所示：
由函数的图象可得f（x）的增区间为[0，1]、[2，+∞）；
减区间为（－∞，0）、（1，2）．
（2）若函数f（x）有4个零点，则函数f（x）的图象有4个零点，
即函数的图象和直线y=a有4个交点，
结合（1）中函数的图象可得0＜a＜1．
【总结升华】本题主要考查作函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想．
举一反三：
【变式1】直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】如图，作出y=x2－|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得．
类型三：函数的零点问题
例7．若函数在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程在（－2，2）上仅有一个实根0，则的值（
）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．无法确定
【答案】D
【解析】根据连续函数零点的性质，若，则在（－1，1）内必有零点，即方程在（－1，1）内有根；反之，若方程在（－2，2）内有实根，不一定有，也有可能．
【总结升华】若，则在（－1，1）内必有零点，但当在（－1，1）内有零点时，却不一定总有．
举一反三：
【变式1】二次函数中，若ac＜0，则函数的零点个数是
个．
【思路点拨】有a?c＜0，可得对应方程的判别式，可得对应方程有两个不等实根，可得结论．
【答案】2
【解析】∵
ac＜0，∴
，
∴对应方程有两个不等实根，故所求二次函数与x轴有两个交点．
故答案为：2
【总结升华】本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．
根据偶函数的性质先求出a，b，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．
【变式2】若函数有一个零点是2，那么函数的零点是
．
【答案】
类型四：函数性质的综合应用
例8.
已知函数（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有恒成立，即可得的取值范围．
【解析】
（1）当a=0时，，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴为偶函数．
当a≠0时，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x1＜x2，
，要使函数在x∈[2，+∞）上为增函数，必须恒成立．
∵x1－x2＜0，x1
x2＞4，即a＜x1
x2
(x1+
x2)恒成立．
又∵x1+
x2＞4，∴x1x2(x1+
x2)＞16．
∴a的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，+∞）上为增函数，
∴在[2，+∞）上为增函数．
当a＞0时，同解法一．
【总结升华】
函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492
例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则
=
所以函数在上单调递增．
类型五：函数的实际应用
例9．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
（Ⅰ）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．试求和．
（Ⅱ）问：小张选择哪家比较合算？为什么？
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)甲家每张球台每小时5元；(2)乙家按月计费，有标准；(3)比较哪家更合算问题．解决本题可先分别求出两家的解析式，从中找出x在不同的取值范围内，选择哪家的问题，建立函数模型，进而解决问题．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析
【解析】由题意，（Ⅰ）,
（Ⅱ）由得或
即或
(舍)．
当时，,
,即选甲家．
当时，,即选甲家和乙家都可以．
当时，,
,即选乙家．
当时，,
,即选乙家．
综上所述:当时，选甲家;当时，选甲家和乙家都可以；
当时，选乙家．
【总结升华】本题考查生活中的实际问题，需要建立数学模型，转化为数学问题．关键是分段进行讨论．
举一反三：
【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．
【答案】4
【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，
则
，
当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c．
所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．
【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值．《集合》全章复习巩固
【学习目标】
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：集合的基本概念
1．集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。
2．元素与集合的关系
（1）属于：
如果是集合A的元素，就说属于A，记作∈A。要注意“∈”的方向，不能把∈A颠倒过来写.
（2）不属于：如果不是集合A的元素，就说不属于集合A，记作。
3．集合中元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素；
（2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。
（3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。
4．集合的分类
集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
要点诠释：
把不含有任何元素的集合叫做空集，记作，空集归入有限集。
要点二：集合间的关系
1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB，对于任何集合A规定。
(2)
如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做.
两个集合A与B之间的关系如下：
其中记号（或）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。
2．子集具有以下性质：
（1）AA，即任何一个集合都是它本身的子集。
（2）如果，，那么A=B。
（3）如果，，那么。
（4）如果，，那么。
3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么（或）。
不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么（或）。
4．有限集合的子集个数：
（1）n个元素的集合有2n个子集。
（2）n个元素的集合有2n－1个真子集。
（3）n个元素的集合有2n－1个非空子集。
（4）n个元素的集合有2n－2个非空真子集。
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
要点三：集合的基本运算
1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。
2．用维恩图表示交集与并集。
已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。
3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下：
（1）A∩A=A，A∩=，A∩B=(B∩A)A（或B）；
A∪A=A，A∪=A，A∪B=(B∪A)A（或B）。
（2）；。
（3）德摩根定律：；。；
（4）；。
4．全集与补集
（1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作。数学表达式：若，则U中子集A的补集为。
（2）补集与全集的性质
①
②，。
③，。
5．空集的性质
空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
【典型例题】
类型一：集合的含义与表示
例1．选择恰当的方法表示下列集合。
（1）“mathematics”中字母构成的集合；
（2）不等式的解集；
（3）函数的自变量的取值范围。
【思路点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。
【解析】（1）；
（2）或
（3）或
【总结升华】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。
举一反三：
【变式1】将集合表示成列举法，正确的是（
）
A.{2，3}
　
B.{（2，3）}
　
C.{x=2，y=3}
　
D.（2，3）
【答案】B
【变式2】已知集合?∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为
（
）
Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3
【答案】Ｃ
例2．若含有三个元素的集合可表示为，也可以表示为，求的值。
【思路点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。
【答案】
【解析】
由，可得且，
则有或解得或（舍去）
故
【总结升华】利用集合中元素特性来解题，既要用元素的确定性，又要利用互异性检验解的正确与否，初学者在解题时容易忽视元素的互异性。必须在学习中高度重视。另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。
举一反三：
【变式1】（2015秋
安徽省无为县期末）已知集合A={a―2，12，2a2+5a}，且―3∈A，求a的值．
【答案】
【解析】∵－3∈A，
∴a―2=―3，或2a2+5a=―3，
得：a=―1，或，
检验知：a=―1不满足集合元素的互异性，
∴．
例3．已知集合
（1）若A是空集，求的取值范围。
（2）若A中只有一个元素，求的值。
（3）若A中至多只有一个元素，求的取值范围。
【答案】（1）
（2）0，
（3）或者m=0
【解析】
（1）当时，，A不为空集，则不满足题意。
当m≠0时，若A为空集，则一元二次方程实数范围内无解，
即,。
综上若A为空集，则。
（2）由集合中只含有一个元素可得，方程有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当时，可得是一次方程，故满足题意.
当m≠0时，则为一元二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的实根，即判别式为0时的值，可求得为.故的取值为0，.
（3）∵A中元素至多只有一个
，∴有以下两种情况存在：
集合A是空集；集合A是只有一个元素．
综合(1)(2)知,若A中元素至多只有一个,
或者m=0.
【总结升华】
集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集，所以本题实际上是讨论方程mx2-2x+3=0解的个数问题。
类型二：集合的基本关系
例4．设集合A={x｜1≤x≤3}，B={x｜x－a≥0}，若AB，则a的取值范围是________。
【思路点拨】
此题考查判断两个集合的包含关系。由于题中所给集合为含不等式的描述法形式，可以借助数轴进行直观的分析。
【解析】AB={x｜x≥a}，利用数轴作图如下：
由此可知：a≤1。
【总结升华】
要确定一个集合的方法之一是：明确集合中元素的范围及其满足的性质，借助Venn图来分析，直观性强。集合是由元素构成的，要确定一个集合的方法之二是：把集合中的元素一一找出来，用列举法表示。要确定一个集合的方法之三是：明确集合中元素的范围及其满足的性质。用特征性质描述法表示的集合，可借助数轴来分析，直观性强。
举一反三：
【变式1】
已知集合A={x｜x≥1或x＜－1}，B={x｜2a＜x＜a+1}，若BA，求a的取值范围。
【解析】
（1）当B是空集，需要2a≥a+1，得到a≥1
（2）当B不是空集且B的上限小于等于-1，即a＜1且a+1≤-1，得到a≤-2
（3）当B不是空集且B的下限大于等于1，即a＜1且2a≥1，得到1/2≤a＜1
综上，a≤-2或a≥1/2
【变式2】若集合B={1，2，3，4，5}，C={小于10的正奇数}，且集合A满足AB，AC，则集合A的个数是________。
【思路点拨】
由题设，C={1，3，5，7，9}。因为AB，AC，可用Venn图发现集合B与C的公共元素为1，3，5，则集合A可能含有1，3，5三个数中的0个，1个，2个，或3个。故集合A的个数即为{1，3，5}的子集的个数。
【解析】由已知作Venn图
{1，3，5}的子集中含0个元素的有1个：；
{1，3，5}的子集中含1个元素的有3个：{1}，{3}，{5}；
{1，3，5}的子集中含2个元素的有3个：{1，3}，{1，5}，{3，5}；
{1，3，5}的子集中含3个元素的有1个：{1，3，5}。
由上述分析知集合A的个数为{1，3，5}的子集的个数：1+3+3+1=8个。
例5．设集合,若，求实数的范围。
【答案】或
【解析】
，或
当时，即，则是方程的两根，代入解得
当时，分两种情况：
（1）若，则，解得。
（2）若，则方程有两个相等的实数根。
，解得，此时，满足条件。
综上可知，所求实数的范围为或。
【总结升华】要解决此题，应明确的具体含义：一是，二是。而时还应考虑能否是的情况，因此解题过程中必须分类讨论，另外还要熟练掌握一元二次方程根的讨论问题。
举一反三：
【变式】已知集合．
（1）若，求
；（2）若，求实数的取值所组成的集合．
【答案】详见解析
【解析】（1）由题意，
当时，
　　　　　　
（2）由题意，
∴
当时，
当时，
类型三：集合的基本运算
例6．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（
）
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷多个
【答案】B
【解析】
∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【变式1】已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛x关系的韦恩图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【高清课堂：集合与函数性质综合377492例4】
【变式2】设全集为，，，
求及．
【答案】=；=.
例7．若集合A={x｜x2―ax+a2―19=0}，B={2，3}，C={2，―4}，满足A∩B，且A∩C=，则实数a的值是________。
【思路点拨】
由题设，A∩B且A∩C=知，2，3与集合A的关系，再进行解答。
【解析】
由已知：3∈A，2A，则32―3a+a2―19=0，即a=5或a=―2。
当a=5时，A={2，3}，与题意矛盾；
当a=―2时，A={―5，3}，符合题意。
由上述分析知a=―2。
【总结升华】
集合是由元素构成的，要确定一个集合首先明确集合中元素的范围及其满足的性质，再把集合中的元素一一找出来。
例8．（2016春
江西省抚州期末）已知集合A={x｜x2―2x―8≤0}，B={x｜x2―(2m―3)x+m(m―3)≤0，m∈R}．
（1）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（2）设全集为R，若，求实数m的取值范围．
【思路点拨】（1）根据所给的两个集合的不等式，写出两个集合对应的最简形式，根据两个集合的交集，看出两个集合的端点之间的关系，求出结果．
（2）设全集为R，若，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】（1）由已知得A={x｜x2―2x―8≤0，x∈R}=[―2，4]，
B={x｜x2―(2m―3)x+m2―3m≤0，x∈R，m∈R}=[m－3，m]．
∵A∩B=[2，4]，∴，∴m=5．
（2）∵B=[m－3，m]，∴．
∵，
∴m－3＞4或m＜－2．
∴m＞7或m＜－2．
∴m∈（－∞，－2）∪（7，+∞）
【总结升华】本题考查集合之间的关系与参数的取值，本题解题的关键是利用集合之间的关系，得到不等式之间的关系．
举一反三：
【变式1】
已知集合A={x｜－2≤x≤5}，B={x｜k+1≤x≤2k－1}，若A∩B=，求实数k的取值范围。
【解析】
A∩B=，
当时，2k－1当时，k+1>5或2k－1<－2
，即k>4。
综上知。
例9．已知集合．
（Ⅰ）求；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵
∴
如图，；
或
∴
或
（Ⅱ）画数轴同理可得：．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】
已知集合A={x｜－2≤x＜7}，，若A∪B=R，求实数k的取值范围。
【解析】在数轴上画出集合A
要使A∪B=R，即且
解得。【巩固练习】
1．全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．若集合，，且，则的值为（
）
A．
B．
C．或
D．或或
3．若集合，则有（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2016
吉林模拟）已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（
）
A．{2，4}
B．{―2，4}
C．{―2，2，4}
D．{－4，2，4}
5．表示图形中的阴影部分(
)
A．
B．
C．
D．
6.
已知全集U=A∪B中有m个元素，中有n个元素。若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（
）
A．mn
B．m+n
C．n―m
D．m―n
7．已知集合若∩B的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．设S是整数集Z的非空子集，如果，有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，，且，有有，则下列结论恒成立的是
A．中至少有一个关于乘法是封闭的
B．中至多有一个关于乘法是封闭的
C．中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．中每一个关于乘法都是封闭的
9．设,则。
10．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为
。
11．若且，则
。
12．（2016春
江苏启东市期中）如果集合A={x｜mx2－4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的值为________．
13．已知集合，，．
（Ⅰ）求A∪B；；
（Ⅱ）若，求a的取值范围．
14．设，其中，同时满足①；②。求的值。
15．（2016春
山东德州期末）已知集合A={x｜1≤x＜5}，B={x｜x2－2x－15≤0}，C={x｜－a＜x≤a+3}．
（1）求A∩B；
（2）若C∩A=C，求a的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】∵
集合，
全集，
∴
．
∴
．
故选B．
2.
【答案】
D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴；
3.
【答案】
A
【解析】，；
4．【答案】C．
【解析】∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，
∴a2=4，解得：a=2或a=－2，
当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；
当a=－2时，A={－2，4}，B={2，4}，
则A∪B={－2，2，4}．
故选C．
5.
【答案】A
6．【答案】D
【解析】
∵中有n个元素，如下图所示阴影部分，又∵U=A∪B中有m个元素，故A∩B中有（m－n）个元素。
7．【答案】A
【解析】利用数轴去解
8．【答案】A
【解析】若按照整数集的范围考虑，则不妨令T＝N，V为负整数集，满足题意，但x，y∈V时，，排除D；若从整数特征考虑，令T为偶数集，V为奇数集，均关于数的乘法是封闭的，排除B、C，故选A。
9.
【答案】
【解析】
10.
【答案】
45
【解析】
画出Venn图如下图所示。
11.
【答案】
【解析】由，则，且。
12．【答案】0或2
【解析】当m=0时，显然满足集合{x｜mx2－4x+2=0}中只有一个元素，则实数m的值为________．
当m≠0时，由集合{x｜mx2－4x+2=0}有且只有一个元素，可得判别式Δ=16－8m=0，解得m=2，
∴实数m的值为0或2．
故答案为：0或2．
13．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵
，，
∴
A∪B
或
或
（Ⅱ）若，由数轴知
14．【解析】，所以两个方程至少有一个共同解且—2是前者方程的解，
设两方程的共同解为，则，解得。当时，又—2是前者方程的解，由根与系数的关系得。同理得。
15．【答案】（1）A∩B={x｜1≤x＜5}；（2）a≤－1
【解析】（1）B={x｜x2－2x－15≤0}={x｜－3≤x≤5}，
∵A={x｜1≤x＜5}，
∴A∩B={x｜1≤x＜5}，
（2）∵C∩A=C，
∴，
当，满足，此时－a≥a+3，解得；
当，要使，则，解得，
综上所述，a≤－1．
A
B
C【巩固练习】
1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．无法判断
D．等于零
2.(2015
揭阳校级模拟)对于函数若且则函数在区间内(
)
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个两点
D.至多有一个零点
3．方程x3＋3x－3＝0的解在区间(　　)
A．(0,1)内
B．(1,2)内
C．(2,3)内
D．以上均不对
4．已知f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(　　)
x
－1
0
1
2
3
f(x)
－0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
－0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
5.
若方程有两个实数解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．零点的个数为
（
）
A．
B．
C．
D．
7．若方程在区间上有一根，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2
008年的湖水量为m，从2008起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为(　　)
A．y＝0.9
B．y＝(1－0.1)m
C．y＝0.9·m
D．y＝(1－0.150x)
m
9．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
10．若一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的两根x1、x2满足m”、“＝”或“<”)
11.(2015
江苏高考)已知函数，则方程实根的个数为
.
12．我国股市中对股票的股份实行涨、跌停制度，即每天的股价最大的涨幅或跌幅均为10%.某股票连续四个交易中日前两日每天涨停，后两日每天跌停，则该股票现在的股价相对于四天前的涨跌情况是________．
13．用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度0.1)．
14．若方程x2－ax＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内，求a的取值范围．
15．已知函数f(x)＝＋－2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．
16.(2015
嘉兴二模)已知函数
(1)若a=2，且存在互不相同的实数满足求实数m的取值范围;
(2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案与解析】
1.【答案】　C
【解析】由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
2.【答案】C
【解析】由二次函数的图象可知在区间内的两点个数为0或2，故选C.
3.
【答案】　A
【解析】将函数y1＝x3和y2＝3－3x的图象在同一坐标系中画出，可知方程的解在(0,1)内．
4.
【答案】B
【解析】令φ(x)＝f(x)－g(x)，φ(0)＝f(0)－g(0)<0.
φ(1)＝f(1)－g(1)>0
且f(x)，g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，
所以φ(x)的图象．
在[－1,3]上也连续不断，因此选B.
5．【答案】A
【解析】作出图象，发现当时，函数与函数有个交点
6．【答案】A
【解析】令，得，就一个实数根
7．【答案】C
【解析】容易验证区间
8.
【答案】C
【解析】设湖水量每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以q%＝0.9，即x年后湖水量为y＝0.9·m.
9.
【答案】－和－
【解析】2和3是方程x2－ax－b＝0的两根，
所以a＝5，b＝－6，
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令g(x)＝0得x1＝－，x2＝－.
10.
【答案】　<
【解析】∵a>0，∴f(x)的图象开口向上，
∴f(m)>0，f(n)<0，f(p)>0，∴f(m)·f(n)·f(p)<0.
11.【答案】4
【解析】由可得
与的图象如图所示，图象有两个交点
与的图象如图所示，图象有两个交点；
所以的实根个数为4.
12.
【答案】跌了1.99%
【解析】(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.980
1，
而0.980
1－1＝－0.019
9，即跌了1.99%.
13.
解　f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31.
所以f(x)在区间(1,2)内存在零点x0.
区间
中点m
f(m)的符号
区间长度
(1,2)
1.5
＋
1
(1,1.5)
1.25
＋
0.5
(1,1.25)
1.125
－
0.25
(1.125,1.25)
1.187
5
＋
0.125
(1.125,1.187
5)
0.062
5
∵|1.875－1.125|＝0.062
5<0.1，
∴x0可取为1.125(不唯一)．
14.
【解析】令f(x)＝x2－ax＋2，则方程x2－ax＋2＝0有且仅有一个根在区间(0,3)内?或f(0)·f(3)<0?a＝2或a>.
15.
【解析】
由f(x)=0，得，令，，
分别画出它们的图象如图，其中抛物线顶点为(0,2)，
与x轴交于点(-2,0)、(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数y=f(x)有3个零点．
由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)上分别是连续不断的曲线，
且f(-3)=>0，f(-2)=<0，
f=>0，f(1)=
<0，f(2)=>0，
即f(－3)·f(－2)<0，·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，
∴三个零点分别在区间(－3，－2)、、(1,2)内．
16.【解析】(1)若a=-2则
当时
当时，
，此时的图象如图所示.
要使得有四个不相等的实数根满足
即函数y=m
与的图象有4个不同的交点
的取值范围是.
(2)①若a=0,则在上单调递增，满足条件；
②若a>0则只需考虑的情况
此时的图象的对称轴为，因此只需即
(3)若a<0时，则
结合函数图象有以下情况：
当即时，此时在内单调递增
因此在内也单调递增，满足条件；
当即时，在和内均单调递增
只需或解得
即有a的取值范围是
由①②③得，实数a的取值范围为函数与方程
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
【要点梳理】
要点一：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：
①当x1＜x2＜k时，有；
②当k＜x1＜x2时，有；
③当x1＜k＜x2时，；
④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；
⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．
要点诠释：
讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．
①；
②；
③；
④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．
要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1．已知函数．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；
（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．
【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．
（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．
（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．
【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；
（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；
（3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．
举一反三：
【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（
）
A．m＜a＜b＜n
B．a＜m＜n＜b
C．m＜a＜n＜b
D．a＜m＜b＜n
【答案】B
【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B．
例2.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，那么函数的零点是
．
【思路点拨】由题意可知，2a+b=0，即b=－2a；代入并令g（x）=0解得x=0或．
【答案】0，
【解析】∵一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，
∴2a+b=0，即b=－2a；
∴令，
解得，x=0或；
故答案为：0，．
【总结升华】本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系．
举一反三：
【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）-3，1；（2）-3，1，2．
【解析】(1)由求根公式解得
(2)方程可化为
由知
所以函数的零点为-3，1；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
类型二、函数零点的存在性定理
例3．已知函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
【答案】没有实数根
【解析】先求出及的值，进而确定和的符号，当它们其中一个值小于零另一个值大于零时，便可确定在上有实数根．
，
且函数的图象是连续曲线，
在区间内有实数根
【总结升华】利用函数零点的存在性定理可以判断方程在某区间内是否有实数根，是利用计算机求方程近似根的重要依据，因此必须熟练掌握这个定理．需要注意的是，方程在区间内有实数根，不一定有．
举一反三：
【变式1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
（1）
（2）；
（3）．
【答案】（1）存在；（2）存在；（3）存在．
【解析】（1）
故在上存在零点．
（2）
故在区间上存在零点．
（3），
，
故在区间上存在零点．
【高清课程：函数与方程377543
例3】
【变式2】若函数，则下列判断正确的是（
）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
类型三、一元二次方程根的分布
例4．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）和（1，2）内，求的取值范围．
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，
，∴．
∴．
（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有．
∴．
∴．
【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．
举一反三：
【变式1】关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型四、用二分法求函数的零点的近似值
例5.（2016
河南许昌月考）已知函数．
（1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）．
【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断．
（2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案．
【答案】（1）略；（2）1.3
【解析】（1）证明：∵，
∴f（1）=－1＜0，f（2）=7＞0，
∴f（1）·f（2）=－7＜0
且在（1，2）内连续，
所以f（x）在区间（1，2）上存在零点；
（2）由（1）知在（1，2）内存在零点，
由表知，f（1）=―1，f（1.5）=1，
∴f（1）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上，
∵f（1.25）=―0.40625，∴f（1.25）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上，
∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上；
∵f（1.3125）=－0.31818，∴f（1.3125）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上，
∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）·f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上，
由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3，
所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3．
【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题．
举一反三：
【高清课程：函数与方程377543
例4】
【变式1】若函数的一个正数零点附近的函数值
用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=－0.984
f（1.375）=－0.260
f（1.4375）=0.
162
f（1.40625）=－0.
054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（
）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
【答案】C
【变式2】设，用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（
）
A．（1，1.25）
B．（1.25，1.5）
C．（1.5，2）
D．不能确定
【思路点拨】由已知“方程在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．
【答案】B
【解析】∵f（1.5）?f（1.25）＜0，
由零点存在定理，得，
∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．
故选B．
【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．
类型五、用二分法解决实际问题
例6.某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】（1）3200；（2）11%
【解析】（1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f
(x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f
(x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f
(0.1)·f
(0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f
(0.125)≈－269．因为f
(0.125)·f
(0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f
(0.1125)≈－98．因为f
(0.1)·f
(0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．
举一反三：
【变式1】如右图所示，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x
cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1
cm）
【答案】（1）y=x(15－2x)2
0＜x＜7.5
（2）0.8
cm或4.7
cm
【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为，即0＜x＜7.5．
（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．
设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8
cm或4.7
cm．【巩固练习】
1.(2015
怀化模拟)函数的零点所在的大致区间是(
)
A
.
B.
C.
D.
2．二次函数y＝x2＋px＋q的零点为1和m，且－1A．p>0且q<0
B．p>0且q>0
C．p<0且q>0
D．p<0且q<0
3．已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（
）
A．函数在或内有零点
B．函数在内无零点
C．函数在内有零点
D．函数在内不一定有零点
4．下列图中图象对应的函数可用二分法确定出零点的是(　　)
5．若y＝ax2＋bx＋c(a<0)中，两个零点x1<0，x2>0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．b>0，c>0
B．b>0，c<0
C．b<0，c>0
D．b<0，c<0
6．函数f(x)＝2x＋2x－6的零点个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
7．如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（
）
A．亩
B．亩
C．亩
D．亩
9．函数y＝x3－x的零点是________．
10.(2015
安徽高考)在平面直角坐标系xoy中，若直线y=2a与直线只有一个交点，则a的值为
.
11．函数y＝x2与函数y＝xlnx在(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
12．用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是
。
13．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
14.(2015
郝山区校级一模)已知二次函数有两个零点0和-2，且的最小值为-1，函数与的图象关于原点对称
(1)求和的解析式
(2)若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】而
函数的零点所在区间是.故选B.
2．【答案】　D
【解析】由已知得f(0)<0，－>0，解得q<0，p<0.
3.
C
【解析】唯一的零点必须在区间，而不在
4．【答案】　B
5．【答案】　A
【解析】由已知可得f(0)>0，即c>0，－>0，b>0.
6．【答案】　B
【解析】∵f(1)<0，f(2)>0，且f(x)单调递增，
∴f(x)只有唯一零点在区间(1,2)内．
7.
【答案】
D
【解析】或
8．【答案】
C
【解析】
9．【答案】　1,0，－1
1.【答案】B
【解析】而
函数的零点所在区间是.故选B.
10.【答案】
【解析】由已知直线y=2a是平行与x轴的直线，函数的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=-1解得
11．【答案】　y＝x2
12．
【答案】
【解析】令
13．【解析】　(1)∵y与x－0.4成反比例，
∴设y＝
(k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，∴k＝0.2.
∴y＝.
即y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)根据题意，得·(x－0.3)
＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
因x的取值范围是0.55～0.75之间，故x＝0.5不符合题意，应舍去．
所以，取x＝0.6.
答：当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
14.【解析】(1)二次函数有两个零点0和-2
设，图象的对称轴为x=-1
即a-2a=-1所以a=1
函数的图象与的图象关于原点对称
(2)由(1)得
①当时，h(x)=4x满足在区间上是增函数；
②当时，h(x)图象对称轴是
则又解得
③当时，同理需又解得
综上满足条件的的取值范围是.函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1.
判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)f(x)=x2-4|x|+3
；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；
(4)；
(5)；
(6)
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数
；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x
∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）
，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0
f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0)
∴x∈R时，f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是
（
）.
A．+|g(x)|是偶函数
B．-|g(x)|是奇函数
C．||
+g(x)是偶函数
D．||-
g(x)是奇函数
【答案】A
例2.已知函数，若对于任意实数都有，判断的奇偶性.
【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数，都有，可以令为某些特殊值，得出.
设则，.
又设，则，
，是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行.
举一反三：
【变式1】（2016春
长春期中）定义在（－∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），总有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞1．
（1）求f（1），f（－1）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．
【答案】（1）f（1）=1，f（－1）=1；（2）f（x）为偶函数；（3）f（x）在（0，+∞）上是增函数
【解析】（1）令m=n+1，则有f（1）=f（1）f（1），
又f（x）＞0，则f（1）=1
令m=n=－1，则有f（1）=f（－1）f（－1），
又f（1）=1，f（x）＞0，则f（－1）=1；
（2）证明：定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），
令m=x，n=－1，则有f（－x）=f（x）f（－1）=f（x），
所以f（x）为偶函数；
（3）证明：，且
令，，则，
所以，
又f（x）＞0，，由，则，
而当x＞1时，f（x）＞1，
所以，即，
又f（x）＞0，所以，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例3.
f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为
．
【答案】
-1
【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系．
+=
，
．
当时，，
而，，
在上的最小值为-1．
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：时，的最大值为5，时的最大值为3，时的最小值为-3，时，的最小值为-3+2=-1．
举一反三：
【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50
∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2)
∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8=
x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.
例4．已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，；
（1）求f(x)的解析式；（2）作出函数f(x)的图象（不用列表），并指出它的增区间。
【答案】（1）
；（2）（－∞，－），（，+∞）
【解析】（1）设x＜0，则–x＞0
∴
又∵函数f(x)为奇函数
∴f(－x)=
－f(x)
∴
当x=0时，由f(0)=–
f(0)，∴f(0)=0
∴
（2）由函数图象，
易得函数的增区间为：（－∞，－），（，+∞）
【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性
356732
例3】
【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例5.
定义域在区间[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围．
【思路点拨】根据定义域知1－m，m∈[―1，2]，但是1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数的性质：，可避免讨论．
【答案】．
【解析】
由于为偶函数，所以，．因为x≥0时，是单调递减的，故，所以，解得．
故m的取值范围是．
【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例6.
已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】
∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．
设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
举一反三
【变式1】设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（
）
A．
（﹣1，0）∪（1，+∞）
B．
（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C．
（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣1，0）∪（0，1）
【答案】D
【解析】由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当x＞0时，f（x）＜0=f（1）；
当x＜0时，f（x）＞0=f（﹣1），
所以0＜x＜1或﹣1＜x＜0．
故选D．
【总结升华】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
例7.（2016
上海模拟）设函数（x∈R，a为实数）．
（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）设a＞2，求函数f（x）的最小值．
【思路点拨】（1）根据偶函数的定义可得f（－x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）可根据绝对值的定义可将函数（x∈R，a为实数）转化为
然后根据a＞2再结合一元二次函数的单调性可求出f（x）在各段的最小值，然后比较两个最小值的大小则较小的最小值即为所求．
【答案】（1）a=0
；（2）略
【解析】（1）由已知f（－x）=f（x），即｜2x－a｜=｜2x+a｜，解得a=0
（2）
当时，
由a＞2，，得x＞1，从而x＞－1
故f（x）在时单调递增，f（x）的最小值为
当时，
故当时，f（x）单高递增，当x＜1时，f（x）单调递减
则f（x）的最小值为f（1）=a－1
由，知f（x）的最小值为a－1．
【总结升华】本题主要考查了偶函数的概念和利用一元二次函数的单调性求最小值．解题的关键是第一问要知道f（x）为偶函数则必有f（－x）=f（x）而第二问首先要根据绝对值的意义将所给函数化为熟知的分段函数然后结合a的取值范围和每一段的一元二次函数的单调性求出每一段的最小值最后只需比较两最小值的大小取较小的即可．
举一反三：
【变式1】
判断的奇偶性．
【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数．
【解析】对进行分类讨论．
若，则．
，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数．
当时，，是奇函数．
综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
例8.
对于函数，若存在x0∈R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点．
（1）已知函数有不动点（1，1），（―3，―3），求a，b的值；
（2）若对于任意的实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数．
【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
【解析】
（1）由已知得x=1和x=―3是方程ax2+bx―b=x的根，
由违达定理a=1，b=3．
（2）由已知得：ax2+bx―b=x（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴Δ1=(b－1)2+4ab＞0对于任意的实数b恒成立．
即b2+(4a－2)b+1＞0对于任意的实数b恒成立．
也就是函数的图象与横轴无交点．
又二次函数的图象是开口向上的抛物线，
从而Δ2=(4a―2)2―4＜0，即|4a―2|＜2，∴0＜a＜1．
∴满足题意的实数a的取值范围为（0，1）．
（3）∵是R上的奇函数，∴.
令x=0，得，∴．∴（0，0）是的一个不动点．
设（x0，x0）（x0≠0）是的一个不动点，则．
又，∴（―x0，―x0）也是的一个不动点．
又∵x0≠－x0，∴的非零不动点是成对出现的．
又（0，0）也是的一个不动点，∴若存在n个不动点，则n必为奇数．
【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x的方程的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
1
－1
O
y
x
4【巩固练习】
1．定义在R上的函数对任意两个不等实数总有成立，则必有（
）．
A．函数是先增后减
B．
函数是先减后增
C．函数在R上是增函数
D．
函数在R上是减函数
2．方程的解的个数是
（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．当时，函数的值域为（
）．
A．
B．
C．
D．
4．函数的定义域为（
）
A．
B．
Ｃ．
　　　Ｄ．
5．设集合，则从A到B的对应法则是映射的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2016
张家口模拟）已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（
）
A．
B．2
C．4
D．6
7．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
8．设函数
若，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
9．若函数的零点是2和，则
，
．
10．若为奇函数,则实数
．
11．设
，则
f{f[f（﹣1）]}=
．
12．（2016春
江苏盐城期中）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为________．
13．（2016
河南禹州市一模）已知函数f（x）=｜x－3｜，g（x）=－｜x+4｜+2m．
（1）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+1－a＞0（a∈R）的解集；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．
14．已知函数．
①
当时，求函数的最大值和最小值；
②
求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
15．“依法纳税是每个公民应尽的义务”．2008年3月1日开始实施新的个人所得税方案，国家征收个人所得税是分段计算，总收入不超过2000元，免征个人工资薪金所得税；超过2000元部分征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入－2000元，税率见下表：
级数
全月应纳税所得额x
税率
1
不超过500元部分
5％
2
超过500元至2000元部分
10％
3
超过2000元至5000元部分
15％
…
…
…
9
超过100000元部分
45％
(1)若应纳税额为，试用分段函数表示1～3级纳税额的计算公式；
(2)某人2008年10月份工资总收入3200元，试计算这个人10月份应纳税多少元?
(3)某人2009年1月份应缴纳此项税款26．78元，则他当月工资总收入介于(
)．
A．2000～2100元
B．2100～2400元
C．2400～2700元
D．2700～3000元
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】因为，所以有
或，即或，由增函数的定义知，选C．
2．【答案】B
【解析】设，，则如图画出函数的图像
则答案选B
3．【答案】C
【解析】
，因为，所以．
4．【答案】D
【解析】要使式子有意义，则解之得或，故选D．
5．【答案】D
【解析】
由映射的定义知D正确．
6．【答案】B
【解析】因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，
而函数f（x）的图象把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
又函数f（x）的定义域为（3―2a，a+1），所以（3―2a）+（a+1）=2，解得：a=2．
故选B．
7．【答案】D
【解析】因为偶函数，所以．又因为在上是增函数，所以在上是减函数，所以，故选D．
8．【答案】B
【解析】若，解得或，即；若，解得，故选B．
9．【答案】2
【解析】由题意知：，所以．
10．【答案】-2
【解析】
，．
11．分析：从内到外，依次求f（﹣1），f[f（﹣1）]，f{f[f（﹣1）]}即可．要注意定义域，选择解析式，计算可得答案．
【答案】π+1
【解析】∵﹣1＜0
∴f（﹣1）=0
∴
；
．
故答案为：π+1．
点评：本题主要考查分段函数求解函数值问题，在这里特别要注意定义域，是选择解析式求解的关键．
12．【答案】（－3，0）∪（0，3）
【解析】∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（－∞，0）上也是增函数，
由f（―3）=0，得―f（3）=0，即f（3）=0，由f（―0）=―f（0），得f（0）=0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得或或－3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（－3，0）∪（0，3），
故答案为：（－3，0）∪（0，3）．
13．【解析】（1）当a＞0时，由f（x）+1－a＞0得｜x－3｜+1－a＞0，
即｜x－3｜＞a－1，
若a－1＜0，即0＜a＜1时，不等式的解集是R，
若a－1≥0，即a≥1时，由｜x－3｜＞a－1得x－3＞a－1或x－3＜－（a－1），
即x＞a+2或x＜4－a．
所以，当0＜a＜1时，不等式的解集为R；
当a≥1时，不等式的解集为（－∞，4－a）∪（a+2，+∞）．
（2）∵f（x）=｜x－3｜，g（x）=－｜x+4｜+2m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）≥g（x）恒成立，
即｜x－3｜≥｜x+4｜+2m恒成立，
即｜x－3｜+｜x+4｜≥2m恒成立，
∵｜x－3｜+｜x+4｜≥｜－4－3｜=7，
则2m≤7，则．
∴m的取值范围为：．
14．【解析】对称轴
∴
（2）对称轴当或时，在上单调
∴或．
15．【解析】
(1)依税率表，有：①x·5%，0＜x≤500；②(x-500)×10％+500×5％，500＜x≤2000；③(x-2000)×15％+1500×10％+500×5%，2000＜x≤5000．
即：
(2)此人10月份应纳税所得额x＝3200－2000＝1200，f(1200)＝0．1×(1200-500)+25＝95．故此人10月份应缴纳个人所得税95元．
(3)法一：(估算法)由500×5％＝25元，100×10％＝10元，故此人当月工资应在2500～2600元之间，故选C．
法二：(逆推验证法)设某人当月工资为2400元或2700元，则应纳税款分别为400×5％＝20(元)，500×5％+200×10％＝45(元)．可排除A，B，D，故选C．单调性与最大（小）值
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量且；
（3）都有；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有（或）；
(2)
存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；
③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数．
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2.一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
（2）反比例函数
当时，函数在区间上是减函数；
当时，函数在区间上是增函数.
4.二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【高清课堂：函数的单调性
356705
例1】
例1.已知：函数
（1）讨论的单调性.
（2）试作出的图象.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1①当时，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函数.
②当-1∴x1-x2<0，0∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是减函数.
同理：函数是减函数,
函数是增函数.
（2）函数的图象如下
【总结升华】
（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】（2014
福建南安期中）
已知函数．
（Ⅰ）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）若，求函数在上的值域．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，任取，
因为，，，
所以，得，故函数在上是减函数；
（Ⅱ）当时，由（1）得在上是减函数,
从而函数在上也是减函数，
,.
由此可得，函数在上的值域为．
类型二、求函数的单调区间
例2.
判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2；
(2)
【思路点拨】
对进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
【答案】（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
（2）f(x)在上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|；
(2)　　　　(3)
；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；（2）上为减函数；（3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；(4)单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）．
【解析】(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
【高清课堂：函数的单调性
356705
例3】
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■
【总结升华】
（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；
（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3.
已知函数是定义域为的单调增函数．
（1）比较与的大小；
（2）若，求实数的取值范围．
【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．
（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．
例4.
求下列函数的值域：
(1)；
1)x∈[5，10]；
2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)；
(3)；
(4).
【思路点拨】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2)
；
(3)经观察知，，；
(4)令.
举一反三：
【变式1】已知当的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
【答案】（1）在区间[0，3]上，当时，；当时，.
（2）在区间[-1，1]上，当时，；当时，.
（3）在区间[3，+∞）上，当时，；在这个区间上无最大值.
【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大（小）值的关键.
例5．（2015
西安周至县一模）已知函数，x∈[―5，5]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数．
【思路点拨】（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；
（2）要使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数，只需当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．
【解析】（1），
其对称轴为x=―a，当a=1时，，
所以当x=―1时，f（x）min=f（―1）=1―2+2=1；
当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．
（2）当区间[―5，5]在对称轴的一侧时，
函数y=f（x）是单调函数．所以－a≤―5或―a≥5，
即a≥5或a≤―5，即实数a的取值范围是（―∞，－5]∪[5，+∞）时，
函数在区间[－5，5]上为单调函数．
【总结升华】本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，同时考查分析问题的能力．
举一反三：
【变式1】（2015秋
江苏盐城期末）已知函数在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________
【答案】[―3，+∞）
【解析】∵在[4，+∞）上是增函数，
∴对称轴1―a≤4
即a≥―3，
故答案为：[―3，+∞）．
PAGE【巩固练习】
1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有(
)
A．函数先增后减
B．函数先减后增
C．函数是上的增函数
D．函数是上的减函数
2．在区间上为增函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．函数的一个单调递减区间可以是（
）
A.[-2，0]
B.[0，2]
C.[1，3]
D.
[0，+∞）
4．（2016
四川广元二模）已知是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数的值域为(
)
A．
B．
C．
D．
6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
7．已知函数若，则实数的取值范围是（
）.
A．
B．
C．
D．
8．在函数的图象上任取两点，称为函数从到之间的平均变化率.设函数，则此函数从到之间的平均变化率为（
）.
A．
B．
C．
D．
9．函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．
10．函数的值域是____________.
11．（2016春
天津静海县期末）函数与在区间（1，2）上都单调递减，则实数a的取值范围是________．
12．函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：
①
函数是单函数；
②
若为单函数，且，则；
③
若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；
④
函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．
其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
13．函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数.
设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①；②；③.
则=
.
14．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.
15．已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值．
16．（2016
浙江二模）设函数f（x）=x｜x―a｜+｜x+b｜（a，b∈R）．
（1）若a=2，b=1，试求函数f（x）在[0，2]上的值域；
（2）若b=0，1＜a＜2，试求函数f（x）在[―1，3]上的最大值g（a）．
17．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．
（1）求函数的所有“保值”区间；
（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.
【答案】C.
【解析】由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，故选C.
2.
【答案】B.
【解析】,故选B．
3.
【答案】C.
【解析】函数，图象开口向下，对称轴是，故选C.
4．【答案】B
【解析】当x≥1时，函数f（x）=－x+1为减函数，此时函数的最大值为f（1）=0，要使f（x）在R上的减函数，
则满足，
即，解集，
故选B．
5.
【答案】B.
【解析】
，是的减函数，当
6.
【答案】A.
【解析】
由于，且函数图象的对称轴为所以函数在上单调递增.因为，从而.
7．【答案】C.
【解析】在上单调递增；在上单调递增.又，
，推出得，解得，故选C.
8．【答案】B.
【解析】=（）（），
故选B.
9．【答案】C．
【解析】令，求得
x≤1，或x≥2，故函数的定义域为，且函数，
故本题即求二次函数t（x）在上的增区间．
再利用二次函数的性质可得t（x）在上的增区间为，
故选：C．
10.
【答案】
【解析】
是的增函数，当时，.
11．【答案】（―1，1]
【解析】∵的图象是开口朝下，以x=a为对称轴的抛物线，
在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1
①；
∵在区间（1，2）上都单调递减，
∴有a+1＞0，解得a＞―1
②；
综①②，得―1＜a≤1，即实数a的取值范围是（―1，1]．
故答案为：（―1，1]．
12.
【答案】②③
【解析】
对于①，若，则，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意，若有两个及以上的原象，也即当时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．
13.
【答案】
【解析】因为由③得，，
在②中令则.
在③中分别令则.
在②中令，得，.
因为，且函数为非减函数，
所以
则.
故.
14．【解析】，则，
15．【答案】（1）；（2）f（x）min=，f（x）max=3．
【解析】（1）设，
则
∴由题恒成立
∴
得
∴
（2）=在单调递减，在单调递增
∴，
16．【解析】（1）当a=2，b=1时，f（x）=x｜x―2｜+｜x+1｜，
又∵x∈[0，2]，
∴，
∵x∈[0，2]，
∴，
故函数的值域为；
（2）由题意，f（x）=x｜x―a｜+｜x｜，
当―1≤x≤0时，，
在[―1，0]上单调递增，
故f（x）max=f（0）=0，
当0＜x≤a时，，
其图象的对称轴为，
故f（x）在上是增函数，在上是减函数，
故，
当a＜x≤3时，，
其图象的对称轴为，
故f（x）在（a，3]上是增函数，
故f（x）max=f（3）=9―3（a―1）=12―3a，
又∵1＜a＜2，
∴，
故g（a）=12―3a．
17．【解析】（1）因为函数的值域是，且在的值域是，
所以，所以，从而函数在区间上单调递增，
故有解得
又，所以
所以函数的“保值”区间为．
（2）若函数存在“保值”区间，则有：
①若，此时函数在区间上单调递减，
所以消去得，整理得．
因为，所以，即．
又所以
因为，
所以．
②若此时函数在区间上单调递增，
所以消去得，整理得．
因为，所以，即．
又所以．
因为
所以．
因为，所以
综合①②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是．【巩固练习】
1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有(
)
A．函数先增后减
B．函数先减后增
C．函数是上的增函数
D．函数是上的减函数
2．在区间上为增函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
3．函数的一个单调递减区间可以是（
）
A.[-2，0]
B.[0，2]
C.[1，3]
D.
[0，+∞）
4．若函数在上是递减的，则a的取值范围是（
）
A．
a≥﹣3
B．
a≤﹣3
C．
a≤5
D．
a≥3
5．（2016
江西一模）设函数，若f（a）＜a，则实数a的取值范围为（
）
A．（－1，+∞）
B．（－∞，－1）
C．（3，+∞）
D．（0，1）
6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
7．函数的递增区间是（
）
A．
B．
[﹣5，﹣2]
C．
[﹣2，1]
D．
8．函数的值域是____________.
9．（2016
陕西安康三模）若函数在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是________．
10．已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是
.
11．已知函数是上的减函数，且的最小值为正数，则的解析式可以为
.（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形）
12．（2016春
山西怀仁县月考）试用定义讨论并证明函数在（－∞，－2）上的单调性．
13．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.
14．已知函数.
①
当时，求函数的最大值和最小值；
②
求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
【答案与解析】
1.【答案】C.
【解析】由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，故选C.
2.【答案】B.
【解析】,故选B．
3.【答案】C.
【解析】函数，图象开口向下，对称轴是，故选C.
4.【答案】B．
【解析】函数的对称轴是x=1﹣a
又函数在上是递减的，
∴
4≤1﹣a
∴
a≤﹣3
故选B．
5．【答案】A
【解析】不等式f（a）＜a等价于或，解得a≥0或－1＜a＜0，
∴不等式f（a）＜a的解集为（－1，+∞），
故选A．
6.【答案】A.
【解析】由于，且函数图象的对称轴为所以函数在上单调递曾增.因为，从而.
7．【答案】B．
【解析】由，得函数的定义域为
{x|﹣5≤x≤1}．
∵
，
对称轴方程为x=﹣2，拋物线开口向下，
∴函数t的递增区间为[﹣5，﹣2]，故函数的增区间为[﹣5，﹣2]，
故选：B
8.【答案】
【解析】
是的增函数，当时，.
9．【答案】
【解析】若函数在（2，3）上为增函数，
则在（2，3）上恒成立，
则9a+1≥0，解得：，
故答案为：．
10.【答案】
【解析】
依题意
，解得.
11.【答案】答案不唯一，如等.
12．【解析】；
设，且；
；
∵，且；
∴
∴若1－2a＜0，即时，，∴f（x）在（―∞，―2）上单调递增；
若1－2a＞0，即时，，∴此时f（x）在（―∞，―2）上单调递减．
13．【解析】，则，
14．【解析】对称轴
∴
(2)对称轴当或时，在上单调
∴或.【巩固练习】
1．若，则的取值范围是（
）
A．
B．或
C．
D．或
2．函数的定义域为（
）
A．（0，e]
B．（－∞，e]
C．（0，10]
D．（－∞，10]
3．函数的图象关于（
）
A．轴对称
B．轴对称
C．原点对称
D．直线对称
4．函数的大致图象是（
）
5．设，，，则（　　　）．
A．
B．
C．
D．
6．图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(
)
A．
B．
C．
D．
7．函数的值域为(
)
A．
B．
C．
D．
8．下列函数中，在上为增函数的是(
)
A．
B．
C．
D．
9．函数（a＞0且a≠1）必过定点
．
10．已知，则、、0、1间的大小关系是
。
11．（2016
上海）已知点（3，9）在函数的图象上，则f（x）的反函数________．
12．函数是
(奇、偶)函数．
13．已知函数其中
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求的值。
14．（2016春
福建浦城县期中）设f（x）=ln（x+1）．
（1）求满足f（1－x）＞f（x―1）的x的取值的集合A；
（2）设集合B={x｜1―m＜x＜2m}，若BA，求实数m的取值范围．
15．设
（1）判断f(x)的单调性，并给出证明；
（2）若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一解；
（3）解关于x的不等式．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由，当时，为增函数，所以，得；当时，为减函数，所以，得，故选D。
2．【答案】A
分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解析】∵函数，
∴1－lnx≥0，
即lnx≤1；
解得0＜x≤e，
∴函数y的定义域为（0，e]．
故选：A．
点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，求出使解析式有意义的不等式的解集．
3．【答案】C
【解析】=，为奇函数，故其图象关于原点对称。　
4．【答案】D　
【解析】易知为奇函数，又时，，所以选D。
5．【答案】D　
【解析】因为，，所以
，所以，故选Ｄ．
6．【答案】A
【解析】在第一象限内，，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；在第四象限内，，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；所以相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为．选A．
7．【答案】A　
【解析】因为，所以=，故选A。
8．【答案】A　
【解析】复合函数的单调性是由内函数、外函数的单调性决定的，两个函数的单调性“同增异减”，即内外函数的单调性相同，复合函数单调增；内外函数的单调性相反，复合函数单调减。
9．【答案】（0，2）
分析：根据函数
过定点（1，0），得函数（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．
【解析】由于函数过定点（1，0），
则在函数中，
令2x+1=1，可得x=0，此时，
故函数（a＞0且a≠1）必过定点（0，2）．
故答案为
（0，2）．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点．
10．【答案】
【解析】
，。又在（0,1）内递增且函数值小于0，。
11．【答案】，（x＞1）．
【解析】∵点（3，9）在函数的图象上，∴，解得a=2．
∴，由，解得，（y＞1）．
把x与y互换可得：f（x）的反函数．
故答案为：，（x＞1）．
12．【答案】奇
【解析】为奇函数．
13．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由
解得
∴
函数的定义域为
（2）函数可化为
∵－3＜x＜1
，∴
∵a∈（0，1），∴函数的最小值为
由
，得
，∴
14．【答案】（1）{x｜0＜x＜1}；（2）
【解析】（1）∵f（x）=ln（x+1），x+1＞0，
∴x＞－1；
∴不等式f（1－x）＞f（x－1）等价于
，
解得0＜x＜1，
∴集合A={x｜0＜x＜1}；
（2）∵集合B={x｜1－m＜x＜2m}，且BA，
∴当B=时，1－m≥2m，
解得；
当时，即，
解得；
综上，实数m的取值范围是
15．【解析】（1）由
得-1所以f(x)的定义域为(-1，1)．
设-1　　
，
又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)
=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0，
(1-x1)(1+x2)>0，
(1+x1)(1-x2)>0，
所以
所以，又易知，
∴
f(x1)-f(x2)>0
，
即f(x1)>f(x2)．
故f(x)在(-1，1)上是减函数．
（2）因为，所以，
即f-1(x)=0有一个根．
假设f-1(x)=0还有一个根，则f-1(x0)=0，
即，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾．
故是方程f-1(x)=0的唯一解．
3)因为，所以．
又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以．
解得．【巩固练习】
1．已知，那么a的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．或a>1
2．（2015年重庆高考）函数的定义域是
A．[－3，1]
B．（－3，1）
C．（－∞，－3]∪[1，+∞）
D．（
－∞，－3）∪（1,+∞）
3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（
）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4．函数的图象关于(
)
A．轴对称
B．轴对称
C．原点对称
D．直线对称
5．函数的值域是(
)
A．
B．
C．
D．
6．下列区间中，函数在其上为增函数的是
A．
B．
C．
D．
7．设方程2x+x-3=0的根为，方程log2x+x-3=0的根为，则的值是(
　)
A．1
B．2
C．3
D．6
8．（2016
哈尔滨一模）已知函数，则不等式f（x）≤5的解集为（
）
A．[―1，1]
B．（―∞，―2]∪（0，4）
C．[―2，4]
D．（―∞，－2]∪[0，4]
9．函数若则=
．
10．函数在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为
11．函数的反函数是
．
12．已知函数y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值范围是
；
若函数的值域为R，则k的取值范围是
．
13．已知，x∈[1，9]
（1）求的定义域；
（2）求的最大值及当y取最大值时x的值．
14．（2016春
江苏淮阴区期中）已知函数（a为常数）．
（1）若常数a＜2且a≠0，求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是减函数，求a的取值范围．
15．一片森林的面积为，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是50年．为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为
（1）问到今年为止，该片森林已砍伐了多少年？
（2）问今后最多还能砍伐多少年？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】当a>1时，由知，故a>1；当0故．综上知：a的取值范围是或a>1．
2．【答案】D
【解析】由，即
解得x＜－3或x＞1。
故选：D．
3．【答案】C　
【解析】函数=，由“左加右减”知，选C．
4．【答案】C　
【解析】此函数是奇函数，奇函数图象关于原点对称．
5．【答案】C　
【解析】令，的值域是，所以的值域是．
6．【答案】D
【解析】用图象法解决，将的图象关于轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图象．由图象，选项中是增函数的显然只有D．
7．【答案】C　
【解析】将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图所示，可知是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标．由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以，．注意到在直线y=-x+3上，所以有，即．
8．【答案】C
【解析】由于，
当x＞0时，，即，解得0＜x≤4，
当x≤0时，，即（x―3）（x+2）≤0，解得－2≤x≤3，
∴不等式f（x）≤5的解集为[－2，4]，
故选C．
9．【答案】-1或2；　
【解析】令，．
10．【答案】
分析：结合函数与的单调性可知在[0，1]单调，从而可得函数在[0，1]上的最值分别为f（0），f（1），代入可求a
【解析】∵与具有相同的单调性．
∴在[0，1]上单调，
∴，即，
化简得，解得
故答案为：
点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易．
11．【答案】
【解析】由得，由得．因此原函数的反函数是　
12．【答案】．
【解析】要使函数的定义域为R，只需对一切实数x，
kx2+4kx+3>0恒成立，其充要条件是k=0或解得k=0或，故k的取值范围是．
要使函数的值域为R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则，解得．
故k的取值范围是．
13．【答案】[1，3]；x=3时，最大值为13
分析：（1）把代入得到函数的解析式，由求得函数的定义域；
（2）令换元，然后利用配方法求函数的最大值并求得当y取最大值时x的值．
【解析】（1）∵，
∴
．
∵函数的定义域为[1，9]，
∴要使函数有定义，
则，∴1≤x≤3，
即函数定义域为[1，3]；
（2）令，则0≤u≤1．
，
又∵函数在[－3，+∞）上是增函数，
∴当u=1时，函数有最大值13．
即当，x=3时，函数有最大值为13．
点评：本题考查了复合函数定义域的求法，考查了复合函数的单调性，训练了利用换元法求函数的值域．
14．【答案】（1）略；（2）a∈[1，2）．
【解析】（1）由，当0＜a＜2时，解得x＜1或，
当a＜0时，解得．
故当0＜a＜2时，f（x）的定义域为；
当a＜0时，f（x）的定义域为．
（2）令，因为为减函数，
故要使f（x）在（2，4）上是减函数，
则在（2，4）上为增且为正．
故有．
故a∈[1，2）．
15．【答案】（1）25（2）75
【解析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，经过年后森林剩余面积为
则，所以，即．
又，所以，
所以，即到今年为止，一砍伐了25年．
（2）设从今年开始，以后砍伐了年，
则砍伐了年后森林剩余面积为．
由题意，有，所以，
由（1）知，，即，因为，
所以，解得．
所以，今后最多还能砍伐75年．指数函数及性质
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
①如果，则
②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，则是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
0a>1时图象
图象
性质
①定义域R，值域
（0，+∞）
②a0=1,
即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1x>0时，0⑤x<0时，00时，ax>1
⑥
既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
（2）当时，；当时．
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
（3）指数函数与的图象关于轴对称．
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
1
②
③
④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时，
（底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、函数的定义域、值域
例1．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R
[)；（3）
；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)
[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R
(∵对一切xR，3x≠-1).
∵
，又∵
3x>0，
1+3x>1，
∴
，
∴
，
∴
，
∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，∵
2x>0，
∴
即
x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴
值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.
(4)∵
∴
定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵
，∴
，
∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时，；0【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即．
(3)
为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
(4)
为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型二、指数函数的单调性及其应用
例2．讨论函数的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数
（0，3]
【解析】
解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
∴，，
．
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．
又对于x∈R，恒成立，∴．
∴函数在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
．∴．
∴函数在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．
∴函数的值域为（0，3]．
解法二：∵函数的定义域为R，令u=x2－2x，则．
∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【答案】上单增，在上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2，
y=3u；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间；
[3]求值域.
设u=-x2+3x-2，
y=3u，
其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，
u=-x2+3x-2在上单减，
则在上单增，在上单减.
又u=-x2+3x-2，
的值域为.
【变式2】求函数的单调区间.
【解析】当a>1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；
当0例3．讨论函数的单调性．
【答案】在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增
【解析】注意．因而原函数是指数函数与二次函数y=t2－2t+2的复合函数．
令，则y=t2―2t+2．由在R上递减，又y=t2―2t+2在（―∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，而当，则x≥0；当，则x≤0．
∴函数在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增．
【总结升华】研究型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设，再由内函数与外函数的单调性来确定的单调性．
举一反三：
【变式1】
求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.
【答案】单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1]
[，57]
【解析】令，
则，
∵
x[-3，2]，
∴
，
∴，
∴
值域为[，57]，
再求单调区间.
(1)
即
即x[1，2]时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数.
(2)即即x[-3，1]时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数，
∴
函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1].
【总结升华】形如y=Aa2x+Bax+C(a>0，且a≠1)的函数若令ax=u，便有y=Au2+Bu+C，但应注意u>0
【变式2】（2015年福建高考）若函数(a∈R)满足，且在[m，+∞)单调递增，则实数m的最小值等于_______．
【答案】1
【解析】由得函数关于x=1对称，故a=1，则，由复合函数单调性得在[1，+∞)递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1．
例4．(1)1.8a与1.8a+1；
(2)
(3)22.5，(2.5)0，
(4)
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小．
【答案】（1）1.8a<1.8a+1
（2）
（3）
（4）当a>1时，，当0【解析】
(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，
又因为a(2)因为，又是减函数，所以，即．
(3)因为，，所以
(4)当a>1时，，当0【总结升华】
(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).
举一反三：
【变式1】比较大小：【高清课堂：指数函数369066
例1】
，，；
【答案】（1）
【解析】（1）解：=
作出的图象知
所以
【变式2】
比较1.5-0.2，
1.30.7，
的大小.
【答案】
【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)，
∴
在R上是减函数，∵
，
∴
，再考虑指数函数y=1.3x，
由于1.3>1，
所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1，
∴
.
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
【变式3】如果（，且），求的取值范围．
【答案】当时，；当时，
【解析】（1）当时，由于，
，解得．
（2）当时，由于，
，解得．
综上所述，的取值范围是：当时，；当时，．
类型三、判断函数的奇偶性
例5．判断下列函数的奇偶性：
(为奇函数)
【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则
∴
g(x)为奇函数，
又
∵为奇函数，∴
f(x)为偶函数.
【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：.
【答案】偶函数
【解析】定义域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴
f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.
类型四：指数函数的图象问题
例6．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．
举一反三：
【变式1】
设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】f（x）=|3x-1|=
故可作出f（x）=|3x-1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，故必有，所以3c+3a＜2．?故选D．
例7．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是
．
【思路点拨】画出与的图象，利用数形结合的方法去解题．
【答案】
【解析】当时，通过平移变换和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即与矛盾．
当时，同样通过平移和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即，即为所求．
【总结升华】（1）解答此题时，要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；（2）根据条件确定直线与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．
举一反三：
【变式1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（
）
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
【答案】B
例8．（2016
山西忻州期末）已知函数．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）指出该函数的单调递增区间；
（3）求函数f（x）的值域．
【答案】（1）略；（2）（－∞，0）；（3）（0，1]
【解析】（1）图象如图所示：
（2）由图象可知，函数的单调递增区间为（－∞，0），
（3）由图象可知，函数的值域为（0，1]．
类型五：指数函数的应用
例9．假设A型进口汽车关税率在2010年是2005年的25％，2005年A型进口汽车每辆价格为64万元（其中含32万元关税款），（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2005年每辆价格为46万元，若A型车价格只受关税降低的影响，为了保证2010年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少要降多少万元？（2）某人在2005年将33万元存入银行，假设银行扣除利息税后的年利率为1.8％（五年内不变），且每年按复利计算（例如第一年的利息计入第二年本金），那么五年到期时，这笔钱连本带息是否一定能够买一辆按（1）所述降价后的B型汽车？
【答案】2
能买
【解析】（1）∵2010年的关税率为2005年的关税率的，故所减少的关税款为32×=24（万元）．∴2010年A型车价格为64－24=40（万元）．∵5年后B型车价格不高于A型车价格的90％，∴有B型车价格≤40×90％=36（万元）．∵2005年B型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，∴平均每年至少要降2万元．
（2）根据题意，2005年存入的33万元，5年到期时连本带息可得33×(1+1.8％)5（万元）．通过计算器算得33×(1+1.8％)5≈36.08（万元）．∴到期时，这笔钱连本带息一定能够买一辆按（1）所述降价后的B型汽车．
【总结升华】本题是涉及指数函数的应用题，与指数函数相关的应用题较多，如放射性物质的衰变、人口的增长问题、国民生产总值的增长问题、成本的增长或降低等问题．它的基本模型是：设原有产值为N，平均增长率为P，则对于经过x年后的总产值y可以用y=N(1+P)x表示．
本例（2）在计算五年到期连本带息的和时，用到了公式（其中a为开始存入时的本金，r为每期的利率，n为期数），该公式可用特例归纳法得到：第l期到期时本利和为a+ar=a(1+r)；第2期到期时本利和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；第3期到期时本利和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3；…；第n期到期时本利和为a(1+r)n―1+a(1+r)n―1r=a(1+r)n．
举一反三：
【变式1】
某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x年后年人均粮食占有量为y千克，求出函数y关于x的解析式．
【答案】
【解析】设该乡镇人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，经过x年后，该乡镇粮食总产量为
360M(1+4%)x，人口数量为M(1+1.2%)x，则经过x年后，人均占有粮食千克．
即所求函数解析式为．
类型六：指数函数性质的综合
例10．设（a，b为实常数）。
（1）当时，证明：①不是奇函数；
②是上的单调递减函数。
（2）设是奇函数，求与的值。
【答案】（1）详见证明；（2）或
【解析】
（1）①，其定义域为R
，，
所以，即不是奇函数
②在上任取且，则
因为，所以，又因为，
所以
，即
所以是上的单调递减函数。
（2）是奇函数时，，
即对定义域中的任意实数都成立，
化简整理得，这是关于x的恒等式，
所以
所以或对数及对数运算
【学习目标】
1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2.了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
要点诠释：
对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0
且a1，
N>0，
bR.
2.对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，
.
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知
(1)
正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2)
两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)
正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，
a≠1，
M>0的前提下有:
(1)
令
logaM=b，
则有ab=M，
(ab)n=Mn，即，
即，即:.
(2)
，令logaM=b，
则有ab=M，
则有
即，
即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【典型例题】
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1)
(2)
(3)lg1000=x
(4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
【高清课堂：对数及对数运算369068
例1】
【变式2】计算：并比较．
【答案】2
3
5
【解析】
．
类型二、利用对数恒等式化简求值
例2．求值：
【答案】35
【解析】.
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
.
类型三、积、商、幂的对数
【高清课堂：对数及对数运算369068
例3】
例3.
表示下列各式
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式1】求值
(1)
　　(2)lg2·lg50+(lg5)2
(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】（1）已知，则
．
（2）已知，求．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）∵
，
∴，，
∴．
故答案为：1．
（2），，又，故
故，又，从而，
故．
类型四、换底公式的运用
例4.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，则，
即
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
类型五、对数运算法则的应用
例5.（2016春
安徽桐城市月考）
（1）计算：
（2）
（3）
（4）若，求x的值．
【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出；
（4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出．
【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2
【解析】（1）原式
（2）原式=
=
（3）原式=
（4）∵，
∴，
∴
∴
，
解得x=－1或x=2，
∵x＞0，
∴x=2
举一反三：
【变式1】求值：
【答案】2
【解析】
另解：设
=m
(m>0).∴
，
∴
，∴
，
∴
lg2=lgm，
∴
2=m，即.
例6．设函数
（1）当a=0.1，求f（1000）的值．
（2）若f（10）=10，求a的值；
【思路点拨】（1）当a=0.1时，，把x=1000代入可求
（2）由，可求，进而可求a
【答案】（1）－14；（2）或
【解析】（1）当a=0.1时，
∴
（2）∵
∴
∴
∴
或
∴
或
举一反三：
【变式1】若是方程的两个实根，求的值．
【答案】12
【解析】原方程可化为，设，则原方程化为．．
由已知是原方程的两个根，
则，即，
=
=
=．
即．指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N
，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN
，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
要点四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）.
【答案】
-3；；；
【解析】
熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是，但不是.
（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.
例2.计算：（1）；
（2）.
【答案】．
【解析】
对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】
；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂．
=
==
=
=
【总结升华】
此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
举一反三：
【高清课堂：指数与指数运算369050
例1】
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）．
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=．
例4.计算下列各式：
（1）
（2）
【思路点拨】利用指数幂的运算法则即可得出
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式=
=
=
（2）原式=．
【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；　　(2).
【答案】
112；．
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
【变式2】计算下列各式：
【高清课堂：指数与指数运算369050
例3】
【答案】21+
【解析】原式=16++5+2+=21+．
例5.（2016
湖北期末）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）原式；
（2）；
（3）原式．
【总结升华】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力．
举一反三：
【变式1】计算化简下列式子
【答案】
【解析】原式=或．
注意：当n为偶数时，.
【变式2】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子：
(1)
(2)
(3)
【答案】
；；
【解析】
(1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.
【高清课堂：指数与指数运算369050
例4】
例6．已知，求的值．
【答案】
【解析】
从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
，，
，
=
=
【总结升华】
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求及的值，然后整体代入．
举一反三：
【变式1】求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知a>0，
b>0，
且ab=ba，
b=9a，求a的值.
【答案】
23；
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.
(1)由，两边同时平方得x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，则有；
(2)a>0，
b>0，
又∵
ab=ba，
∴
∴
.幂函数及图象变换
【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：的图象变换，
（1）平移变换
y=f(x)→y=f(x＋a)
图象左（）、右（）平移
y=f(x)→y=f(x)＋b
图象上（）、下（）平移
（2）对称变换
y=f(x)
→y=f(－x),
图象关于y轴对称
y=f(x)
→y=－f(x)
,
图象关于x轴对称
y=f(x)
→y=－f(－x)
图象关于原点对称
y=f(x)→
图象关于直线y=x对称
（3）翻折变换：
y=f(x)
→y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分
关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y=f(x)
→y=|f(x)|
把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象
关于x轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知是幂函数，求、的值．
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．
由题意得解得
即为所求．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
答案：（4）、（5）是幂函数．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式和相应的函数图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．请把解析式对应的图象序号按照解析式的顺序填在括号里（　　　　　）．　
举一反三：
【变式1】（2015秋
江苏海安县期中）幂函数在第一象限的图象如图所示，若，则________．
【答案】
【解析】由幂函数的图象可以看到：此函数是单调递增且是非奇非偶函数，
因此只有满足条件．
故答案为：．
类型三、幂函数的性质
例3.比较下列各组数的大小.
(1)与；
(2)与.
【答案】（1）；（2）。
【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数.
∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴
.即.
【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例4.（2015秋
黑龙江大庆期末）已知函数（m∈N
）的图象关于y轴对称，且f（3）＞f（5），求满足的a的取值范围．
【思路点拨】根据幂函数在（0，+∞）上是减函数，可以确定m－3＜0，再根据的图象关于y轴对称，即可得到f（x）为偶函数，从而确定m的值，构造函数g（x）=，利用幂函数的性质，即可列出关于a的不等式，求解不等式可以求得a的取值范围．
根据幂函数在（0，+∞）上函数值随x增大而减小，得到3m－9＜0，然后根据函数图象关于y轴对称，得到函数为偶函数，确定m的值，然后解不等式即可．
【答案】{a｜a＜－1或}．
【解析】∵函数（m∈N
）在（0，+∞）上递减，
∴，解得－1＜m＜3，
∵m∈N+，
∴m=1，2，
又∵函数的图象关于y轴对称，
∴f（x）为偶函数，
∴是偶数，
又m=1时，为偶数，
m=2时，为奇数，
∴m=1，
令，
∴在（－∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，
∵，
∴a+1＞3－2a＞0，或0＞a+1＞3－2a，或a+1＜0＜3－2a，
解得a＜－1，或，
故a的取值范围为{a｜a＜－1或}．
举一反三：
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵，
考察的图象，得以下四种可能情况:
(1)
(2)
(3)
(4)
分别解得:(1).
(2)无解.
(3).
(4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使，
即，
解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用
例5.（2015秋
湖南长沙期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）是减函数，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若a＞k，比较与的大小．
【思路点拨】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N
，求出k的值，写出函数的解析式．
（2）利用指数函数的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）幂函数的图象关于y轴对称，
所以，，解得－1＜k＜3，
因为k∈N
，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，
∴k=1，
函数的解析式为：．
（2）由（1）知，a＞1．
①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，；
②当a=e时，lna=1，；
③当a＞e时，lna＞1，．
举一反三：
【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．
【答案】，奇函数，在上单调递增
【解析】（1）是正偶数，
是正奇数．
函数的定义域为．
（2）是正奇数，
，且定义域关于原点对称．
是上的奇函数．
（3），且是正奇数，
函数在上单调递增．
类型六、基本初等函数图象变换
例6．作出下列函数的图象：
(1)
y=lgx，
y=lg(-x)，
y=-lgx；
(2)
y=lg|x|；
(3)
y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)；
(2)如图(2)；
(3)如图(3).
【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。
举一反三：
【高清课堂：幂函数及图象变换369074
例4（1）】
【变式1】作出的图象。
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象。
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。
第一步：作的图象甲。
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙。
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙。
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。
向上平移2个单位
向左平移1个单位
PAGE【巩固练习】
1．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（
）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
2．下列等式成立的有（
）
①；②；③；④；⑤；
A．①②
B．①②③　　　　C．②③④
D．①②③④⑤
3．已知，那么用表示是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2016
杭州模拟）已知，且，则A的值是（
）
A．7
B．
C．
D．98
5．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有（
）
A．
B．
C．
D．
7．若是方程的两个实根，则ab的值等于（
）
A．
2
B．
C．100
D．
8．已知函数满足：当时，；当时，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，则
．
10．（1）=
；
（2）=
．
11．已知a=0．33，b=30．3，
c=log30．3，
d=log0．33，则a，b，c，d的大小关系是
．
12．已知，则的值等于
．
13．计算：（1）．
（2）若，求．
14．（2016
上海徐汇区一模）已知实数x满足且．
（1）求实数x的取值范围；
（2）求f（x）的最大值和最小值，并求此时x的值．
15．2010年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（，精确到1年）？
【答案与解析】
1．【答案】C　
【解析】由知①②正确．
2．【答案】B　
【解析】；
3．【答案】A　
【解析】原式==，故选A．
4．【答案】B
【解析】∵，且，
∴，，
∴，
∴，
解得，
故选B．
5．【答案】B
【解析】，因为，所以，故选B．
6．【答案】B
【解析】设3a=4b=6c=k，
则a=log3k，
b=log4k，
c=log6k，
∴，
同理，，
而，
∴，即．
7．【答案】C
【解析】∵
是方程的两个实根，
∴
由韦达定理得：，
∴
ab=100．
故选C．
点评：本题考查对数的运算，由题意得到是解决问题的关键．
8．【答案】A
【解析】由于，所以，
则
==．
9．【答案】4
【解析】因为，
所以，故．
故答案为：4．
点评：本题主要考查指数与对数的运算．指数与对数的运算法则一定要熟练掌握．
10．【答案】
（1）-3；
（2）4．
11．【答案】b>a>d>c
【解析】∵0．3>0，3>0，
∴a=0．33>0，
b=30．3>0．
∵3>1，
0<0．3<1，
∴c=log30．3<0，
d=log0．33<0
又∵b=30．3>1，
a=0．33<1，
∴
b>a
而，
，
∴d>c．
12．【答案】2008
【解析】2008
令，则，
，所以．
13．【答案】（1）（2）1
【解析】（1）原式=
，
故答案为：；
（2）
即
=
14．【答案】（1）2≤x≤4；（2）当，即时，
当或，即x=2或x=4时，．
【解析】（1）由，
解得，
即，
∴，2≤x≤4
（2）因为
当，即时，
当或，即x=2或x=4时，．
15．【答案】9
【解析】设经过年国民生产总值为2010年的2倍
经过1年，国民生产总值为，
经过2年，国民生产总值为，
…
经过年，国民生产总值为
，两边同取常用对数，得
即（年）
答：约经过9年，国民生产总值是2010年的2倍．【巩固练习】
1．下列说法中错误的是（
）
A．零和负数没有对数　　　　　　　　　　B．任何一个指数式都可化为对数式
C．以10为底的对数叫做常用对数　　　　
D．以e为底的对数叫做自然对数
2．有以下四个结论：①lg（lg10）=0；②ln（lne）=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是（
）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④
3．下列等式成立的有（
）
①；②；③；④；⑤；
A．①②
B．①②③　　　　C．②③④
D．①②③④⑤
4．对数式中，实数的取值范围是（
）
A．
B．　　　C．
D．
5．若，则下列说法正确的是（
）
①若，则；②，则；
③，则；④若，则．
A．①③
B．②④
C．②
D．①②③④
6．若，则=（
）
A．
3a
B．
C．a
D．
7．（2016春
福建期末）已知，则（
）
A．
B．
C．a―2
D．
8．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．计算的结果是（
）
A．
B．
2
C．
D．
3
10．若，则x=
．
11．若
；
12．若，则
．
13．（2015
河南源汇区一模）设；
．
求m+n的值．
14．计算下列各式的值：
（1）
（2）．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式．
2．【答案】C
【解析】由知①②正确．
3．【答案】B
【解析】；
4．【答案】C
【解析】由对数的定义可知所以且，故选C．
5．【答案】C
【解析】注意使成立的条件是M、N必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C．
　
6．分析：直接利用对数的性质化简表达式，然后把代入即可．
【答案】A
【解析】
故选A．
7．【答案】D
【解析】∵，
∴，
故选：D．
8．【答案】B
【解析】，因为，所以，故选B．
9．【答案】B
【解析】．
故选：B．
10．【答案】-13
【解析】
由指数式与对数式互化，可得，解得．　
11．【答案】12
【解析】
．
12．【答案】1
【解析】因为所以，又因为所以，所以原式=．
13．【答案】
【解析】∵，
，
∴．
14．分析：（1）根据指数幂的性质对数函数运算的性质即可求出，
（2）利用对数的运算性质和换底公式，计算即可．
【答案】（1）；（2）－1
【解析】（1），
（2）【巩固练习】
1．函数的零点是（
）．
A．-1,4　　B．-4,1　　C．,1　　D．，-1
2．函数的定义域是（
）
A．　　B．　　C．　　D．
3．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．　　B．　　C．，且　　D．，且
4．已知函数有唯一零点，则下列区间必存在零点的是（
）
A．　　
B．　
C．　
D．
5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（
）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6．关于x的方程在（－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是（
）
A．[－2，－1）∪（0，1]
B．[－3，－2）∪[0，1]
C．[－3，－2）∪（0，1]
D．[－2，－1）∪[0，1]
7．设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内(　　)
A．可能有3个实数根　　B．可能有2个实数根　　C．有唯一的实数根　　D．没有实数根
8．若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（
）
A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）=0；
C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0；
D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）=0．
9．（2016
浙江温州一模）已知，则f（f（―2））=________，函数f（x）的零点的个数为________．
10．若至多只有一个零点，则的取值范围是
．
11．已知抛物线的图象经过第一、二、四象限，则直线不经过第
象限．
12．已知函数的零点在区间上，则整数k的值为
．
13．（2016
广东湛江期末）已知函数（a≠0）．
（1）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）与（1，2）上各有一个零点，求a的取值范围．
14．用二分法求在区间的一个实根(精确到0．01)．
15．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞－2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】令，解得，故选B．
2．【答案】D
【解析】依题意知且，解得，且．
3．【答案】C
【解析】依题意，，，解得且．
4．【答案】C　
【解析】由题意，可知，故在上必存在零点．
故选C．
5．【答案】D．
【解析】
由“二分法”求方程的近似解基本思想可得。
6．分析：若关于x的方程在（－∞，1]上有解，则属于函数，x∈（－∞，1]的值域，进而可得实数a的取值范围．
【答案】C
【解析】当x∈（－∞，1]时，，
若关于x的方程在（－∞，1]上有解，
则，
解得a∈[－3，－2）∪（0，1]，
故选：C
点评：本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，其中将关于x的方程在（－∞，1]上有解，转化为，是解答的关键．
7．【答案】C　
【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1]
上有唯一实根．故选C．
8．【答案】C．
【解析】由零点存在性定理知C正确．
9．【答案】14；1．
【解析】根据题意得：，
则；
令f（x）=0，得到，
解得：x=1，
则函数f（x）的零点个数为1，
故答案为：14；1．
10．【答案】
【解析】
依题意，或综上．
11．【答案】
【解析】二
由抛物线在第一、二、四象限知，所以，即不经过第二象限．
12．分析：由于函数在（0，+∞）单调递增．可知函数最多有一个零点．当k=1时，区间为，利用函数零点存在定理即可判断出：函数f（x）在区间上存在零点．
【答案】1
【解析】∵函数在（0，+∞）单调递增．
∴函数最多有一个零点．
当k=1时，区间为，
当x→0时，f（x）→－∞，当时，，
∴函数f（x）在区间上存在零点，
因此必然k=1．
故答案为：1．
13．【答案】（1）（－∞，0）∪（0，1）；（2）
【解析】（1）由题意可得，a≠0，且Δ=4－4a＞0，
解得a＜1，且a≠0，
故a的范围是（－∞，0）∪（0，1）．
（2）若函数f（x）的图象可得，即，
解得，
即所求的a的范围为．
14．【答案】1．32
【解析】设
．
∴在内有实数解．
取为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，1．5]
1．25
-0．296875
[1．25，1．5]
1．375
0．224609
[1．25，1．375]
1．3125
-0．051514
[1．3125，1．375]
1．34375
0．082611
[1．3125，1．34375]
1．328125
0．014576
[1．3125，1．328125]
1．3203125
-0．018711
[1．3203125，1．328125]
1．32421875
-0．002128
∵1．328125-1．3203125=0．0078155<0．01
∴所求根的近似值为
15．分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞－2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x－1）（x－3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当时，最大值为．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x－1）（x－3），且a＜0．因而．①
由方程f（x）+6a=0得．②
因为方程②有两个相等的根，所以，
即．解得a=1或．
由于a＜0，a=1，舍去，故．
将代入①得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值为．
由，解得或．
故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．
PAGE【巩固练习】
1．函数是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
2.下列函数中，偶函数是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设函数，且则等于（
）
A.-3
B.3
C.-5
D.
5
4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是(
)
A．　　　B．
C．　　　D．
5．如果奇函数在区间
上是增函数且最大值为，那么在区间上是(
)
A．增函数且最小值是
B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是
D．减函数且最小值是
6．（2016
吉林三模）设是定义在[1+a，1]上的偶函数，则a+2b=（
）
A．0
B．2
C．－2
D．
7．设函数的图象关于轴对称，且，则
.
8．如果函数为奇函数，那么=
.
9．设函数是定义在R上的奇函数，且，在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为
．
10．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.
11．（2016
黑龙江大庆一模）设函数，且函数f（x）为奇函数，则g（－2）=______．
12．已知函数，，试判断的奇偶性.
13．已知函数.
（Ⅰ）证明：是奇函数；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：在上为增函数.
14．函数的定义域为，且满足对于定义域内任意的
都有等式
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；
（Ⅲ）若，且在上是增函数，解关于的不等式
15．（2016
江西模拟）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy——=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求证：f（1）=0；
（2）求；
（3）解不等式f（x）+f（x－3）≤1．
【答案与解析】
1.
【答案】A.
2.【答案】A
【解析】由偶函数的定义可知，答案选A
3.
【答案】C.
【解析】
因为是奇函数，所以，所以
.
4.
【答案】D.
【解析】
5.
【答案】A.
【解析】奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
6．【答案】C
【解析】∵是定义在[1+a，1]上的偶函数，
∴f（―x）=f（x）且1+a+1=0，
得a=―2，且，
则―b=b，得b=0，
则a+2b=―2，
故选C．
7.
【答案】
【解析】因为是偶函数，所以，所以.
8.
【答案】0
【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以.
9.
【答案】
【解析】
奇函数关于原点对称，补足左边的图象，可知的解集．
10.
【答案】
【解析】
11．【答案】―6
【解析】∵函数f（x）为奇函数，
∴；
故答案为：―6．
12．【解析】
，
画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，
则
当时，，则
都是奇函数.
13．【答案】略
【证明】（Ⅰ）由已知，函数的定义域为.
设，则，
.
所以函数为奇函数.
（Ⅱ）证明：设是上的两个任意实数，且，则.
.
因为
，
所以
，，，
所以
，
所以
在上是增函数.
14．【答案】（1）0；（2）证明略；（3）
【解析】(1)
(2)令
为偶函数
(3)
15．【答案】（1）略；（2）；（3）{x｜3＜x≤4}
【解析】（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
，
故．
（3）设且，于是，
∴．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x―3）=f[x(x―3)]≤1=f（4），
∴．
∴原不等式的解集为{x｜3＜x≤4}．指数函数及其性质
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
①如果，则
②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，则是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
0a>1时图象
图象
性质
①定义域R，值域
（0，+∞）
②a0=1,
即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数
④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1x>0时，0⑤x<0时，00时，ax>1
⑥
既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
1
②
③
④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时，
（底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数是指数函数，求的值．
【答案】2
【解析】由是指数函数，
可得解得，所以．
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R
[)；（3）
；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)
[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R
(∵对一切xR，3x≠-1).
∵
，又∵
3x>0，
1+3x>1，
∴
，
∴
，
∴
，
∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，∵
2x>0，
∴
即
x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴
值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.
(4)∵
∴
定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵
，∴
，
∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时，；0【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即．
(3)
为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
(4)
为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3．讨论函数的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数
（0，3]
【解析】
解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
∴，，
．
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．
又对于x∈R，恒成立，∴．
∴函数在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
．∴．
∴函数在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．
∴函数的值域为（0，3]．
解法二：∵函数的下义域为R，令u=x2－2x，则．
∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
举一反三：
【变式1】（2016昆明期末）已知函数（x≥0）的图象经过点，其中a＞0，a≠1．
（1）求a的值；
（2）求函数（x≥0）的值域．
【思路点拨】（1）由函数（x≥0）的图象经过点，可得，由此求得a的值．
（2）由（1）知在[0，+∞）上为减函数，f（0）=2，再由指数函数的值域求出（x≥0）的值域．
【答案】（1）；（2）（0，2]
【解析】（1）∵函数（x≥0）的图象经过点，
∴，解得，
∴．
（2）由（1）知，又∵，
∴在[0，+∞）上为减函数，
又∵的定义域为[0，+∞），且f（0）=2，
∴的值域为（0，2]．
【变式2】求函数的单调区间.
【解析】当a>1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；
当0例4．已知函数为R上的增函数，则实数a取值的范围是
．
【思路点拨】由题意可得，由此解得a的范围．
【答案】[2，3）
【解析】由于函数为R上的增函数，
可得
，解得2≤a＜3，
故答案为[2，3）．
【总结升华】本题是一个分段函数，主要考查函数的单调性的定义和性质．
例5．判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a与1.8a+1；
(2)
(3)22.5，(2.5)0，
(4)
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
【答案】（1）1.8a<1.8a+1
（2）
（3）
（4）当a>1时，，当0【解析】
(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，
又因为a(2)因为，又是减函数，所以，即．
(3)因为，，所以
(4)当a>1时，，当0【总结升华】
(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).
举一反三：
【变式1】下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】本题中四个选项中A，B，C三个是指数型函数，D选项中函数是幂函数类型的，依据相关的函数单调性验证那个判断是正确的即可．
【答案】D
【解析】对于选项A：考察函数性质知，A不正确
对于选项B：考察函数性质知，B不正确
对于选项C：考察函数性质知，C不正确
对于选项D：考察函数性质知，D正确
由上分析知，判断正确的是D．
故应选D．
【总结升华】本题的考点是指数函数单调性的应用，考查用函数的单调性比较大小，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用．
【高清课堂：指数函数
369066
例1】
【变式2】利用函数的性质比较，，
【答案】
【解析】=
作出的图象知
所以
【变式3】
比较1.5-0.2，
1.30.7，
的大小.
【答案】
【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)，
∴
在R上是减函数，∵
，
∴
，再考虑指数函数y=1.3x，
由于1.3>1，
所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1，
∴
.
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
例6.
(分类讨论指数函数的单调性)化简：
【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对进行分类讨论，去掉绝对值。
【解析】
举一反三：
【变式1】如果（，且），求的取值范围．
【答案】当时，；当时，
【解析】（1）当时，由于，
，解得．
（2）当时，由于，
，解得．
综上所述，的取值范围是：当时，；当时，．
类型四、判断函数的奇偶性
例7．判断下列函数的奇偶性：
(为奇函数)
【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则
∴
g(x)为奇函数，
又
∵为奇函数，∴
f(x)为偶函数.
【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：.
【答案】偶函数
【解析】定义域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴
f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.
类型五、指数函数的图象问题
例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．
举一反三：
【变式1】
设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】=
故可作出的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，故必有，所以．?故选D．
【变式2】为了得到函数的图象，可以把函数的图象(　　)
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
【答案】C
【解析】注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．
∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选C．
【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．巩固练习
1.函数的定义域是(
)
A.[0，+∞）
B.(-∞，0)
C.(0，+∞)
D.R
2.
设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（
）．
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
3．当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是（
）．
A.
B.
C.
D.
4．如果是幂函数，则在其定义域上是（
）．
A.增函数
B.减函数
C.在上是增函数，在上是减函数
D.在上是减函数，在上也是减函数
5.
如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小(
)
A．
B．
C．
D．
6.
三个数，，的大小顺序是(
)
A.cB.cC.aD.b7．（2015年辽宁沈阳月考）已知幂函数（k∈R，a∈R）的图象过点，则k+a=（
）
A．
B．1
C．
D．2
8.若幂函数存在反函数，且反函数的图象经过则的表达式为(
)
A.
B.
C.
D.
9.函数的定义域是
.
10.已知，且，则
.
11．（2015
安徽郎溪返校考）已知幂函数，若，则的取值范围是
12．（2016
江西模拟）幂函数在（0，+∞）上为增函数，则m=________．
13．(2015秋
安徽铜陵期中)已知幂函数的图象关于y轴对称，并且f（x）在第一象限是单调递减函数．
（1）求m的值；
（2）解不等式f（1－2x）≥f（2）．
14．（2016春
江西抚州期中）已知函数（m∈Z）是偶函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2），求g（x）的定义域和值域．
15.已知幂函数在上是增函数，且在其定义域内是偶函数.
（1）求的值，并写出相应的函数
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在上是增函数，若存在，请求出来，若不存在，请说明理由。
答案与解析
1.【答案】C
2.【答案】A
【解析】当时，为奇函数，当时在上单调递减，同时满足两个条件的只有一个，即．故选A．
3.【答案】B
【解析】因为是偶函数，排除A、D；又要求当时，图象在直线下方，故适合．
4.【答案】D
【解析】要使为幂函数，则，即．当时，，．在上是减函数，在上也是减函数．
5.【答案】D
【解析】在上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故，故选D．
6.【答案】B
【解析】因为指数函数是减函数，所以，故．又幂函数在上是减函数，所以，故，所以．
7．【答案】A
【解析】∵幂函数（k∈R，a∈R）的图象过点，
∴k=1，，∴；
∴．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】因为反函数的图象经过，所以原函数图象经过，所以，解得，故选B．
9.【答案】
【解析】原函数，所以解得．
10.【答案】-26
令，则为奇函数，又=10，。。
11．【答案】(3,4)
【解析】由题意，因为是幂函数，所以x＞0，且是递减函数
又因为
所以有
，即
所以，即a的取值范围是(3,4)
12．【答案】2
【解析】∵函数为幂函数，且在（0，+∞）是偶函数，
∴，
解得m=2，或m=―1．
当m=―1时，幂函数在（0，+∞）上是减函数，不满足题意，应舍去；
当m=2时，幂函数在（0，+∞）上是增函数，满足题意；
∴实数m的值为2．
故答案为2．
13．【答案】（1）m=1；（2）
【解析】因为幂函数的图象关于y轴对称，
所以函数f（x）是偶函数，
∴为偶数，
∴为奇函数，
故m=1；
（2）∵f（x）在第一象限是单调减函数，f（x）为偶函数，
又f（1－2x）≥f（2），
∴|1－2x|≤2，
解得：．
14．【答案】（1）m=1，；（2）略
【解析】（1）∵f（x）在（0，+∞）单调递增，
由幂函数的性质得，
解得，
∵m∈Z，∴m=0或m=1．
当m=0时，不是偶函数，舍去；
当m=1时，是偶函数，
∴m=1，；
（2）由（1）知，由得－3＜x＜1，
∴g（x）的定义域为（―3，1）．
设，x∈（－3，1），则t∈（0，4]，
此时g（x）的值域，就是函数，t∈（0，4]的值域．
在区间（0，4]上是增函数，∴y∈（－∞，2]；
∴函数g（x）的值域为（－∞，2]．
15.【解析】（1）在上是增函数，
，
，由，得。
当或时，不合题意。
由此可知当时，相应的函数式为
（2）函数，假设存在实数使得满足条件。设，则
=
=
=。
①若，易得，，要使在上是减函数，则应使恒成立，，
又，，从而欲使恒成立，则应有成立，即，
②同理，时，应有。由①②可得，综上所述，存在这样的实数，使得在上是减函数，且在上是增函数。
点评：在（2）问求的时候采用了恒成立的问题的解法，进而转化为求最值由两个区间上求得的值取交集即为所求。【巩固练习】
1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．设函数f（x）＝则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．函数在上递减，那么在上（
）
A．递增且无最大值
B．递减且无最小值
C．递增且有最大值
D．递减且有最小值
4．若函数（a＞0，a≠1）为增函数，那么的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
5．函数的定义域为（
）；
A．
B．
C．
D．
6．已知是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（
）
A．
（0，1）
B．
（1，2）
C．
（0，2）
D．
[2，+∞）
7．已知,
判断、、之间的大小关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．函数的反函数是（
）
A．
B．
C．
D．
9．不等式的解集为
．
10．已知函数，对任意都有,则、
、的大小顺序是
．
11．（2016春
天津期末）若函数定义域为R，则a的取值范围是________．
12．若函数是奇函数，则为
．
13．已知，求函数的值域．
14．已知函数，其中x∈[0，3]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）－a≥0恒成立，求a的取值范围．
15．（2016春
福建漳州月考）已知函数
（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≥2成立，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】．
2．【答案】D
【解析】不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D．
3．【答案】A
【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值．
4．【答案】C
分析：要想判断函数的图象，我们可以先观察到函数的解析式中x的取值范围，得到其定义域从而得到图象的大致位置，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象即可．
【解析】∵函数（a＞0，a≠1）为增函数，
∴a＞1，，
考察函数的定义域：由得x＞－1，
则函数的定义域为：（－1，+∞），即函数图象只出现在直线x=－1轴右侧；
又函数可看成，的复合，
其中和均在各自的定义域是减函数，
从而得出函数在区间（－1，+∞）上递增，
且当x=0时，，即图象过原点，
分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．
故选C．
点评：要想判断函数的图象，我们先要求出其定义域，再根据解析式，分析其单调性、奇偶性、周期性等性质，根据定义域、值域分析函数图象所处的区域，根据函数的性质分析函数图象的形状，如果还不能判断的话，可以代入特殊值，根据特殊点的位置进行判断．
5．【答案】D
【解析】．
故选D．
6．【答案】B
分析：本题必须保证：①使有意义，即a＞0且a≠1，2－ax＞0．②使在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数可分解为，u=2－ax，其中u=2－ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是定义域的子集．
【解析】∵在[0，1]上是x的减函数，
∴f（0）＞f（1），
即．
∴，
∴1＜a＜2．
故答案为：B．
点评：本题综合了多个知识点，需要概念清楚，推理正确．（1）复合函数的单调性；（2）函数定义域，对数真数大于零，底数大于0，不等于1．
7．【答案】B
【解析】先比较两个同底的，即与，因为函数是单调递减的，又，所以．再比较两个同指数的，即与，因为函数在上是增函数，又，所以．
8．【答案】D
【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D．
9．【答案】
【解析】依题意得，，，即，解得．
10．【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以
11．【答案】[－1，0]
【解析】∵函数定义域为R
∴恒成立即恒成立
则，解得－1≤a≤0
故答案为：[－1，0]
12．【答案】2
【解析】
．
13．【答案】
【解析】，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．
14．【答案】（1），；（2）（－∞，－10]
分析：（1）由题意可得，（0≤x≤3），令，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≥f（x）恒成立恒成立，结合（1）可求
【解析】（1）∵（0≤x≤3）
∴（0≤x≤3）
令，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8．
令（1≤t≤8）
当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．
∴，
（2）∵f（x）－a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．
∴a≤f（x）min恒成立．
由（1）知，
∴a≤－10．
故a的取值范围为（－∞，－10]
点评：本题以指数函数的值域为载体，主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，及函数的恒成立与函数最值的相互转化关系的应用．
15．【答案】（1）（―∞，―1）∪（1，+∞）；（2）
【解析】（1）当a=4时，要使函数式有意义，则
｜2x－1｜+｜x+2｜＞4，分类讨论如下：
①当时，2x－1+x+2＞4，解得x＞1；
②当时，1－2x+x+2＞4，解得－2≤x＜－1；
③当x＜―2时，1―2x―x―2＞4，解得x＜－2，
综合以上讨论得，x∈（―∞，―1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）≥2恒成立，
∴|2x―1|+|x+2|―a＞4恒成立，
分离参数a得，a＜|2x―1|+|x+2|―4，
所以，a≤[|2x―1|+|x+2|―4]min，
记g（x）=|2x―1|+|x+2|―4，
分析可知，当时，，
所以，实数a的取值范围为．
PAGE巩固练习
1．函数在R上是减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（
）
A．2
B．
C．
D．
3．已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．用表示三个数中的最小值．设，则的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6　　
D．7
5．函数的值域是（
）
A．
B．
　　C．
D．
6．已知，则函数的图像必定不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．（2015年山东高考）设函数则满足的a的取值范围是
A．
B．[0,1]
C．
D．[1,+∞）
8．一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（
）
A．
B．
C．
D．
9．设函数若，则的取值范围是_________．
10．函数的值域是区间，则与的大小关系是
.
11．函数的值域是
．
12．方程的实数解的个数为
．
13．（2016
哈尔滨四模）若函数（a∈R）满足f（2+x）=f（2－x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值为________．
14．设，解关于的不等式．
15．已知为定义在
上的奇函数，当时，函数解析式为.
（Ⅰ）求在上的解析式；（Ⅱ）求在上的最值．
16．（2016
四川简阳市月考）已知函数的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）－f（x+2）
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）若x∈[0，1]，求函数g（x）的最大值和最小值．
17．某工厂今年月，月，月生产某产品分别为万件，万件，万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系．模拟函数可以选二次函数或函数（其中，，为常数）．已知月份该产品的产量为万件，请问，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
答案与解析
1．【答案】D
【解析】因为函数是上的减函数，所以，所以，即．
2．【答案】B
【解析】因为（1），所以，又为奇函数，为偶函数，所以（2），有（1）、（2）得：．．
3．【答案】C
【解析】（2）（4）（5）正确，其余错误．
4．【答案】C
【解析】由题意易知，画出的图象，易知的最大值为6．
5．【答案】D
【解析】当时，；
当时，，故选D．
6．【答案】A
【解析】取特殊值法，取，所以得函数=，由图象平移的知识知，
函数=的图象是由函数=的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限．
7．【答案】C
【解析】当a≥1时，
当a＜1时，，若，则
即3a－1≥1
综上：
故选C
8．【答案】D
【解析】一年后价值为，两年后价值为，…，年后价值为，故选D．
9．【答案】
【解析】当时，由可知，；当时，由可知，，∴
或
．
10．【答案】
【解析】由题意，的值域是区间
所以
如图，画出的图像
是偶函数，所以，而，
所以
11．【答案】
【解析】令，∵
，又∵为减函数，∴．
12．【答案】2
【解析】分别作出函数与函数的图象，当，从图象上可以看出它们有2个交点．
13．【答案】2
【解析】∵；
∴f（x）关于x=a对称；
又f（2+x）=f（2－x）；
∴f（x）关于x=2对称；
∴a=2；
∴；
∴f（x）的单调递增区间为[2，+∞）；
又f（x）在[m，+∞）上单调递增；
∴实数m的最小值为2．
故答案为：2
14．【解析】∵，∴
在上为减函数，∵
，
∴．
15．【答案】（Ⅰ）＝；（Ⅱ）最大与最小值分别为0，
【解析】（Ⅰ）设，则．
∴＝－＝
又∵＝－()
∴＝.
所以，在上的解析式为＝
（Ⅱ）当，＝，
∴设，则
∵，∴
当时，，.
当时，，.
所以，函数在[0,1]上的最大与最小值分别为0，
16．【答案】（1），[0，1]；（2）函数g（x）的最大值为―3，最小值为―4
【解析】（1），
∵的定义域是[0，3]，
∴，解得0≤x≤1，
∴g（x）的定义域为[0，1]．
（2）由（1）得，
设，则t∈[1，2]，
∴，
∴g（t）在[1，2]上单调递减，
∴g（t）max=g（1）=―3，g（t）min=g（2）=―4．
∴函数g（x）的最大值为―3，最小值为―4．
17．【答案】用函数作为模拟函数较好．
【解析】设，
则，
解得，，．
．
．
再设，则，
解得，，．
，
．
经比较可知，用作为模拟函数好．几类不同增长的函数模型
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．
【要点梳理】
要点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．
综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有
三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；
2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；
3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．
如图所示：
要点诠释：
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．
常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数．
（3）指数函数模型
（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．
（4）对数函数模型
（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．
（5）反比例函数模型
．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
【典型例题】
类型一、研究函数的变化规律并比较其大小
例1．（1）已知函数，分别求在（－1，0）、[0，3）、[3，5）、[5，+∞）上的零点及总个数．
（2）比较2x与x2的大小关系．
（3）通过作图，比较2x、x2、log2x的大小关系．
【答案】（1）3
（2）略（3）略
【解析】运用图象估计零点区间，借助计算器或计算机求出精确解，然后再分区间讨论、比较函数值的大小．
（1）应用计算器或计算机，以合适的长列出自变量与函数值的对应值表．
x
…
－2
－1
0
2
4
6
y=2x
…
0.25
0.5
1
4
16
64
y=x2
…
4
1
0
4
16
36
y=2x－x2
…
－3.75
－0.5
1
0
0
28
x
8
10
12
14
16
…
y=2x
256
1024
4096
16384
65536
…
y=x2
64
100
14
196
256
…
y=2x－x2
192
924
3952
16188
65280
…
应用二分法可求得（－1，0）中x≈－0.7666，[0，3）中x=2.000，[3，5）中x=4.000，[5，+∞）中无零点．
∴共有3个零点，分别为x1≈－0.7666，x2=2.000，x3=4.000．
（2）在同一平面直角坐标系中画出y=2x，y=x2，y=log2x的图象，如图所示．
当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；
当x∈（－0.7666，2.000）时，2x＞x2；当x=－0.7666时，2x=x2；
当x∈（2.000，4.000）时，2x＜x2；当x=2.000时，2x=x2；
当x∈（4.000，+∞）时，2x＞x2；当x=4.000
，2x=x2．
（3）当x∈（－∞，－0.7666）时，2x＜x2；log2x不存在；
当x∈（－0.7666,0）时，2x＞x2；log2x不存在；当x=－0.7666时，2x=x2；
当x∈（0，2.000）时，log2x＜x2＜2x；
当x∈（2.000，4.000）时，log2x＜2x＜x2；当x=2.000时，log2x＜2x=x2；
当x∈（4.000，+∞）时，log2x＜x2＜2x；当x=4.000时，log2x＜x2=2x．
【总结升华】由本例我们可以进一步领悟幂函数、指数函数、对数函数的增长规律，即在（0，+∞）上必存在一个x0，使得当x＞x0时，logax＜xn＜ax（a＞1）恒成立．但在（0，x0）上，该不等式不一定成立．
举一反三：
【变式1】（2015
北京高考）三个数中最大的数是
．
【答案】
【解析】本题考查幂指对函数比较大小问题．
，所以最大．
故答案为：．
类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型
【高清课程：几类不同增长的函数模型377565
例1】
例2．假设你有一批资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报率如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
【答案】投资1-6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8-10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．
【解析】设第天所得回报是元，则方案一可以用函数进行描述；方案二可以用函数进行描述；方案三可以用函数进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．
如图
举一反三：
【变式1】我国是电力资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用电的目的，某市每户每月用电收费采用“阶梯电价”的办法，具体规定如下：
用电量（千瓦时）
电费（元|千瓦时）
不超过200的部分
0.56
超过200至300的部分
0.64
超过300的部分
0.96
解答以下问题：（1）写出每月电费（元）与用电量（千瓦时）的函数关系式；
（2）若该市某家庭某月的用电费为224元，该家庭当月的用电量是多少？
【答案】（1）；（2）350
【解析】（1）当时，
　　　　　
当时，
　　　　
当时，
　　　　　　　
（2）由（1）知
　　　　
由，得x=350
　　　
∴
该家庭月用电量为350千瓦时
例3．（2016
江苏新沂市模拟）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，，当m―n≥0时，称不亏损企业；当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
【思路点拨】（1）通过解不等式m－n≥0，计算即得结论；
（2）通过（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，通过配方可知亏损额，进而计算可得结论．
【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值
【解析】（1）依题意，m－n≥0，即，
整理和：，
解得：x≥4或x≤－2（舍），
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；
（2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，
亏损额，
∴当x=1时，n－m取最大值，
答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
【总结升华】本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意分析题设条件中的数量关系，合理地进行等价转化，注意解题方法的积累．
举一反三：
【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例3】
【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x
=
t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y
=
f（t）的图象大致是（
）
【答案】D
【解析】
函数
故选
D．
例4．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？
【答案】复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．
【解析】按复利计算利息，也就是增长率问题．
已知本金为a元．
1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r)；
2期后的本利和为y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；
3期后的本利和为y3=a(1+r)3；
……
x期后的本利和为y=a(1+r)x．
将a=1000（元），r=2.25%，x=5代入上式得
y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255．
由计算器算得y=1117.68（元）．
答：复利函数式为y=a(1+r)x，5期后的本利和为1117.68元．
【总结升华】上述公式y=a(1+r)x是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．
举一反三：
【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．
【答案】219.01
【变式2】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．
【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．
（1）1年后该城市人口总数为：
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3；
……
x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x．
（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1+1.2%)x=120，
．
（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120，
由此有(1+x)20≤1.2，
由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，
即年自然增长率应控制在0.9%以内．
【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
A
B
O
x
=t
PAGE集合及集合的表示（B层）
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一：集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
要点诠释：
（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．
（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
要点诠释：
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．
解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong
to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not
belong
to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty
set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N
或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二：集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1.
自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2.
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{
}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
要点诠释：
（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法.
如下图，就表示集合.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
【答案】是
【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
【总结升华】（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
类型二：元素与集合的关系
例2．（2015
北京西城区学探诊）给出下列六个关系：
（1）0
（2）0{－1，1}
（3）{0}
（4）
（5）{0}{0，1}
（6）{0}{0}
其中正确的关系是
．
【答案】（2）（4）（6）
【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作，N表示自然数集，或表示正整数集，Z表示正整数集，Q表示有理数集，R表示实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质．给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一．解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论．
【解析】（1）0不是正整数，故错误；
（2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确；
（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；
（4）空集是任何一个集合的真子集，故正确；
（5）是集合与集合的关系，应该使用符号或，故错误；
（6）一个集合是它本身的子集，故正确．
【总结升华】本题主要是区别0，{0}，和非空数集以及常用的集合之间的关系．此类问题在解答时，既要熟悉集合的常用符号，又要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质，特别是{0}与，最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．
举一反三：
【变式1】
用符号“”或“”填空
（1）若,则
；-2
.
（2）若则
；-2
.
【答案】
（1），
（2），
类型三：集合中元素性质的应用
例3.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“
”（即对任意的，对于有序元素对（a,b）,在中唯一确定的元素与之对应），若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】抓住本题的本质恒成立.
只要为中元素即可有.
B中由已知即为符合已知条件形式.中即可.
D中相当于已知中的也正确.只有A不一定正确.
【总结升华】本题应紧紧抓住关系式，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.
例4.
，则M=(
)
A.
{2，3}
B.
{1，2，3，4}
C.
{1，2，3，6}
D.
{-1，2，3，4}
【答案】D
【解析】集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以
由aZ，所以-1≤a≤4
当a=-1时，符合题意；
当a=0时，不符合题意；
当a=1时，不符合题意；
当a=2时，符合题意；
当a=3时，符合题意；
当a=4时，符合题意.
故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.
举一反三：
【变式】（2015
北京西城区期末）设M={1，2}，N={1，2，3}，，则集合P中元素的个数为
．
【答案】4个
【解析】集合P中的元素满足c=a+b，且，所以
由aM，bN
当a=1，b=1时，c=1+1=2；
当a=1，b=2时，c=1+2=3；
当a=1，b=3时，c=1+3=4；
当a=2，b=1时，c=2+1=3；
当a=2，b=2时，c=2+2=4；
当a=2，b=3时，c=2+3=5；
故根据元素的互异性，P中元素，即P={2，3，4，5}，答案为4个．
例5.
设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
【答案】0，1
【解析】由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合，若，求实数的值及集合.
【答案】，
【解析】（1）若则.
所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（2）若，则或，
当时，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.
综上，，集合.
【总结升华】本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】（2015秋
无为县期中）已知集合，且－3∈A，求a的值．
【答案】
【解析】∵
－3∈A，
∴
a－2=－3，或，
得a=－1，或
检验知：a=－1不满足集合元素的互异性，
∴
，答案为．
例7．（2016春
徐州期中）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
，且
（1）若3∈A，求A；
（2）证明：若a∈A，则；
（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）略；（3）
【思路点拨】（1）根据集合A的定义，找出A的所有元素即可；
（2）由集合A的定义证明即可；
（3）假设A只有一个元素，然后转化为一元二次方程解的问题．
【解析】（1）∵
3∈A，∴
∴
∴
∴
（2）∵
a∈A，∴
∴
（3）假设集合A只有一个元素，∏A={a}，则
即有且只有一个解，
又因为
∴
无实数解．
与有且只有一个实数解矛盾．
所以假设不成立，即集合A不能只有一个元素．
【总结升华】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.
类型四：集合的表示方法
例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
【答案】；．
【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
【总结升华】（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3，
xN，
yN}
(3)C={y|x+y=3，xN，
yN}
(4)
(5)
(6)P={x|x(x-a)=0，
aR}
【解析】本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
【总结升华】此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程的解集；
（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为．
（2）方程可化为，
方程的解集为．
（3）用描述法表示为．
【总结升华】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
1，2，3，4
PAGE【巩固练习】
1．（2016
青岛一模）函数的定义域为（
）
A．（－∞，1]
B．[－1，1]
C．[1，2]∪（2，+∞）
D．
2．设函数，则等于（
）
A．0
B．　　　
C．
D．
3．函数的值域是(
)
A．(-∞，)∪(，+∞)
　　B．(-∞，)∪(，+∞)
C．R
　　
　D．(-∞，)∪(2，+∞)
4．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论
(
)
①B中的任何一个元素在A中必有原象；
②A中的不同元素在B中的象也不同；
③A中任何一个元素在B中的象是唯一的；
④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．
其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个　　　
C．3个
D．4个
5．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有
(
)个．
A．1个
B．2个　　　
C．3个
D．4个
6．若
则表达式为
（
）
A．
B．
C．
D．
7．设函数则的值为（
）
A．
B．　　　
C．
D．18
8．汽车经过启运、加速行驶、匀速行使、减速行使之后停车，若把这一过程中汽车的行使路程看做是时间的函数，其图象可能是（
）
9．设函数则实数的取值范围是
．
10．（2016春
盐城期中）函数f（x）=｜x－1｜+｜x－2｜的值域是________．
11．如图，有一块边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是，则关于的函数关系式为
；此函数的定义域是
．
12．已知函数分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则的值
；满足的的值
.
13．设函数，
（1）求的值；（2）若，求的值．
14．作出下列函数的图象：
（1）；（2）.
15．（2015秋
成都期末）一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010
km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式．
16．已知函数的定义域为，值域为．
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若1，求实数的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由函数，
得，
解得，
即－1≤x≤1且；
所以函数y的定义域为．
故选D．
2．【答案】B．
【解析】把和代入函数解析式相减求得．
3．【答案】B．
【解析】法一：由y=，∴x=
∴y≠，
应选B．
　　　法二：
4．【答案】A．
【解析】由映射的概念知，只有③正确．
5．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
6．【答案】B
【解析】∵
∴
∴
，故选B
7．【答案】C
【解析】
，，故．
8.
【答案】A.
9．【答案】
【解析】当，这是矛盾的；当.
10．【答案】[1，+∞）
【解析】∵｜x―1｜+｜x―2｜≥｜(x－1)－(x－2)｜≥1；
∴f（x）≥1；
即函数f（x）的值域是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
11．【答案】
【解析】设，对称轴，当时，.
12．【答案】1，2
13．【答案】（1）0，（2）
【解析】（1）
；．
（2）或或解得．
14．【解析】
15．【答案】（1）汽车在3小时内行驶的路程为220
km；
（2）
【解析】（1）由已知中的图象可得，
阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1=220．
由图象表示辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系
故图象的面积表示汽车行驶的路程，
∴阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220
km．
（2）根据图示，三个小时内的速度分别为50，80，90，
故有．
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，，
函数的定义域,值域,
．
（Ⅱ）
由1，得，所以．
PAGE幂函数及图象变换
【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题．
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：的图象变换，
（1）平移变换
y=f(x)→y=f(x＋a)
图象左（）、右（）平移
y=f(x)→y=f(x)＋b
图象上（）、下（）平移
（2）对称变换
y=f(x)
→y=f(－x),
图象关于y轴对称
y=f(x)
→y=－f(x)
,
图象关于x轴对称
y=f(x)
→y=－f(－x)
图象关于原点对称
y=f(x)→
图象关于直线y=x对称
（3）翻折变换：
y=f(x)
→y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分
关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y=f(x)
→y=|f(x)|
把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象
关于x轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.（2015秋
湖南长沙期末）已知幂函数（k∈N
）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式．
【思路点拨】利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N
，求出k的值，写出函数的解析式．
【答案】
【解析】幂函数（k∈N
）的图象关于y轴对称，
所以，，解得－1＜k＜3，
因为k∈N
，所以k=1，2；且幂函数（k∈N
）在区间（0，+∞）为减函数，
∴k=1，
函数的解析式为：．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式1】已知幂函数的图象过点，则=
．
【答案】
【解析】设，则由图象过点，可得，即
，所以，即．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．
【答案】⑥④③②⑦①⑤
【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象．
由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．
由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．
最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．
【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
举一反三：
【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为：
．
【答案】
【变式2】
已知幂函数的图象如图所示，则（
）
A.均为奇数，且
B.为偶数，为奇数，且
C.
为奇数，为偶数，且
D.
为奇数，为偶数，且
【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．
类型三、幂函数的性质
例3．有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：
（1）是奇函数；（2）是内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？
【答案】21；3
【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题．
由幂函数的性质知，在内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合、、，而幂函数小于零的构成集合，依题意得=15，=12,
=18.又，,,所以,则=15+18-12=21，即共有幂函数21个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）．
【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质．
例4.比较下列各组数的大小.
(1)
与；
(2)与，（3）和.
【答案】(1)>；(2)<；(3)<
<．
【解析】(1)
由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数.
∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴
.即.
（3），
【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例5.（2015秋
西宁校级期中）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．
【思路点拨】（1）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值．
（2）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若，得到关于k的不等式组，解得即可．
【答案】（1）m=0；（2）[0，1]
【解析】（1）依题意得：，
解得m=0或m=2
当m=2时，在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．
（2）由（1）知，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=[2―k，4―k]，
∵，
∴
解得，0≤k≤1
故实数k的取值范围为[0，1]
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵，
考察的图象，得以下四种可能情况:
(1)
(2)
(3)
(4)
分别解得:(1).
(2)无解.
(3).
(4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使，
即，
解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用
高清课程：幂函数及图象变换
例3
例6.
求出函数的单调区间，并比较与的大小．
【答案】在上是增函数，在上是减函数
【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．
在上找出点关于直线的对称点．
由，
．
【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内．
例7.
设m∈N
，已知函数在(0,+∞)上是增函数．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，或
解得：或
再由m∈N
，，即．
（2）任取且，则
=
…（
）
当，即时，
由于，，得（
）<0，即
故在上单调递增．
当，即时，得（
）>0，即
故在上单调递增．
综上，在上，．
举一反三：
【变式1】（2015秋
忻州校级期末）已知函数为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【答案】（1）m=1，；（2）（1，2）
【解析】（1）∵f（x）为偶函数，∴为偶数，
又f（3）＜f（5），∴，即有：，
∴
，∴，又m∈Z，∴m=0或m=1．
当m=0时，为奇数（舍去），
当m=1时，为偶数，符合题意．
∴m=1，
（2）由（1）知：（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数．
令，；
①当a＞1时，为增函数，只需在区间[2，3]上为增函数．
即：
②当0＜a＜1时，为减函数，只需在区间[2，3]上为减函数．
即：，
综上可知：a的取值范围为：（1，2）．
类型六：基本初等函数图象变换
例8．作出下列函数的图象：
(1)
y=lgx，
y=lg(-x)，
y=-lgx；
(2)
y=lg|x|；
(3)
y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)；
(2)如图(2)；
(3)如图(3).
【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可．
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得．
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称．
举一反三：
高清课程：幂函数及图象变换
例4（1）
【变式1】作出的图象．
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象．
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成．
第一步：作的图象甲．
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙．
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙．
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁．
向上平移2个单位
向左平移1个单位
PAGE几类不同增长的函数模型
【学习目标】
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．
3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．
【要点梳理】
要点一：几类函数模型的增长差异
一般地，对于指数函数和幂函数，通过探索可以发现，在区间上，无论比大多少，尽管在的一定范围内，会小于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．同样地，对于对数函数增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与轴平行一样，尽管在的一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此总存在一个，当时，就会有．
综上所述，在区间上，尽管函数、和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长则会越来越慢，因此总会存在一个，当时，就有
三类函数模型增长规律的定性描述：
1．直线上升反映了一次函数（一次项系数大于零）的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数）；
2．指数爆炸反映了指数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度迅速（越来越快）；
3．对数增长反映了对数函数（底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓（越来越慢）．
如图所示：
要点诠释：
当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．
要点二：利用函数的增长规律在实际问题中建立函数模型
若实际问题的增长规律与一些常见函数的增长规律相吻合，则可在实际问题中建立相应的函数模型，确定其系数，便得到相应的函数模型，从而完成建模．
常用的函数模型有以下几类：
（1）线性增长模型：；（2）线性减少模型：．
（2）二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数．
（3）指数函数模型
（a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1），当时，为快速增长模型；当时，为平缓减少模型．
（4）对数函数模型
（m、n、a为常数，a＞0，a≠1）；当时，为平缓增长模型；当时，为快速减少模型．
（5）反比例函数模型
．当时，函数在区间和上都是减函数；当时，函数在和上都是增函数．
（6）分段函数模型
当自变量在几个区间上的函数关系式不相同时，问题应用分段函数来解决．
【典型例题】
类型一、研究函数的变化规律并比较其大小
例1.
当x＞0时，比较，，的大小．
【解析】作出函数，，的图象（如下图所示）．
由二分法可得，方程的解为x=0.5，方程的近似解为x=0.64118574，方程的近似解为x=0.587774756．
由图象及上述近似解可知，当0＜x＜0.5时，；当x=0.5时，；当0.5＜x＜0.587774756时，；
当x=0.587774756时，；
当0.587774756＜x＜0.64118574时，；
当x=0.64118574时，；
当x＞0.64118574时，．
【总结升华】本例归纳到一般有如下规律：在区间（0，+∞）上，尽管函数y=ax（0＜a＜1）、y=logax（0＜a＜1）和y=xn（n＜0）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y=logax（0＜a＜1）的衰减速度越来越快，直至负值，因而远远大于y=ax（0＜a＜1）与y=xn（n＜0）的衰减速度．而y=ax（0＜a＜1），y=an（n＜0）都是在正值范围内衰减，随着x的不断增长，两者的衰减速度差距越来越小，其中y=an（n＜0）的衰减速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有xn＞ax＞logax．
举一反三：
【变式1】
比较、、的大小．
【答案】
【解析】分别画出的图象，可得结论．
类型二、利用几类函数的变化规律建立函数模型
例2．某种树苗栽种时高度为A(A为常数)米，栽种n年后的高度记为f(n)．经研究发现，f(n)近似地满足，其中，a，b为常数，n∈N，f(0)＝A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．问：栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
【答案】9
【解析】由题意知f(0)＝A，f(3)＝3A.
所以，解得a＝1，b＝8.
所以，其中.
令f(n)＝8A，得，解得，
即，所以n＝9.
答：栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．
【总结升华】本题将指数函数型嵌入树苗种植问题，使问题情景生动而新颖，自然而贴切．同学们不仅要学会二次函数的知识，而且还要会运用所学数学知识分析和解决生活实际问题，体验数学与生活“融合”的乐趣．
举一反三：
【高清课程：几类不同增长的函数模型377565
例3】
【变式1】如图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x
=
t（0≤t≤2）截这个三角形可得位于此直线左方的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数y
=
f（t）的图象大致是（
）
【答案】D
【解析】
函数
故选
D．
【变式2】据调查，某贫困地区约有100万人从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x（x＞0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a元（a＞0）．
（1）建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大．
【答案】（1）0＜x≤50；（2）50．
【解析】（1）由题意得，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50．
又∵x＞0，∴0＜x≤50．
（2）设这100万人农民的人均年收入为y元，则
，
即，0＜x≤50．
当0＜25(a+1)≤50且a＞0，即0＜a≤1时，则x=25(a+1)时，y取最大值．
当25(a+1)＞50即a＞1时，y在（0，5]上单调递增，
∴当x=50时，y取最大值．
答：在0＜a≤1时，安排25(a+1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．
【总结升华】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转译为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．
例3．某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，假如你是厂长，将会采用什么办法？
【解析】首先建立直角坐标系，画出散点图（右图）；其次，根据散点图，我们可以设想函数模型可能为一次函数型：f
(x)=kx+b（k≠0）；二次函数型：g
(x)=ax2+bx+c（a≠0）；幂函数型：；指数函数型：m
(x)=abx+c．最后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数．
设月产量为y万件，月份数为x，建立直角坐标系（如右图），可得A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）．
（1）对于直线，将B、C两点的坐标代入，有，，解得k=0.1，b=1，故．
将A、D两点的坐标代入，得f
(1)=1.1，与实际误差为0.1，f
(4)=1.4，与实际误差为0.03．
（2）对于二次函数，将A、B、C三点的坐标代，有g
(1)=a+b+c=1，g
(2)=4a+2b=c=1.2，g
(3)=9a+3b+c=1.3．
解得a=―0.05，b=0.35，c=0.7，故g
(x)=―0.05x2+0.35x+0.7．
将D点的坐标代入，得g
(4)=―0.05×42+0.35×4+0.17=1.3，与实际误差为0.07．
（3）对于幂函数型，将A、B两点的坐标代入，有h
(1)=a+b=1，．解得a≈0.48，b≈0.52．
故．
将C、D两点的坐标代入，得
，与实际误差为0.05；
h
(4)=0.48×2+0.52=1.48，与实际误差为0.11．
（4）对于指数函数型m(x)=abx+c，将A、B、C三点的坐标代入，得m
(1)=ab+c=1，m
(2)=ab2+c=1.2，m
(3)=ab3+c=1.3．
解得a=―0.8，b=0.5，c=1.4．故m
(x)=―0.8×(0.5)x+1.4．
将D点的坐标代入，得m
(4)=－0.8×(0.5)4+1.4=1.35，与实际误差为0.02．
比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m
(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m
(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m
(x)=－0.8×(0.5)x+1.4比较接近客观实际．
选用y=a·bx+c模型，且a=－0.8，b=0.5，c=1.4比较接近实际．
举一反三：
【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例4】
【变式1】某山区加强环境保护后，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么经过x年绿色植被的面积为y，则函数y
=
f(x)
的图象大致为（
）．
【答案】D
【解析】设某山区原有绿色植被为，则经过第一年增长后面积为，经过第二年增长后面积为，…，经过x年绿色植被的面积为，是指数型函数，故选D．
【变式2】“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨二不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x（x≤7）吨，试计算本季度他应交的水费y（单位：元）．
【思路点拨】根据每一季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%．分为三段，建立分段函数模型．
【答案】
【解析】由题意可知：
①当x∈[0，5]时
f（x）=1.2x
②若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%；
即：当x∈（5，6]时
f（x）=1.2×5+（x－5）×3.6=3.6x－12
③当x∈（6，7]时
f（x）=1.2×5+1×3.6+（x－6）×6=6x－26.4
∴
【总结升华】本题主要考查将实际应用问题转化为数学问题的能力，解题时要仔细阅读，抓住关键词，关键句来建立数学模型，分段函数的意义和应用．
例4．（2016春
江苏启东市月考）某人年初向银行贷款10万元用于购房，
（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的计算计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？（其中：1.0410=1.4802）
【思路点拨】（1）设每年还款x元，由题意可得，从而解x；
（2）设每年还款y元，由题意可得，从而解y．
【答案】（1）12245；（2）12330
【解析】（1）设每年还款x元，
则，
即，
解得，；
（2）设每年还款y元，
则，
即，
则．
【总结升华】上述公式是计算复利的本利和公式，应熟练掌握它，并灵活地运用它解决实际问题中的复利利息计算问题．所谓复利，就是到期后，本期的利息自动计入下一期的本金，类似地，到期后，本期的利息不计作下一期的本金就是单利，单利的计算公式为y=a(1+xr)．其中a为本金，r为每一期的利率，x为期数．
举一反三：
【变式1】甲、乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄．甲存五年定期储蓄，年利率为2.88%；乙存一年期定期储蓄．年利率为2.25%，并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄．按规定每次计算时，储户须交纳利息的20%作为利息税．若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲、乙所得本息之和的差为________元．
【答案】219.01
【变式2】某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为（n+1）元时，比礼品价值为n元（n∈N
）时的销售量增加10%．
（1）写出礼品价值为n元时，利润yn（元）与n（元）的函数关系式；
（2）请你设计礼品的价值，以使商品获得最大利润．
【答案】（1）；
（2）9元或10元．
【解析】第（1）问易得，第（2）问礼品的价值为多少时，使商店获取最大的利润，只需借助于指数函数的单调性，使得n取某个值时，其前面的取值与后面的取值都比它小即可，即且．
（1）设未赠礼品时的销售量为m件，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1+10%)n；
利润．
（2）令，即，解得n≤9．
所以y1＜y2＜y3＜…＜y9=y10，
令，即，解得n≥8．
所以y9=y10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19，
所以礼品价值为9元或10元时，商品获得最大利润．
【高清课程：几类不同增长的函数模型377565例6】
例5．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．
（Ⅰ）写出y的表达式；
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）当时，；当时，．
【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：
总的淋雨量为：，
即
（Ⅱ）①当即时
在上单调递减
时，最小，．
②当即时
在上单调递减，在上单调递增．
当时，最小，．
答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．
A
B
O
x
=t
PAGE【巩固练习】
1．汽车油箱为长方体形状容器，它的长是a
cm，宽是b
cm，高是c
cm，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车耗油量是n
cm3
/
km，汽车行驶路程y（km）与油箱内剩余油量的液面高度x（cm）的函数关系式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（
）
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
3．已知镭经过每100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1千克的镭经过x年剩留量为y千克，则y与x的函数关系是
（
）
A．
B．
C．
D．
4．某种产品市场销量情况如右图所示，其中：表示产品各年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应减少产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．②③
5．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2），甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2．关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的图象及关系，有下图中四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程），则其中可能正确的图示分析为（
）
6．（2016
南昌二模）某商场2015年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系且满足f（1）=8，f（3）=2的函数为（
）
A．
B．
C．
D．
7．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售
电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为
________元（用数字作答）.?
8．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系（a，b，c是常数），右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
9．现测得（x，y）的两组值为（1，2），（2，5），现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用________作为拟合模型较好．
10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为．现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t（单位时间）
0
2
4
6
8
10
A（t）
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A
(t)=________．
11．如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为，当一条垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y与x的函数．
12．（2016
闵行区二模）为配合上海迪斯尼游园工作，某单位设计人数的数学模型（n∈N+）：以表示第n时进入人数，以表示第n个时刻离开园区的人数；设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即n=1；9点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位：（最后结果四舍五入，精确到整数）．
（1）试计算当天14点到15点这一个小时内，进入园区的游客人数f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、离开园区的游客人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各为多少？
（2）从13点45分（即n=19）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】
行驶路程y
km所用油量为ny
cm3，又ny=ab(c－x)，所以，且0≤x≤c．
2．【答案】D
【解析】
由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
3．【答案】A
4．【答案】D
【解析】
由图可知，②③较为合理．
5．【答案】D
【解析】
在开始一段时间内，两者的速度都为v1，故开始应出现一段两图象重合的部分，故①②可能．
6．【答案】D
【解析】A．为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，
B．为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，
C．满足先下降后上升的趋势，f（1）=1―12+19=8，f（3）=9―12×3+19=―8，不满足条件f（3）=2．
D．满足先下降后上升的趋势，f（1）=1―7+14=8，f（3）=9―7×3+14=2，满足条件
故满足条件的函数为．
故选：D．
7.
【答案】148.4
【解析】高峰时段电费，低谷时段电费.
8．【答案】3.75
【解析】由题意得解之得
∴，最佳加工时间应是p最高的时候，
当t＝3.75时，p有最大值．故填3.75.
9．【答案】甲
【解析】描出已知三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较可知甲函数拟合效果较好．
10．【答案】4
【解析】（t≥0）
从测试记录易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0=320，则经过时间t的剩余质量为（t≥0）．
11．分析：直线l从左至右移动，分别于线段BG、GH、HC相交，与线段BG相交时，直线l左边的图形为三角形，与线段GH相交时，直线l左边的图形为三角形ABG与矩形AEFG，与线段HC相交时，直线l左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形CEF，各段利用面积公式可求得y．
【答案】
【解析】过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H．
因为ABCD是等腰梯形，底角为45°，cm，
所以BG=AG=DH=HC=2cm，又BC=7cm，所以AD=GH=3cm．
（1）当点F在BG上时，即x∈（0，2]时，；
（2）当点F在GH上时，即x∈（2，5]时，y=2+（x－2）?2=2x－2；
（3）当点F在HC上时，即x∈（5，7]时，．
所以，函数解析式为
点评：本题考查求分段函数的解析式，找到分段点，在各段找出已学过得的规则图形，化未知为已知，结合图形，比较直观．用到转化，化归与数形结合的思想．
12．【解析】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为
f（21）+f（22）+f（23）+f（24）（人）
离开园区的人数g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000（人）
（2）当f（n）－g（n）≥0时，园内游客人数递增；
当f（n）－g（n）＜0时，园内游客人数递减．
①当19≤n≤32时，由，可得：
当19≤n≤28时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；
当29≤n≤32时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；
（f（28）－g（28）=246.49＞0；f（29）―g（29）=―38.13＜0）
②当33≤n≤45时，由f（n）―g（n）=―720n+23600递减，且其值恒为负数，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少．
综上，当天下午16点时（n=28）园区内的游额人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人．【巩固练习】
1．函数的图象(
)
A．关于原点对称
B．关于轴对称
C．关于轴对称
D．不具有对称轴
2．已知函数为偶函数，则的值是(
)
A.
B.
C.
D.
3．设函数，且则等于（
）
A.-3
B.3
C.-5
D.
5
4．如果奇函数在区间
上是增函数且最大值为，那么在区间上是(
)
A．增函数且最小值是
B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是
D．减函数且最小值是
5．已知是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使的的范围是
A．
B．
C．
D．
6．（2016
天津静安区二模）若函数为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（－1）的值为（
）
A．－1
B．－3
C．2
D．－2
7．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是(
)
A．>
B．<
C．
D．
8．若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列说法一定正确的是（
）．
A．为奇函数
B．
为偶函数
C．为奇函数
D．为偶函数
9．已知函数为奇函数，且当x＞0时,，则的值为
（
）
A．2
B．﹣2
C．0
D．1
10．（2016
浙江绍兴一模）已知函数是奇函数，则a=____，f（f（1））=____．
11．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则
.
12．已知函数为偶函数，其定义域为，则的值域
．
13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．
(1)；
(2)
14．已知奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范围．
15．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论．
16．（2016
江苏扬州一模）定义在[－1，1]上的函数y=f（x）是增函数且是奇函数，若f（－a+1）+f（4a－5）＞0．求实数a的取值范围．
17．函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立．
（1）证明函数f(x)的奇偶性；
（2）若f(1)=
－2，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值；
（3）解关于x的不等式
【答案与解析】
1.
【答案】B.
【解析】因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.
2.
【答案】B.
【解析】
奇次项系数为
3.
【答案】C.
【解析】因为是奇函数，所以，所以
.
4.
【答案】A.
【解析】
奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
5.
【答案】A.
【解析】
6．【答案】A
【解析】∵函数为奇函数，
∴F（－X）=－F（x）．
由f（1）=1，则F（1）=2，
∴F（－1）=－2，即f（－1）+1=－2，
∴f（－1）=－3，
∴g（－1）=f（－1）+2=－1
故选A．
7.
【答案】C.
【解析】
，
8.
【答案】C.
【解析】解法一：（特殊函数法）由条件可取，所以是奇函数.
解法二：令，则，
令，则，
，为奇函数，故选C.
9.
【答案】
【解析】
设，则，，
∵∴，
10．【答案】－1，1
【解析】若函数f（x）是奇函数，
则f（－1）=－f（1），
即a+2=－（1－2）=1，则a=－1，
则f（1）=1－2=－1，
f（－1）=a+2=－1+2=1，
故答案为：－1，1
11.
【答案】
【解析】
在区间上也为递增函数，即
12．【答案】
【解析】因为函数为上的偶函数，所以即即，所以在上的值域为．
13．【解析】(1)定义域为，，所以是奇函数．
(2)函数的定义域为，当时，，此时，．
当时，，此时，．
当时，．
综上可知对任意都有，所以为偶函数．
14．【解析】由已知，由为奇函数，所以，
又在上是减函数，
解得
15．【解析】（1）
，．
（2），
．
=
故为奇函数．
16．【答案】
【解析】由f（－a+1）+f（4a－5）＞0得f（4a－5）＞－f（－a+1），
∵定义在[－1，1]上的函数y=f（x）是增函数且是奇函数，
∴不等式等价为f（4a－5）＞f（a－1），
则满足，得，即，
即实数a的取值范围是．
17．【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x即得f(－x)=－f(x）∴f(x）是奇函数
（2）设任意，且，则，由已知得
（1）
又
（2）
由（1）（2）可知，
由函数的单调性定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数
∴x∈[－2，2]时，，
∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4．
（3）由已知得：
由（1）知f(x）是奇函数，
∴上式又可化为：
由（2）知f(x）是R上的减函数，
∴上式即：
化简得
∴
原不等式的解集为或【巩固练习】
1．下列四个集合中，是空集的是(
)
A．
B．
C．
D．
2．集合可化简为（
）
A．
B．
C．
D．
3．集合
用描述法可表示为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5．
已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2016
衡水模拟）已知集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（
）
A．x+y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
D．
7．设集合，则
（
）
A．
B．
C．　
D．
8．
方程组用列举法表示为
．
9．设，则集合中所有元素之积为
．
10．（2015秋
嘉兴期末）（设非空集合S={x｜m≤x≤1}，对任意的x∈S，都有x2∈S，若，则l的取值范围________。
11．设a，b∈R，集合，则b－a=
．
12．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”．给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有
个．
13．已知集合，试用列举法表示集合．
14．（2015秋
益阳期中）已知集合A={x｜ax2+2x+1=0，x∈R}，a为实数。
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值。
15．已知集合={x|，}．
（1）若中只有一个元素，实数的取值范围．
（2）若中至少有一个元素，实数的取值范围．
（3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围．
16．设集合．
求证：（1）一切奇数属于集合；
（2）偶数不属于；
（3）属于的两个整数，其乘积仍属于．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根．
2．【答案】
B
【解析】解方程得，因为，故选B．
3．【答案】
C
【解析】集合A表示所有的正奇数，故C正确．
4．【答案】D
【解析】元素的互异性．
5．【答案】
D
【解析】，故选D．
6．【答案】C
【解析】∵集合A={t2+s2｜t，s∈Z}，
∴1∈A，2∈A，1+2=3A，故A“x+y∈A”错误；
又∵1―2=―1A，故B“x―y∈A”错误；
又∵，故D“”错误；
故选C。
7．【答案】B
【解析】本题考查元素与集合的关系，集合A用语言法叙述是所有大于－1的有理数，
所以0是集合A中的元素，故A错，
是无理数，不是集合A中的元素，故B正确，
{2}应该是集合A的子集，故错误，
而不是集合A的子集，故错误．故选B．
8．【答案】
【解析】加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集．
9．【答案】
【解析】
，，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为．
10．【答案】
【分析】由m的范围求得，再由题意列关于l的不等式组，解该不等式组即得l的范围。
【解析】由时，得，则，
解得：；
∴l的范围是。
故答案为：。
11．【答案】b－a=2
【解析】∵
，∴
a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
∴
a+b=0，，∴
－1∈，a=－1，
∵
a+b=0，b=1，∴
b－a=2．
12．【答案】6
【解析】若，因为1不是孤立元，所以．设另一元素为，假设，此时，，且，不合题意，故．据此分析满足条件的集合为，共有6个．
13．【答案】
【解析】由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即
．
14．【答案】（1）a＞1；（2）0或1
【解析】（1）若，则只需ax2+2x+1=0无实数解，显然a≠0，所以只需Δ=4－4a＜0，即a＞1即可。
（2）当a=0时，原方程化为2x+1=0解得；当a≠0时，只需Δ=4－4a=0，即a=1，故所求a的值为0或1。
15．【解析】（1）若时，则，解得，此时．
若时，则
或时，中只有一个元素．
（2）①中只有一个元素时，同上或．
②中有两个元素时，，解得且．综上．
（3）①时，原方程为，得符合题意；
②时，方程为一元二次方程，依题意，解得．
综上，实数的取值范围是或．
16．证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，．由的任意性知，一切奇数属于．
（2）首先我们证明如下命题：
设：，则与具有相同的奇偶性．
以下用反证法证明．
假设，则存在，使得．若与同为奇数，则（）（
）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（
）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．
综上所述，形如的偶数不属于．
（3）设，则存在，使得．
=
=，
又因为，均为整数，
．
PAGE对数及对数运算
【学习目标】
1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2．了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1．对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
要点诠释：
对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0
且a1，
N>0，
bR．
2．对数具有下列性质：
（1）0和负数没有对数，即；
（2）1的对数为0，即；
（3）底的对数等于1，即．
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，
．
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．
要点二、对数的运算法则
已知
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）与log2（-5）是不存在的．
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
loga（MN）=logaMlogaN，
loga（M·N）=logaM·logaN，
loga．
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，
a≠1，
M>0的前提下有:
（1）
令
logaM=b，
则有ab=M，
（ab）n=Mn，即，
即，即:．
（2），令logaM=b，
则有ab=M，
则有
即，
即，即
当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:
．
【典型例题】
类型一、对数的概念
例1．求下列各式中的取值范围：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）且
【解析】（1）由题意，，即为所求．
（2）由题意
即．
（3）由题意
解得且．
【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．
举一反三：
【变式1】函数的定义域为
．
【答案】
类型二、指数式与对数式互化及其应用
例2．将下列指数式与对数式互化：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【解析】运用对数的定义进行互化．
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
（1）
（2）
（3）lg1000=x
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．
（1）；
（2）；
（3）10x=1000=103，于是x=3；
（4）由．
【高清课堂：对数及对数运算369068例1】
【变式2】计算：并比较．
【解析】
．
类型三、利用对数恒等式化简求值
例3．不用计算器计算：
【答案】
【解析】原式
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．
举一反三：
【变式1】求的值（a，b，c∈R+，且不等于1，N>0）
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．
．
类型四、积、商、幂的对数
【高清课堂：对数及对数运算369068
例3】
例4．
表示下列各式
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式1】求值
（1）
　　（2）lg2·lg50+（lg5）2
（3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】（1）
（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1
（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2
=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．
类型五、换底公式的运用
例5．已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，则，
即
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
举一反三：
【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）
；
（2）；
（3）法一：
法二：．
类型六、对数运算法则的应用
例6．（2016春
陕西期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．
【答案】（1）；（2）0；（3）3；（4）44．
【解析】（1）
（2）原式=
=
（3）原式=
（4）．
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值
（1）；（2）．
【答案】（1）3；（2）1．
【解析】（1）原式==2=2+1=3；
（2）原式=+=
=．
【变式2】已知，则
．
【思路点拨】判断出，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．
【答案】3
【解析】∵，
∴，
故答案为：3集合及集合的表示
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一：集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
要点诠释：
（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．
（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
要点诠释：
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．
解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong
to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not
belong
to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty
set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N
或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二：集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1.
自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2.
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{
}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
要点诠释：
（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法.
如下图，就表示集合.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？
(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.
【答案】(4)、（5）
【解析】从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.
“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.
【总结升华】
(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.
举一反三：
【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.
【答案】集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）．
【解析】紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；
(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；
(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.
(4)
在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.
(5)
大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.
例2．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
【答案】是
【解析】由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
【总结升华】（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.
（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
【答案】aS
是
【解析】(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
【变式2】（2015秋
石嘴山月考）定义集合运算A⊙B={z|z=xy（z+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0,1}，B={2,3}，则集合A⊙B=
【思路点拨】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键，集合中元素不多时，将各个元素列举出来从而得到所求的集合．
【答案】{0，6，12}
【解析】当x=0，y=2时，；
当x=0，y=3时，；
当x=1，y=2时，；
当x=1，y=3时，，
∴
A⊙B={0,6，12}，故答案为：{0，6，12}．
【总结升华】本例题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度，弄准集合中元素的构造方式，考查列举法写集合，分类讨论思想．
类型二：元素与集合的关系
例3.（2015
北京西城区学探诊）给出下列六个关系：
（1）0
（2）0{－1，1}
（3）{0}
（4）
（5）{0}{0，1}
（6）{0}{0}
其中正确的关系是
．
【答案】（2）（4）（6）
【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作，N表示自然数集，或表示正整数集，Z表示正整数集，Q表示有理数集，R表示实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质．给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一．解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论．
【解析】（1）0不是正整数，故错误；
（2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确；
（3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误；
（4）空集是任何一个集合的真子集，故正确；
（5）是集合与集合的关系，应该使用符号或，故错误；
（6）一个集合是它本身的子集，故正确．
【总结升华】本题主要是区别0，{0}，和非空数集以及常用的集合之间的关系．此类问题在解答时，既要熟悉集合的常用符号，又要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质，特别是{0}与，最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．
举一反三：
【变式1】
用符号“”或“”填空
（1）若,则
；-2
.
（2）若则
；-2
.
【答案】
（1），
（2），
类型三：集合中元素性质的应用
例4.定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为
A.
0
B.
6
C.
12
D.
18
【答案】
D
【解析】，当时，
，于是的所有元素之和为0+6+12=18.
【总结升华】这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.
举一反三：
【变式1】定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（
）
A.
0
B.
2
C.
3
D.
6
【答案】D
【解析】，且，，
z的取值有：0，2，4
故，
集合的所有元素之和为：0+2+4=6.
例5.
设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
【答案】0，1
【解析】由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.（2015秋
吉林期中）已知集合．
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）若a=0，则有
；若，则有；（3）a=0或
【思路点拨】（1）A为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与Δ的关系，我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案。
（2）若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a的值。
（3）若A中至多只有一个元素，则集合A为空集或A中只有一个元素，由（1），（2）的结论，将（1），（2）中的a的取值并进来即可得到得到答案。
【解析】（1）若A是空集，则方程无解
此时Δ=9-8a＜0
即
（2）若A中只有一个元素，则方程有且只有一个实根
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0时，此时，解得：
∴
a=0或
若a=0，则有
；若，则有；
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是a=0或
举一反三：
【变式1】已知集合，，求实数的值
【答案】
【解析】当，即时，，与集合的概念矛盾，故舍去
当即时，不满足题意舍去，故.
类型四：集合的表示方法
例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
【答案】（1）；（2）．
【解析】(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
【总结升华】（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】本题是描述法与列举法的互化，一定要理解描述法的定义．
选项A，B都是描述法，用列举法表示为{0}，选项D是列举法，其中的元素是0，而选项C，是列举法，其中的元素是a=0，故选C．
【总结升华】通过此例题，应该明确用描述表示集合应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程的解集；
（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为．
（2）方程可化为，
方程的解集为．
（3）用描述法表示为．
【总结升华】用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
1，2，3，4
PAGE《函数应用》全章复习与巩固
编稿：丁会敏
审稿：王静伟
【学习目标】
1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点。
2．进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，在用函数的过程中理解函数的概念、性质和函数思想方法。
3．在用数学解决问题的实践中，感受数学应用的层次，体验数学建模的过程和步骤，了解数学建模的意义，发展应用数学的意识。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：函数、方程的有关问题
1．一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数
y=
ax2+bx+c
(a≠0）的图像有如下关系：
判别式=b2-4ac
>0
0
<0
二次函数y=ax2+bx+c
的图像
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两个不相等的实数根x1，x2
有两个相等实数根x1=x2
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
要点诠释：
（1）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
（2）方程的根与函数的零点：方程f(x)＝0有实数根的个数?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点的个数?函数y＝f(x)的零点的个数．
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
3.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
要点二：函数的实际应用
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
【典型例题】
类型一：关于函数的零点与方程根的关系问题
例1．求函数的零点。
【答案】1，2
【解析】
因为，
令，即，即
解得，所以函数的零点是1，2。
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式1】函数的零点。
【答案】
例2．函数的零点所在的一个区间是（
）
A．（－2，－1）
B．（－1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
【答案】C
【解析】
方法一：代数解法
因为，
所以函数的零点区间是（0，1），故选C。
方法二：几何解法
因为，可得
画出和的图象得出C正确。
【总结升华】函数零点、方程的根与函数图象的关系：函数有零点方程有实数根函数图象有交点。
举一反三：
【变式1】对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0.则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)
A．一定有零点　　　　　　B．一定没有零点
C．可能有两个零点
D．至多有一个零点
【答案】　C
【解析】　抛物线y＝f(x)的开口向上，与x轴可能有两个交点．
【变式2】判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．
【答案】
×
×
×
图象略
例3．求函数零点的个数。
【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数的图像不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程不易解，舍之．若将方程变形为：．构造函数与，方程的根即为方程组的解，函数的零点个数即为函数与图像的交点的个数．
【答案】0
【解析】函数与图像如图所示：
由此易知，函数与的图像交点个数为0，即得：函数的零点个数为0．
【总结升华】函数零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程变形为：，构造函数与，这两个函数的交点个数即为函数的零点的个数．这种方法数形结合，直观性强．
举一反三：
【变式1】求函数的零点的个数。
【答案】1
【解析】分别作出函数和的图象，可知两图象交点数为1个，故函数的零点为1个。
【变式2】二次函数中，，则函数的零点的个数是(
)
A.1　　B.2　　C.0　　D.无法确定
【解析】
解法1：
∴方程有两个不相等的实数根
∴函数有两个零点，选B.
解法2：
，
不论哪种情况，二次函数图象与x轴都有两个交点，所以函数有两个零点.选B.
【总结升华】可以利用函数图象或方程的判别式.
例4．试分析函数在区间[-5，5]上零点的分布情况．
【思路点拨】此题考查了函数的三个问题：(1)函数在区间上零点的存在问题；(2)函数在区间上零点的个数问题；(3)函数在区间上零点的分布问题．有以下方法：(1)解出的根，再看根的分布；(2)借助函数的图像，观察零点的分布；(3)用零点的存在性定理分析区间端点值的符号关系．
【解析】方法一：解方程，得，或．显然，在区间[-5，5]上，-1∈(-5，0)，2∈(0，5)．即函数有2个零点，分别为：-1，2．其中-1∈(-5，0)，2∈(0，5)．
方法二：作函数图像如图所示．
由图可知：函数有2个零点，分别为：-1，2．其中-1∈(-5，0)，2∈(0，5)．
方法三：函数在区间[-5，5]上是连续的，将区间[-5，5]端点代入函数得，，．
分析二次函数在区间[-5，5]上的单调性，知在区间上单凋递减，在上单调递增．又，得，，且，故由函数零点存在性定理知：函数在区间[-5，5]上有两个零点，分别在区间与内．
【总结升华】
分析函数在连接区间上的零点分布情况的方法有：（1）将函数问题转化为方程问题，求解方程的根，即得函数零点，再看零点的分布；（2）数形结合，利用函数图像直观分析零点的分布；（3）借助函数零点的存在性定理，此法的关键是对函数在已知区间的单调性分析．在分析零点所分布的区间时，答案是不唯一的．
举一反三：
【变式1】已知函数的图象与一次函数的图象有且只有一个交点。
求证：
【解析】函数的图象与一次函数的图象的交点一定是方程组的解，所以一定是方程的解。
令，则由题意可知是这个函数的唯一的零点。
又因为，所以。
例5．借助计算器或计算机用二分法求方程的一个近似解．（精确到0.01）
【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数的近似零点．注意到，则方程在[-l，0]内有实根，再用二分法求近似解．
【解析】考查函数，因为，，所以方程在[-l，0]内有实数解．
如此，得到方程的实数解所在区间的表：
1
左端点
右端点
第1次
-1
0
第2次
-1
0.5
第3次
-0.75
-0.5
第4次
-0.75
-0.625
第5次
-0.6875
-0.625
第6次
-0.6875
-0.65625
第7次
-0.6875
-0.671875
第8次
-0.6875
-0.6796875
第9次
-0.6875
-0.68359735
第10次
-0.6875
-0.685546875
至此，可以看出，区间[-0.687
5，-0.685546875]内的所有值，都精确到0.01都是0.69，所以0.69是方程精确到0.01的实数解．
【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法．用二分法求函数零点的近似值应注意：
（1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；
（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算；
（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们都符合给定的精确度．
举一反三：
【变式1】函数的负数零点的近似值是（精确到0.1）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
类型二：函数模型极其应用
例6(2015
静安区一模)某地的出租车价格规定：起步费a元，可行3公里，3公里以后按没公里b元计算，可再行7公里，超过10公里按每公里c元计算(这里a、b、c规定为正的常数，且c>b)，假设不考虑堵车和红绿灯所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)若取a=14，b=2.4，c=3.6,小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？
(2)求车费y(元)与行车里程x(公里)之间的函数关系式y=f(x)
【解析】(1)由题意可知，起步(3公里以内)价是14元，则这8公里内的前3公里的收费是14元，超过3公里以内每公里按2.4元计价，则8-3=5公里的收费是5
2.4=12元，总共收费14+12=26元.
故小明应付出租车费是26元.
(2)3公里以内价是a元，即时，y=a(元)
大于3公里而不超过10公里时，即
时，y=a+(x-3)b=bx+a-3b(元)
大与10公里时，即x>10时，y=a+7b+(x-10)c=cx+a+7b-10c(元)
举一反三：
【变式】(2015春
延庆县期末)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg，按0.25/kg计算，超过50kg而不超过100kg时，其超过部分按0.35/kg计算，超过100kg时，其超过部分按0.45/kg计算.设行李质量为xkg，托运费为y元.
(1)写出函数y=f(x)的解析式.
(2)若行李质量为56kg，托运费用为多少？
【解析】(1)若则y=0.25x；
(2)若则y=12.5+0.35(x-50)=0.35x-5
(3)若x>100则y=30+0.45(0.45x-100)=0.45x-15
综上可得
(2)因为
所以y=12.5+6
0.35=14.6(元)即托用费用为14.6元
函数应用
函数与方程
实际问题的函数建模
利用二分法求方程的近似解
利用函数性质判定方程解的存在
实际问题的函数刻画
用函数模型解决实际问题
函数模型案例【巩固练习】
1.化简，结果是（
）
A.
B.
C.
D.
2.化简的结果是（
）
A．
a
B．
C．
D．
3.若，且，则的值等于（
）
A.
B.
C.
D.2
4．（2016
黄冈自主招生）化简，结果是（
）
A．6x―6
B．―6x+6
C．―4
D．4
5.、、这三个数的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（
）
A.
2
B.
C.
D.
7.
.
8．化简的结果是
9.若，则=
.
10.已知，则=
.
11.计算：
（1）；
（2）.
12．（2016
大连期末）计算：
（1）；
（2）已知x+y=12，xy=9，且x＜y，求．
13.
计算：
14.已知.
求证：为定值.
15.（1）化简：；
（2）已知，求的值.
【答案与解析】
1.【答案】
A
【解析】原式=
=
=
=
2．【答案】B
【解析】
故选B．
3.
【答案】C
【解析】因为，所以，即．同理，又因为，所以，故．
4．【答案】D
【解析】∵，
∴，∴，
∴
故选D．
5.
【答案】B
【解析】，，．，．
6．【答案】B
【解析】因为，又是奇函数，是偶函数，所以，所以，，两式联立解得，进一步求得．
7.【答案】
【解析】原式=.
8．【答案】
【解析】原式
9.【答案】-23
【解析】原式===4-27=-23.
10.【答案】
【解析】因为，所以．
11.【解析】（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
12．【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）原式．
（2）原式
13.
【解析】原式=
=
=
=0
14．证明：
同理
原式=2，结论得证．
15．解：（1）原式==+
=
（2）因为，
所以
，
所以
故当
a>b时，
=a-b.当a=b时，=0.当a【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
【高清课堂：函数模型的应用实例392115
知识要点】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1.心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f
(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的公式：
．
问开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
【答案】开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．
【解析】
当0＜x≤10时，
f
(x)=―0.1x2+2.6x+43=―0.1(x―13)2+59.9，
可知f
(x)在（0，10）上单调递增，故其最大值为
f
(10)=―0.1×(―3)2+59.9=59．
显然，当16＜x≤30时，f
(x)递减，
f
(x)＜－3×16+107=59．
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力（值为59），并维持6分钟．
【总结升华】（1）解决分段函数模型问题的关键在于“分段归类”，即自变量属于哪一段就选用哪段的函数【解析】式来分析解决问题．（2）求解“已建立数学模型”的应用问题关键是抓住已建立的函数模型，选择合适的方法求解建立的数学模型．注意一定要“读”懂模型．
例2.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入－总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【思路点拨】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）－G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．
（2）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．
【答案】（1）；（2）400
【解析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．
∵，
∴．
（2）当x＞5时，
∵函数f（x）递减，
∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．
当0≤x≤5时，函数，
当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．
所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．
【总结升华】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
举一反三：
【变式1】
设在海拔x
m处的大气压强是y
Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105
Pa，1000
m高空的大气压为0.90×105
Pa，求600
m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）．
【答案】
0.943×105.
【解析】这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105
Pa和x=1000
m时y=0.90×105
Pa可求．
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
，∴．
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴．
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴．
将x=600代入上述函数关系式得，
由计算器算得y=0.943×105
Pa．
答：600
m高空的大气压强约为0.943×105
Pa．
【总结升华】
函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可．
类型二、自建函数模型的应用问题
例3.
（2016
湖南岳阳月考）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机标按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．
（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；
（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．
【思路点拨】（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800；当35＜x≤60时，y=800―10(x―35)=―10x+1150，从而得出结论．
（2）设利润为Q，则由Q=yx―1600可得Q的解析式．当1≤x≤35且x∈N时，求得的值，当35＜x≤60且x∈N时，再根据Q的解析式求得的值，再把这两个的值作比较，可得结论．
【答案】（1）；（2）当x=57或x=58时，=17060＞12000
【解析】（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800．
当35＜x≤60时，y=800―10(x―35)=―10x+1150；
∴．
（2）设利润为Q，则
．
当1≤x≤35且x∈N时，=800×5－16000=12000，
当35＜x≤60且x∈N时，，
因为x∈N，所以当x=57或x=58时，=17060＞12000．
故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为17060元．
【总结升华】本题主要考查求函数最值的应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．
举一反三：
【变式1】某商场销售某一品牌的羊毛衫，假设每天购买人数与每件羊毛衫的标价（元）之间满足关系式m=kx+b（k、b为实常数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元，且当x=200时，m=100．已知这种羊毛衫的成本价是每件100元，商场以高于成本价的相同价格（标价）x元出售．
（Ⅰ）求实常数k、b的值；
（Ⅱ）若为使商场每天获得的利润最大，那么每件羊毛衫的标价应为多少元？
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当x=200时，最大值为10000元
【解析】（Ⅰ）由题意得：；
（Ⅱ）设商场每天获取的利润为，∵，则
，
，
∴当时，取最大值为10000元；
即为使商场每天要获取的利润最大，每件羊毛衫的标价为200元．
【高清课堂：函数模型的应用实例392115
例2】
例4．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?
【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。
【答案】（1）20（2）10
8
【解析】
（1）设内环线列车平均速度最小为
由题得：
解得。
答：内环线列车的最小平均速度为每小时20千米。
（2）设内、外环线分别投入列车数量为、列
由题得：
即
得，
解得：，由计算器得：。
答：内、外环线应各投入10列、8列列车运行，才能使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟
类型三、拟和函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）．为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法．
例5.
某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标．
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆．
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f
(x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g
(x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
【解析】建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）．
（1）构造二次函数型f
(x)=ax2+bx+c（a≠0），
将点的坐标代入，可得，解得．
则f
(x)=x2+7x，故f
(4)=44，与计划误差为4.7．
（2）构造指函数型g
(x)=a·bx+c，将点的坐标代入，
可得，解得，则，
故，与计划误差为5.1．
由上可得f
(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系．
【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小．
举一反三：
【变式1】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
【解析】
本例没有给出函数模型，所以我们要先画出草图，再根据图象与我们学习过的函数图象进行比较，猜测出函数模型.
以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出由离散点构成的草图，如图所示．
根据点的分布情况，结合以前学过的指数函数图象特征，可猜测以(a＞0，a≠1
)为男性的体重与身高关系的函数模型．
把点(70，7.90)、(160，47.25)代入函数以中，得
使用计算器可求得
所以，函数模型为．
用计算器验证其它点与模拟函数的关系，发现拟和程度相符．
再将x=175代入函数式，即，用计算器求得y≈63.98．
因为≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．
【总结升华】由于本题没有给出函数模型，因此需要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．
体重
身高
●
●
●
●
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PAGE指数函数、对数函数、幂函数综合
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．
3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．
6．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）．
【知识框图】
【要点梳理】
要点一：指数及指数幂的运算
1．根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为．
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．
2．n次方根的性质：
（1）当为奇数时，；当为偶数时，
（2）
3．分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义．
4．有理数指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）
要点二：指数函数及其性质
1．指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为．
2．指数函数函数性质：
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小．
要点三：对数与对数运算
1．对数的定义
（1）若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
（2）负数和零没有对数．
（3）对数式与指数式的互化：．
2．几个重要的对数恒等式
，，．
3．常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
4．对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
要点四：对数函数及其性质
1．对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域．
2．对数函数性质：
函数名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小．
要点五：反函数
1．反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
2．反函数的性质
（1）原函数与反函数的图象关于直线对称．
（2）函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
（3）若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
（4）一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
要点六：幂函数
1．幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数．
2．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
（3）单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
（4）奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
（5）图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1．计算
（1）
；
（2）；
（3）；（4）
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．
【答案】（1）；（2）1；（3）3；（4）14．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=1-+=1
（3）原式=
=
=2+=3；
（4）令，两边取常用对数得
=
=
=
即=14．
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧．
举一反三：
【变式1】=（
）
A．0
　B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】=．
【变式2】（1）；（2）．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）
原式
；
（2）
原式
．
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例2．设偶函数满足，则=
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
B
【解析】且是偶函数．
或
或
解得或，故选B．
【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用．
举一反三：
【变式1】已知函数若，则的取值范围是（
）．
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【解析】依题意或即或，所以，故选A．
例3．设函数
若，则实数的取值范围是（
）
．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解法一：①若，则，
，得，得，解得．
②若则，
，
解得
由①②可知
解法二：特殊值验证
令
，满足，故排除A、D．
令，，
不满足，故排除B．
【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用．
【高清课堂：幂指对函数综合377495
例1】
例4．函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞）
B．（－∞，3）
C．（4，+∞）
D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”．
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．
例5．（2016
上海模拟）已知函数（a＞0，a≠1）在区间[―1，2]上的最大值为8，最小值为m．若函数是单调增函数，则a=________．
【思路点拨】根据题意求出m的取值范围，再讨论a的值，求出f（x）的单调性，从而求出a的值．
【答案】
【解析】根据题意，得3－10m＞0，
解得；
当a＞1时，函数在区间[－1，2]上单调递增，最大值为，解得，最小值为，不合题意，舍去；
当1＞a＞0时，函数在区间[―1，2]上单调递减，最大值为，解得，最小值为，满足题意；
综上，．
故答案为：．
【总结升华】本题主要考查指数函数的图象与性质的应用问题，通过讨论对数函数的底数确定函数的单调性是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知，该函数在区间[a，b]上的值域为[1，2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P（a，b），则由点P构成的点集组成的图形为（
）
A．
线段AD
B．
线段AB
C．
线段AD与线段CD
D．
线段AB与BC
【思路点拨】由指数函数的图象和性质，我们易构造出满足条件函数在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]的不等式组，画出函数的图象后与答案进行比照，即可得到答案．
【答案】C
【解析】∵函数的图象为开口方向朝上，以x=1为对称轴的曲线，如图．
当x=1时，函数取最小值1，
若，则x=0，或x=1
而函数|在闭区间[a，b]上的值域为[1，2]，
则或，
则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为
故选C．
【总结升华】本题考查的知识点是指数函数的性质，函数的值域，其中熟练掌指数函数在定区间上的值域问题，将已知转化为关于a，b的不等式组，是解答本题的关键．
【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（
）．
A．（1，10）
B．（5，6）
C．（10，12）
D．（20，24）
【答案】C
【解析】由互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以，故选C．
【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法．
类型三：综合问题
例6．已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围
【思路点拨】（Ⅰ）利用奇函数的定义去解。（Ⅱ）先判断函数的单调性，由单调性脱掉函数符号，转化成二次函数问题去解决。
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）=－f（－1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于=，因为减函数，由上式推得：
即对一切有：，
从而判别式
（或:
即对一切有：，又
∴
解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即　：，
整理得　，因底数，故：
上式对一切均成立，从而判别式
【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解．
举一反三：
【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设，解不等式f（x）＞0．
【解析】（1）依题意知，解得
函数f（x）的定义域为．
（2）函数是奇函数
任取，，所以
=0
所以函数是奇函数．
（3）因为，所以
由，得
解得
．
【高清课堂：幂指对综合377495
例5】
例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了．
【答案】
【解析】依题意，在上恒成立．
则设
只需求的最大值
任取且
=
由于是单调递减函数
，即在上是单调递增的，
【总结升华】解决本题的关键是把转化成，转化成，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意．
举一反三：
【变式1】设函数．
（1）求的定义域；
（2）求使在上恒成立的实数的取值范围．
【解析】（1），即
若，则的定义域为；
若，则的定义域为；
若，则的定义域为．
（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立．
令，则在上递减，在上递增，，即．
另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知
由且可知．
②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立．
显然这样的实数不存在．
综上所求的的取值范围为．
0
1
0
1
0
1
0
1
PAGE函数模型的应用实例
【学习目标】
1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
【要点梳理】
【高清课堂：函数模型的应用实例392115
知识要点】
要点一：解答应用问题的基本思想和步骤
1.解应用题的基本思想
2.解答函数应用题的基本步骤
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言)数学问题(数量关系与函数模型)建模(数学语言)求模(求解数学问题)反馈(还原成实际问题的解答).
要点二：解答函数应用题应注意的问题
首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.
其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.
其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.
【典型例题】
类型一、已建立函数模型的应用题
例1.
某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中x是仪器的月产量。
（1）将利润表示为月产量的函数f
(x)。
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益=总成本+利润）
【思路点拨】这里已有函数模型，只需对分段讨论，写出利润的表达式即可
【答案】（1）；
(2)
每月生产300台仪器时，利润最大。最大利润为25000元。
【解析】（1）设每月产量为x台，则总成本为20000+100x，
从而。
（2）当0≤x≤400时，
，
∴当x=300时，有最大值25000；
当x＞400时，f
(x)=60000－100x是减函数，
f
(x)＜60000－100×400＜25000。
∴当x=300时，f
(x)的最大值为25000。
∴每月生产300台仪器时，利润最大。
最大利润为25000元。
【总结升华】
由题目可获取以下主要信息：①总成本=固定成本+100x；②收益函数为一分段函数。解答本题可由已知总收益=总成本+利润，利润=总收益－总成本。由于R
(x)为分段函数，所以f
(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者。分段函数应用题是高考命题的热点。
举一反三：
【变式1】
设在海拔x
m处的大气压强是y
Pa，y与x之间的函数关系式是y=cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105
Pa，1000
m高空的大气压为0.90×105
Pa，求600
m高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。
【答案】0.943×105.
【解析】
这里已有函数模型，要求待定系数c、k，由x=0时y=1.01×105
Pa和x=1000
m时y=0.90×105
Pa可求。
将x=0，y=1.01×105，x=1000，y=0.90×105分别代入函数关系式y=cekx中，得
，∴。
将c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k中得0.90×105=1.01×105e1000k，
∴。
由计算器算得k=－1.15×10－4，
∴。
将x=600代入上述函数关系式得，
由计算器算得y=0.943×105
Pa。
答：600
m高空的大气压强约为0.943×105
Pa。
【总结升华】
函数y=c·akx（a、c、k为常数）是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人口学、气象学等都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意确定相关的系数即可。
类型二、自建函数模型的应用问题
例2.某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8
m，最大装水量为72
，池底和池壁的造价分别为2a元、a元，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？最低造价是多少？
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。
【答案】另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元
【解析】设池底一边长为x，水池的高为y，总造价为z，
由最大装水量知8xy=72，
当且仅当即时，总造价最低，
答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为3m时，总造价最低，最低造价为114a元．
【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．
举一反三：
【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f
(x)的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
【答案】（1）当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。
（2）
（3）当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。
【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
。
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元。
（2）当0＜x≤100时，P=60。
当100＜x＜550时，。
当x≥550时，P=51。
∴
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000。
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元。
【高清课堂：函数模型的应用实例392115
例3】
例3．在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，每个工作台上有若干名工人．现要在与之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】设供应站位置坐标为，则各工人到零件供应站距离之和为。
（1）
故当且仅当时，，此时。
答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为．
（2）
=
由于函数单调递减
所以时，
又当时，
故当时，均有
答：当供应站修建在时，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短为。
【高清课堂：函数模型的应用实例392115
例4】
例4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度v之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100
3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当，
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
举一反三：
【变式1】（2016
黄浦区模拟）有一块铁皮零件，其形状是由边长为40
cm的正方形截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其中AF=12
cm，BF=10
cm，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN，使得矩形相邻两边分别落在CD，DE上，另一顶点P落在边CB或BA边上．设DM=x
cm，矩形DMPN的面积为y
．
（1）试求出矩形铁皮DMPN的面积y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（2）试问如何截取（即x取何值时），可使得到的矩形DMPN的面积最大？
【答案】（1），定义域D=（0，40]；（2）当时，y的最大值为
【解析】（1）依据题意并结合图形，可知：10当点P在线段CB上，即0＜x≤30时，y=40x；20当点P在线段BA上，即30＜x≤40时，由，得．
于是，．
所以，，定义域D=（0，40]．
（2）由（1）知，当0＜x≤30时，0＜y≤1200；
当30＜x≤40时，，
当且仅当时，等号成立．
因此，y的最大值为．
答：先在DE上截取线段，然后过点M作DE垂线交BA于点P，再过点P作DE的平行线交DC于点N，最后沿MP与PN截铁皮，所得矩形面积最大，最大面积为．
类型三、拟合函数模型的应用问题
这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）。为了降低难度，有时采用限定函数模型范围的方法。
例5.某县2006～2011年财政收入情况：
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
收入(万元)
25899
30504
37997
48898
66800
85000
(1)请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
(2)计算该县财政收入的平均增长率，并结合(1)分别预测2012年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
【解析】(1)利用描点法，过A(1，2.59)，B(2，3.05)，C(3，3.80)，D(4，4.89)，E(5，6.68)，F(6，8.50)画一条光滑的曲线，如图所示，其中年份第一年为2006年，第二年为2007年，其它依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：设(a＞0，a≠1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
∴.
计算得≈4.57，≈5.73，≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32，0.95，1.20．
模型二：设(a≠0，x≥1)，
将A、B、C三点的坐标代入，得
∴．
计算得≈4.84，≈6.17，≈7.79，它们与实际的误差分别为0.05，0.51，0.71．
对两个函数模型进行对比，发现与实际的误差较小，所以用函数模型(x≥1)较好．
（2）设年财政收入平均增长率为a，由2006年和2011年财政收入，则有
2.59(1+a)5=8.5，解得a≈26.83%．
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：．
用和分别预测2012年的财政收入是：
=9.7(亿)，=10.78(亿)．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择模型比较稳妥．
【总结升华】在没有给出具体模型的问题中，首先要由已知数据描绘出函数草图，然后联想熟悉的函数图象，通过检测所求函数模型与实际误差的大小，探求相近的数学关系，预测函数的可能模型．
举一反三：
【变式1】某汽车公司曾在2009年初公告：2009年销量目标定为39.3万辆；且该公司重事长极力表示有信心完成这个销量目标。
2006年，某汽车年销量8万辆；
2007年，某汽车年销量18万辆；
2008年，某汽车年销量30万辆。
如果我们分别将2006，2007，2008，2009年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f
(x)=ax2+bx+c（a≠0），指数函数型g
(x)=a·bx+c（a≠0，b≠1，b＞0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
【答案】f
(x)=x2+7x
【解析】建立年销量y（万辆）与第x年的函数，可知函数图象必过点（1，8），（2，18），（3，30）。
（1）构造二次函数型f
(x)=ax2+bx+c（a≠0），
将点的坐标代入，可得，解得。
则f
(x)=x2+7x，故f
(4)=44，与计划误差为4.7。
（2）构造指函数型g
(x)=a·bx+c，将点的坐标代入，
可得，解得，则，
故，与计划误差为5.1。
由上可得f
(x)=x2+7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系。
【总结升华】某个函数模型能否更好地反映变量间的关系，必须与实际数据的误差相对较小。
PAGE《函数》全章复习与巩固
【巩固练习】
1．已知函数在R上是增函数，若，则有（
）。
A．
B．
C．
D．
2．若函数没有零点，则实数的取值范围是（
）。
A．
B．
C．
D．
3．函数在区间上是单调函数的条件是（
）。
A．
B．
C．
D．
4．已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域（）
A．
B．
[﹣1，4]
C．
[﹣5，5]
D．
[﹣3，7]
5．函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设是上的任意函数，则下列叙述正确的是(
)
A．是奇函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是偶函数
7．已知函数，则不等式的解集是（
）
A．
B．{x|x≤1}
C．
D．
8．（2016
梅州二模）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．函数在区间[﹣3，0]上的值域为
．
10．
设是定义在上的函数且,在区间上,其中．若,则的值为
．
11．（2016
上海模拟）若函数f（x）=x｜x－a｜（a－0）在区间[1，2]上的最小值为2，则a=______．
12．关于函数，有下列四个结论：
①当时，函数在区间上单调递增；
②当时，函数在区间上单调递减；
③对于任意，必有成立；
④对于任意，必有成立．
其中正确的论断序号是
．（将全部正确结论的序号都填上）
13．已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围；
(2)当x[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．
14．（2016
浙江二模）设函数，其中a，b是实数．
（1）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；
（2）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=1的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．
15．函数f(x)对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立．
（1）证明函数f(x)的奇偶性；
（2）若f(1)=
－2，求函数f(x)在[－2，2]上的最大值；
（3）解关于x的不等式
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】因为、，所以、，即。
2．【答案】B
【解析】使即可。
3．【答案】D
【解析】对称轴在区间的外面即可。
4．分析：根据题目给出的函数y=f（x+1）定义域，求出函数y=f（x）的定义域，然后由2x﹣1在f（x）的定义域内求解x即可得到函数y=f（2x﹣1）定义域
【答案】A
【解析】∵
函数y=f（x+1）定义域为[﹣2，3]，
∴
x∈[﹣2，3]，则x+1∈[﹣1，4]，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，
再由﹣1≤2x﹣1≤4，得：，
∴函数y=f（2x﹣1）的定义域为．
故选A．
点评：本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y=f（x）的定义域为[a，b]，求解y=f[g（x）]的定义域，只要让g（x）∈[a，b]，求解x即可．
5．【答案】C
【解析】先画出的图象，然后把轴下方的部分关于轴翻折上去，就得的图象，由图象知单调递减区间是．
6．【答案】D
【解析】令，则，所以它不是奇函数，故A选项不对；同理选项B、C都不对，只有选项D正确．
7．【答案】C
【解析】由题意得不等式等价于（1）或（2），解不等式组（1）得x＜－1；解不等式组（2）得．因此原不等式的解集是，选C项．
8．【答案】A
【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（|x|），
∴不等式等价为，
∵f（x）在区间[0，+∞）单调递增，
∴，解得．
故选A．
9．【答案】[﹣4，0]
【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为x=﹣1，
在区间[﹣3，0]上，
x=﹣1时，y有最小值﹣4，
x=﹣3时，y有最大值0，
故y的值域为：[﹣4，0]；
故答案为：[﹣4，0]．
点评：本题考查二次函数的闭区间上的最值的求法，利用配方法，注意函数的对称轴和区间是解题的关键，考查计算能力．
10．【答案】．
【解析】∵是定义在上的函数且,∴,即①．
又∵,,
∴②．
联立①②,解得,．∴．
11．【答案】3
【解析】由a＞0，结合y=f（x）的图象可得f（x）在[1，2]的最小值
可以是f（1），或f（2），f（a）．
由f（a）=0，不成立；
由f（1）=｜1－a｜=2，解得a=－1（舍去）或a=3，
当a=3时，f（x）=x｜x－3｜在[1，2]，即有：f（x）=x（3－x）在[1，2]递减，
可得f（1）或f（2）取得最小值，且为2；
由f（2）=2｜2－a｜=2，解得a=1或a=3．
当a=3时，f（x）=x｜x－3｜在[1，2]即为：f（x）=x（3－x）在[1，2]递减，
可得f（1）或f（2）取得最小值，且为2；
当a=1时，f（x）=x｜x－1｜在[1，2]即为：f（x）=x（x－1），
可得f（x）在[1，2]递增，即有f（1）取得最小值，且为0，不成立．
综上可得a=3．
故答案为：3．
12．【答案】
②③④
13．【解析】
(1)
(2)当a≤-1时，f(x)的最大值为f(-1)=-a2-2a
当-1当a≥1时，f(x)的最大值为f(1)=-a2+2a
所以
14．【答案】（1）（0，2）；（2）略
【解析】（1）∵，
∴，
设，
当ab＞0，且二次函数的对称轴，
当a＜0时，不满足条件．
∴a＞0，b＞0，
当t=0时，函数f[f（x）]取得最小值，即，
从而，得0＜b＜2，
即b的取值范围是（0，2）；
（2）∵xy=1，∴，
则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得，
即，
令，则t≥2，
则恒成立，
需要a（1－b）≥0，
此时y=a（1－b）t在[2，+∞）上为增函数，
∴
，
即，得0≤a+b≤2，
则实数a，b满足的条件为．
15．【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0,再令y=—x即得f(－x)=－f(x）∴f(x）是奇函数
（2）设任意，且，则，由已知得
（1）
又
（2）
由（1）（2）可知，
由函数的单调性定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数
∴x∈[－2，2]时，，
∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4．
（3）由已知得：
由（1）知f(x）是奇函数，
∴上式又可化为：
由（2）知f(x）是R上的减函数，
∴上式即：
化简得
∴
原不等式的解集为或函数的奇偶性
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1.
判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)f(x)=x2-4|x|+3
；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；
(4)；
(5)；
(6)．
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数
；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x
∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0
f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0)
∴x∈R时，f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性
356732
例2（2）】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是
（
）.
A．+|g(x)|是偶函数
B．-|g(x)|是奇函数
C．||
+g(x)是偶函数
D．||-
g(x)是奇函数
【答案】A
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50
∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2)
∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8=
x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.
举一反三：
【变式1】已知为奇函数，，则为（
）．
【答案】6
【解析】，又为奇函数，所以．
例3.（2016春
山东临沂期中）已知f（x）的定义域为{x∈R｜x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式．
【思路点拨】（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．
（2）当x＜0时，―x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f（―x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x＜0时的表达式．
【答案】（1）b=4，c=－2；（2）
【解析】（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴，得b=4
又∵f（2）=－4+4×2+c=2，∴c=－2
（2）由（1）得当x＞0时，
当x＜0时，，
∵f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，．
【总结升华】本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x＜0时的表达式．着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性356732
例3】
【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当时，求的取值范围.
【答案】
【解析】∵f(a+1)∴f(|a+1|)而|a+1|，|a|∈[0，2]
.
【总结升华】若一个函数是偶函数，则一定有，这样就减少了讨论的麻烦．
举一反三
【变式1】定义在[1+a，2]上的偶函数在区间[1，2]上是（
）
A．
增函数
B．
减函数
C．
先增后减函数
D．
先减后增函数
【思路点拨】根据偶函数的性质先求出a，b，然后利用二次函数的性质确定函数的单调性．
【答案】B
【解析】∵f（x）是定义在[1+a，2]上的偶函数，
∴区间关于原点对称，即1+a+2=0，
解得a=﹣3，
且f（﹣x）=f（x），
∴
，
即﹣bx=bx，解得b=0，
∴
，
∴f（x）在区间[1，2]上是减函数．
故选：B．
【总结升华】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数.
当当.
【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当时，
①
且
②上单调递增，
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当时，
①上单调递减，上的最小值为
②上的最小值为
综上：
.
举一反三：
【变式1】（2016
上海崇明模拟）已知函数f（x）=x｜x－a｜+b，x∈R．
当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
【答案】非奇非偶函数
【解析】当b=0时，f（x）=x｜x－a｜，
当a=0时，f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，
理由：当a=0时，f（x）=x｜x｜，
f（－x）=－x｜－x｜=－x｜x｜=－f（x），
f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（－x）=－x｜－x－a｜=－x｜x+a｜≠f（x），
且f（－x）≠－f（x），则f（x）为非奇非偶函数
例6.已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】
∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．
设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
例7．已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），又当时，
．
（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）若有f（x）+f（x﹣2）≤3成立，求x的取值范围．
【思路点拨】本题考查抽象函数及其应用；函数单调性的性质．
（1）由f（xy）=f（x）+f（y），通过赋值法即可求得f（1），f（4），f（8）的值；
（2）由“时，”可知f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，从而f[x（x﹣2）]≤f（8）可脱去函数“外衣”，求得x的取值范围．
【解析】（1）f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
f（8）=f（2）+f（4）=2+1=3．
（2）∵f（x）+f（x﹣2）≤3，∴f[x（x﹣2）]≤f（8），
又∵对于函数f（x）有时，，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
∴
解得2＜x≤4
∴x的取值范围为（2，4]
【总结升华】本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的性质及函数求值，（2）中判断函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数是关键，属于中档题．
4【巩固练习】
1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是（
）
A．y=50
B．y=1000x
C．y=0.4·2x－1
D．
2．y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2＜x＜4时，有（
）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y2＞y3＞y1
3．某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y=3000+20x－0.1x2（0＜x＜240，x∈N），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（
）
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
4．如右图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A运动，设P点运动的路程为x，△ABP的面积为S，而函数S=f
(x)的图象是下图中的（
）
5．用计算器检验下列命题，其中真命题是（
）
A．在（1，+∞）上是单调函数
B．，x∈（1，+∞）时，值域为
C．，x∈（1，+∞）时，y有最小值
D．（x＞1）随着x的增大而越来越接近于0
6．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2016春
吉林期末）在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x（0＜x≤40）（克）的函数，其表达式为________．
8．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机，9年后的价格是
．
9．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/100
kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
，，，．
利用你选取的函数，求：
（1）西红柿种植成本最低时的上市天数是__________；
（2）最低种植成本是____________元/100kg．
10．经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80－2t（件），价格近似满足于
（元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
11．（2016
江苏镇江一模）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为吨，（0≤t≤24）
（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时，有几小时出现供水紧张现象．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
指数函数模型增长速度最快，故选D．
2．【答案】B
【解析】
在同一平面直角坐标系中画出三个函数的图象，在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应为y2=x2，y1=2x，y3=log2x，故y2＞y1＞y3．
3．【答案】C
【解析】
依题意有25x―(3000+20x―0.1x)2≥0，解得x≥150或x≤－200（舍）．故选C．
4．【答案】D
【解析】
由题图知，P在BC上时，0≤x＜4，，P在CD上时，4≤x≤8，，∴选D．
5．【答案】D
【解析】
可用计算器检验，也可利用函数y=x与y=lgx的增长规律来判断：由于x（x＞1）增大时，函数y=x比y=lgx增长的速度快得多，因此函数随着x的增大而越来越接近于0．
6．【答案】A
【解析】由题意可知，该三次函数的图象过原点，则其常数项为0，不妨设其解析式为，
则，
∴f′（0）＝－1，f′（2）＝3，可得c＝－1，3a＋b＝1.
又过点（2，0），∴4a＋2b＝1，
∴，，c＝－1，
∴.故选A．
7．【答案】
【解析】在信件不超过20克重时，付邮资80（分），
应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80（分）；
在信件超过20克重而不超过40克重时，付邮资160（分），
应视为自变量在20＜x≤40范围内，函数值是160（分），
遂得分段函数．其表达式f（x）为．
故答案为：．
8．【答案】2400
【解析】根据题意，经过9年价格降3次，所以9年后的价格为．故填2400．
9．【答案】120；80．
【解析】∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数描述，将表中数据代入可得
解得
∴，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg．故填120；80．
10．分析：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（当t=5时取得），（当t=20时取得）
【解析】（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t≤10时
函数图象开口向下，对称轴为t=5，该函数在t∈[0，5]递增，在t∈（5，10]递减
∴（当t=5时取得），（当t=0或10时取得）
②当10＜t≤20时
图象开口向上，对称轴为t=45，该函数在t∈（10，20]递减，t=10时，y=1200，（当t=20时取得）
由①②知（当t=5时取得），（当t=20时取得）
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．
11．【答案】（1）从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨；（2）约有8小时供水紧张
【解析】（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，
由；
令；则，即；
∴当x=6，即t=6时，，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．
（2）依题意，得
解得，4＜x＜8，即；
即由，所以每天约有8小时供水紧张．【巩固练习】
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（
）
A．y=1，x∈Z
B．y=x
C．y=2x
D．y=ex
2．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（　　）
　
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（
）
A．增加7.84%
B．减少7.84%
C．减少9.5%
D．不增不减
4．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如下图，△ABC为等腰直角三角形，直线与AB相交且⊥AB，直线截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线的距离为x，则y=f
(x)的图象大致为下图中四个选项中的（
）
6．某债券市场常年发行三种债券，A种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元.
设这三种债券的年收益率分别为a,
b,
c，则a,
b,
c的大小关系是（
）
A、a=c且a＜b
B、a＜b＜c
C、a＜c＜b
D、c＜a＜b
7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x，2010年底世界人口数为y（亿），那么y与x的函数关系式为________．
8．（2016
四川广元模拟）某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20
m3，则每立方米收费按2元收取；若超过20
m3，则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水________m3．
9．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是，，，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是　
　．
10．（2016
江苏新沂市期末）设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m（万元）与总支出n（万元）近似地满足下列关系：，，当m―n≥0时，称不亏损企业；当m－n＜0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
（1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
（2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
11．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价元与日销售量件之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
（Ⅰ）确定与的一个一次函数关系式；
（Ⅱ）若日销售利润为P元，根据（Ⅰ）中关系写出P关于的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
指数函数模型增长速度最快，并且e＞2，因而y=ex增长速度最快．所以选D．
2．分析：根据题意列出出厂价格和成本之间的不等关系式：5x+4000≤10x，解出即可．
【答案】D
【解析】由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
故选D．
点评：主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．
3．【答案】B
【解析】设该商品原价为a，四年后价格为a(1+0.2)2(1―0.2)2=0.9216a．所以(1―0.9216)a=0.0784a=7.84%，即比原来减少了7.84%．
4．【答案】C
【解析】取t=1.99≈2，代入A，得v=log22=1≠1.5；代入B，得；代入C，得；代入D，得v=2×2－2=2≠1.5．故选C．
5．【答案】C
【解析】
设AB=a，则，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方，故选C．
6．【答案】C
【解析】元
，设买B种债券一年后本期和为元，，则，一年后收益为41.5元,同理求得
元,故选C.
7．【答案】y=54.8(1+x)18
【解析】由增长率的基本公式y=a(1+x)n可写出．
8．【答案】25
【解析】设他这个月共用了x立方米的水，
则所交水费，
∵某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，超过了2元，
∴x＞20，
则由20×2+(x－20)×3=2.2x
得40+3x－60=2.2x，
即0.8x=20，得x=25．
故他这个月共用了25立方米的水．
故答案为：25．
9．分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
【答案】
【解析】根据题意，最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数，通过分析各种类型函数的增长，，，中，增长最快，如图
故答案为：．
点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项．
10．【答案】（1）至少要生产4台电机；（2）当x=1时，n－m取最大值
【解析】（1）依题意，m－n≥0，即，
整理得：，
解得：x≥4或x≤－2（舍），
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机；
（2）由（1）可知当0＜x＜4时企业亏损，
亏损额，
∴当x=1时，n－m取最大值，
答：当月总产值为1台时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
11．【答案】当x=42时，P最大=432,
【解析】（I）因为f(x)为一次函数，设y=ax+b，解方程组
得a=－3，b=162,
故y=162－3x为所求的函数关系式，
又∵y≥0，∴0≤x≤54．
（II）依题意得：
当x=42时，P最大=432,
即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一：集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper
subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二：集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary
set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论：
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一：集合间的关系
例1.
请判断①0{0}
；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合．
【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
(1)
{x||x|≤1}
{x|x2≤1}；
(2){y|y=2x2}
{y|y=3x2-1}；
(3){x||x|>1}
{x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x≤2}
{(x，y)|-1【答案】
(1)=
(2)
(3)
(4)
【总结升华】区分元素与集合间的关系，集合与集合间的关系.
例2.（2015秋
确山县期中）已知A={x｜x2―4=0}，B={x｜ax―6=0}，且B是A的子集．
（1）求a的取值集合M；
（2）写出集合M的所有非空真子集．
【思路点拨】对（1）根据A集合中的元素，，分类讨论B的可能情况，再注解a，写出集合M．
根据含有n个元素的集合的真子集个数是2n－1，求解（2）．
【答案】（1）M={0，3，－3}；（2）{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}
【解析】（1）A={2，－2}．
∵B是A的子集，∴B=，{2}，{－2}，
①B=时，方程ax－6=0无解，得a=0；
②B={2}时，方程ax－6=0的解为x=2，得2a－6=0，所以a=3；
③B={－2}时，方程ax－6=0的解为x=－2，得－2a－6=0，所以a=－3．
所以a的取值集合M={0，3，－3}．
（2）M={0，3，－3}的非空真子集为{0}，{3}，{－3}，{0，3}，{0，－3}，{3，－3}
【总结升华】本题考查集合的子集问题，含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1；非空真子集个数是2n－2．
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有
个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（
）
A.
16个
B.
15个
C.
7个
D.
6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
【变式3】已知集合A={1，3，a}，
B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.
【答案】
a=-1，
a=或a=0
【解析】∵，
∴a2A，
则有：
（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0，
a=1，舍去a=1，则a=0
综上：a=-1，
a=或a=0.
注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430
例2】
例3.
设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足(
)
A.
M=N
B.
MN
C.
NM
D.
M∩N=
【答案】B
【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
例4．已知若M=N，则=
．
A．－200
B．200
C．－100
D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故
x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=(
)
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二：集合的运算
例5.（1）（2014
湖北武汉期中）已知；，则A∩B＝（
）
A．
B．
C．[－2，2]
D．
（2）设集合M={3，a}，N={x|x2－2x＜0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为（
）．
A．
{1，2，a}
B．
{1，2，3，a}
C．
{1，2，3}
　D．
{1，3}
【思路点拨】（1）先把集合A、B进行化简，再利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】（1）C
（2）D
【解析】（1）集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={y|y≥－2}，B={y|y≤2}，所以A∩B={y|－2≤y≤2}，选C．
（2）由N={x|x2－2x＜0，xZ}可得：N={x|0＜x＜2，xZ}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故选D．
举一反三：
【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B.
【答案】{，
，-4}
【解析】∵A∩B={}，
∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：
(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到：
∴方程(1)为2x2+7x-4=0，
∴方程的解为：x1=，
x2=-4，
∴
，
由方程(2)
6x2-5x+1=0，解得：x3=，
x4=，
∴B={，
}，则A∪B={，
，-4}.
【高清课堂：集合的运算377474
例5】
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】
｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝．
【高清课堂：集合的运算
377474
例6】
例6.
设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三：集合运算综合应用
例7．（2014
北京西城学探诊）已知集合A={x|－4≤x＜2}，
B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}．
（1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围；
（2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．
【答案】（1）a≥3
（2）a≤－4
【解析】
（1）∵A={x|－4≤x＜2}，
B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=，如图，a≥3；
（2）画数轴同理可得：a≤－4．
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（
）
A．(-∞,
-1]
B．[1,
+∞）
C．[-1，1]
D．（-∞，-1]
∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又
，
∴，∴
故选C．
例8.
设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
首先化简集合，得.
（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】（2015
源汇区一模）设A={x｜x2+4x=0}，B={x｜x2+2(a+1)x+a2－1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围．
【答案】a=1或a≤－1
【解析】A={x｜x2+4x=0}={0，－4}，
∵A∩B=B知，，
∴B={0}或B={－4}或B={0，－4}或，
若B={0}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个相等的根0，则，∴a=－1，
若B={－4}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个相等的根－4，则，∴a无解，
若B={0，－4}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个不相等的根0和－4，则，∴a=1，
当时，x2+2(a+1)x+a2－1=0无实数根，Δ=[2(a+1)]2－4(a2－1)=8a+8＜0，得a＜－1，
综上，a=1或a≤－1．
PAGE函数与方程
【学习目标】
(1)重点理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点；
(2)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系；
(3)根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法.
【要点梳理】
要点一：函数的零点
1.函数的零点
（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
要点诠释：
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（2）二次函数的零点
二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个二重零点
无实根
无零点
（3）二次函数零点的性质
①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.
②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.
引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.
2．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．
③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．
要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系
（1）设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是：
①当x1＜x2＜k时，有；
②当k＜x1＜x2时，有；
③当x1＜k＜x2时，；
④当x1，x2∈（k1，k2）时，有；
⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有．
要点诠释：
讨论二次函数的根在区间的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的零分布．
（2）所谓一元二次方程根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2．
①；
②；
③；
④x1=0，x2＞0c=0，且；x1＜0，x2=0c=0，且．
要点三：二分法
1.二分法
所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.
第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令
第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算和，并判断：
①如果，则就是的零点，计算终止；
②如果，则零点位于区间中，令；
③如果，则零点位于区间中，令；
……
继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1.
求下列函数的零点.
(1)
；
(2)；
（3）．
【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2．
【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.
(1)
由，令，得，故函数零点是-3，1；
(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1；
(3)令，即，
即，得，故函数的零点是-2，0，2．
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式1】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）；（2）-3，1，2．
【解析】(1)
令，即，得．
(2)方程可化为
由知
所以函数的零点为；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
【变式2】已知函数，当时，函数的零点,则
．
【答案】2
.
【解析】用数形结合法
作出
及的图象，
作出
及的图象
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
类型二、函数零点的存在性定理
例2．函数的零点所在的大致区间是（
）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．和（3，4）
D．（e，+∞）
【答案】
B
【解析】
从已知的区间（a，b）中，求和，判断是否有．
∵，，∴在（1，2）内无零点，A错；
又，∴，
∴在（2，3）内有一个零点．
【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否满足，还要看函数的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，即可得到答案．
利用函数零点的存在性定理判定函数的零点（或方程的实根）所在的大致区间，有时比用数形结合（即作出两函数y=ln
x与的图象，再确定两图象交点的横坐标所在的大致区间）更简捷，因此要善于灵活运用函数零点的存在性定理来分析解决问题．
举一反三：
【高清课程：函数与方程377543
例3】
【变式1】若函数，则下列判断正确的是（
）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
【变式2】
根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为
．
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
【答案】
【解析】令，由表格中数据知=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7,39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由于，所以根所在的最小区间为（1，2）．
【高清课程：函数与方程377543
例5】
【变式3】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去．
（2）当时，令，
分情况讨论：
①，
不满足题意舍去．
②，
若且即，满足题意．
若且即时，的另一解是．
综上所述，满足条件的的取值范围是．
类型三、利用函数图象求函数的零点个数
例3．已知函数，－1是函数F（x）=f（x）+2的一个零点，且对于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立，求实数a，b的值．
【思路点拨】根据－1是F（x）的一个零点知F（－1）=lgb－lga+1=0，而由对任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立可得：恒成立．所以，带入lga=lgb+1可得：，所以便得到b=10，a=100．
【答案】a=100，b=10
【解析】由已知条件知，F（－1）=0；
∴lgb－lga+1=0；
又f（x）≥2x恒成立，有恒成立；
∴；
由将
lgb－lga+1=0得，lga=lgb+1；
∴；
∴；
故lgb=1，即b=10，则a=100．
【总结升华】考查函数零点的概念，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系，以及对数的运算．
举一反三：
【变式1】关于x的方程(x2―1)2―|x2―1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根．
其中假命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【解析】
据题意令|x2－1|=t（t＞0）
①，
则原方程化为
t2―t+k=0
②，
作出函数y=|x2―1|的图象如图，结合函数的图象可知：
当t=0或t＞1时，方程①有2个不等的实根；
当0＜t＜1时，方程①有4个不等的实根；
当t=1时，方程①有3个不等的实根．
（1）当时，方程t2―t+k=0存在2个不等的小于1的正实根，原方程就存在8个不等的实根；
（2）当k=0时，t=0或t=1，原方程存在{0，1，―1，，}共5个不等的实根；
（3）当时，，原方程存在共4个不等的实根；
（4）当k＜0时，一元二次方程t2―t+k=0的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程t2―t+k=0的正根t＞1，故原方程只有2个不等的实根；
（5）当时，方程②无实根，故原方程无实根．
故选A．
类型四、一元二次方程根的分布
例4．（2016
广州模拟）已知二次函数，满足f（0）=2，f（x+1）―f（x）=2x―1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）―mx的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．
【思路点拨】（1）通过f（0）=2，求出c，利用f（x+1）―f（x）=2x―1，求出a，b，得到函数的解析式．
（2）求出函数f（x）的对称轴，然后求解，列出关系式即可求解实数t的取值范围为（－∞，5）．
（3），若g（x）的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，利用零点存在定理列出不等式组求解即可．
【答案】（1）；（2）（－∞，5）；（3）
【解析】（1）由f（0）=2，即c=2，
又f（x+1）―f（x）=2x―1，得2ax+a+b=2x―1，
故，解得：a=1，b=―2，
所以．
（2），对称轴为x=1∈[―1，2]，
又f（―1）=5，f（2）=2，所以=f（―1）=5．
关于x的不等式f（x）―t＞0在[―1，2]有解，则t＜=5，
所以实数t的取值范围为（－∞，5）．
（3），若g（x）的两个零点分别在区间（―1，2）和（2，4）内，
则满足
解得：，所以实数m的取值范围为．
【总结升华】本题考查二次函数的最值的求法，零点存在定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．
例5．若二次函数y=―x2+mx―1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
【答案】
【解析】
先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m范围．
线段AB的方程为x+y=3（0≤x≤3），
由题意得方程组有两组实解．
①代入②得x2－(m+1)x+4=0（0≤x≤3）有两个实根，
令．因此问题转化为二次函数在x∈[0，3]上有两个不同的实根，故有
，解得．
故m的取值范围是．
【总结升华】本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程（组）开始，通过消元得到一元二次方程，对这个方程实根的研究转化为二次函数f(x)在[0，3]的实根，又转化为二次函数f(x)在[0，3]上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m的取值范围，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数方程思想的应用．
举一反三：
【变式1】
关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
类型五、用二分法求函数的零点的近似值
例6.求函数的一个正数零点(精确到0.1).
【答案】1.7
【解析】由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，2]
1.5
-2.625
[1.5，2]
1.75
0.2344
[1.5，1.75]
1.625
-1.3027
[1.625，1.75]
1.6875
-0.5618
[1.6875，1.75]
1.71875
-0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
【总结升华】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.
举一反三：
【变式1】根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（
）
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x+2
1
2
3
4
5
A．（－1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
【思路点拨】令，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．
【答案】C
【解析】由上表可知，
令，
则f（－1）≈0.37+1－2＜0，
f（0）=1－0－2=－1＜0，
f（1）≈2.72－1－2＜0，
f（2）≈7.39－2－2＞0，
f（3）≈20.09－3－2＞0．
故f（1）f（2）＜0，
故选：C．
类型六、用二分法解决实际问题
例7．
学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问30名工人如何分组（一组制作课桌，一组制作椅子）能使任务完成最快？
【答案】
13人
、17人
【解析】
设x（1≤x≤29，x∈N）名工人制作课桌，（30－x）名工人制作椅子．一名工人在一个单位时间里可制作7张桌子或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间，制作200把椅子所需要的时间．要想任务完成最快，则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象如图3-1-2-5中实线部分所示，则x0即为y取最小值时的x的值．此时P(x)=Q(x)，下面用二分法的知识求x0的整数值．
令，则，，所以x0∈（1，29）；取中点，f(15)≈－0.38＜0，所以x0∈（1，15）；同理可得x0∈（8，15），x0∈（11.5，15），x0∈（11.5，13.25），x0∈（12.375，13.25），x0∈（12.375，12.8125），又因为x0∈N，所以x0=12或x0=13．当x0=12时，y=max{P(x)，Q(x)}≈1.19；当x0=13时，y=max{P(x)，Q(x)}≈1.18＜1.19，所以取x0=13，即用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子，可使任务完成最快．
【总结升华】首先将问题转化为求函数的最值问题，然后用二分法求方程的解．本题也可以直接求方程的解．
举一反三：
【变式1】
某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】
（1）3200；（2）11%
【解析】
（1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f
(x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f
(x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f
(0.1)·f
(0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f
(0.125)≈－269．因为f
(0.125)·f
(0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f
(0.1125)≈－98．因为f
(0.1)·f
(0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．对数函数及其性质
【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
要点诠释：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．
要点二、对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增函数
在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0
当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0
要点诠释：
关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0要点四、反函数
1．反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例1.
求下列函数的定义域：
(1)；
(2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为，即，所以函数；
(2)因为，即，所以函数.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1)
y=
(2)
（且）.
【答案】（1）(1，)(，2]；（2）略
【解析】(1)因为，
所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2].
（2）因为
，
所以.
①当时，定义域为；
②当时，
(i)若，则函数定义域为(，+∞)；
(ii)若，且，则函数定义域为(-∞，)；
(iii)若，则当时，函数定义域为；当时，此时不能构成函数，否则定义域为.
【变式2】函数的定义域为[-1，2]，求的定义域.
【答案】[，16].
【解析】由，可得的定义域为[，4]，再由得的定义域为[，16].
类型二、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例2.
比较下列各组数中的两个值大小：
(1)；
(2)；
(3)与；
(4)
与．
(5)（）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)<
；(2)
<；(3)
>；(4)
>；(5)
略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；
解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；
(2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；
(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．
(4)
(5)
注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，
当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令，则，令，则
当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b1当时，在R上是减函数，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【高清课堂：对数函数
369070
例3】
例3．比较其中01的大小.
【答案】
【解析】由01，得，
，
，即
【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小．
举一反三：
【变式1】已知则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得
又∵为单调递增函数，
∴
故选C.
【高清课堂：对数函数369070
例2】
【变式2】比较的大小．
【答案】
【解析】
例4．已知定义在R上的函数是偶函数，且x≥0时，），
（1）当x＜0时，求f（x）解析式；
（2）写出f（x）的单调递增区间．
【思路点拨】（1）x＜0时，－x＞0，代入已知x≥0时，，可得，根据偶函数的性质可求得
（2）根据复合函数的单调性及二次函数的单调性分别求解两段函数的单调增区间即可
【答案】（1）；（2）单调增区间为：（－1，0），（1，+∞）
【解析】（1）x＜0时，－x＞0
∵x≥0时
∴
∵y=f（x）是偶函数，∴f（－x）=f（x）
x＜0时，
（2）由（1）知x＜0时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（－1，0）
x≥0时，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间（1，+∞）
所以函数的单调增区间为：（－1，0），（1，+∞）
【总结升华】本题主要考查了利用偶函数的对称性求解函数的解析式，复合函数的单调区间的求解，（2）中对每段函数求解单调区间时要注意函数的定义域．
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
举一反三：
【变式1】求函数的值域和单调区间．
【答案】；减区间为，增区间为．
【解析】设，则，∵
y=t为增函数，
的值域为．
再由：的定义域为
在上是递增而在上递减，而y=t为增函数
∴
函数y=的减区间为，增区间为.
【变式2】求函数的单调区间
【答案】减区间是：和
【解析】①若则递增，且递减，而，即，
在上递减．
②
若，则递减，且递增，而，即，
在上递减．
综上所述，函数的单调递减区间是：和．
类型三、函数的奇偶性
例5.
判断下列函数的奇偶性.
(1)
(2).
【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)【解析】由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型四、反函数
例6．（2016春
河北衡水月考）已知点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上．
（1）求实数b的值；
（2）若0＜f（1―2x）―f（x）＜1，求x的取值范围．
【思路点拨】（1）根据点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，可得：点（99，2）在函数f（x）=lg（x+b）的图象上，代入构造关于b的方程，解得实数b的值；
（2）若0＜f（1―2x）―f（x）＜，则，解得x的取值范围．
【答案】（1）b=1；（2）．
【解析】（1）∵点（2，99）在函数f（x）=lg（x+b）的反函数的图象上，
∴点（99，2）在函数f（x）=log（x+b）的图象上，
即lg（99+b）=2，即99+b=100，
解得：b=1；
（2）由（1）得f（x）=lg（x+1），x＞－1，
则0＜f（1―2x）―f（x）＜1可化为：
，
即，解得：，
即x的取值范围为
【总结升华】本题考查反函数，解题关键是掌握住反函数的定义，由定义求出反函数解析式，本题有一易漏点，即记忆求出函数的定义域，对于求函数的解析式的题，一般要求出函数的定义域．
举一反三：
【高清课堂：对数函数369070
例5】
【变式1】
若函数是函数且a≠1)的反函数，且，则（
）
(A)
(B)
(C)
(D)2
【答案】A
【解析】解法1：函数是函数且a≠1)的反函数
，又
，，
故选A．
解法2：函数是函数且a≠1)的反函数，且
点（1，2）在函数的图象上，
故选A．
类型五、利用函数图象解题
例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。
【答案】
【答案】要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
举一反三：
【变式1】函数
的图象如右图所示．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）当时，，
根据图像，所以．
当时，．
根据图像，，即
，
．
∴．
（2）由（1）知，
当时，由解得
.
当时，由解得
.
综上所述，的值为或
类型六、对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）的定义域为，求实数的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.
的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）的定义域为R，
恒成立，，．
（2）的值域为R，
取遍一切正数，，．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．所以由图象可以看出若，则，即，得：，所以。
【总结升华】如果函数的定义域为某个区间D，则函数在这个区间D的任何子集内部都有意义；如果函数在区间E上有意义，而的定义域为D，则必有．
举一反三：
【变式1】
已知函数.
(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围.
【答案】（1）a>1；（2）0≤a≤1．
【解析】(1)
的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有
a>1.∴
a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数
a=0或0≤a≤1，
∴
a的取值范围为0≤a≤1.
例9．已知函数（常数）．
（1）求的定义域；
（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴；
（3）当，满足什么关系时，在上恒取正值．
【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的真数为正，再利用指数运算性质求出定义域．（2）中证明是否存在要由单调性来确定，若单调递增或递减，就不存在两点两线平行于轴．
【答案】（1）（2）不存在（3）
【解析】
（1）由，得，由，得，故，即函数的定义域为．
（2）设，
故
即，
在上为增函数．
假设函数的图象上存在不同的两点，，使直线AB平行于轴，即，这与是增函数矛盾．
故函数的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴．
（3）由（2）知在上是增函数
在上也是增函数
当时，
只需，即
当时，在上恒取正值．
【总结升华】此题综合性较强，综合考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式1】已知，是否存在实数、，使同时满足下列两个条件：①在上是减函数，上是增函数；②的最小值是1．若存在，求出、的值，若不存在，说明理由．
【答案】
【解析】设存在满足条件的、
在上是减函数，上是增函数，
当时，最小，从而
设，则，
恒成立，
即恒成立，
又因此恒成立，从而．
设，则恒成立，化简得
恒成立，
又所以恒成立，故．
综上，．
－1　　　　　　　　　　　　　　　　
-　　　　　　　　　　　　　　　　
2　　　　　　　　　　　　　　　　
y　　　　　　　　　　　　　　　　
x　　　　　　　　　　　　　　　　
O