(共24张PPT)
第十四章
实
数
14.1
平方根
第1课时
平方根
1
平方根的定义
2
平方根的性质
3
求平方根
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
“卡西尼”号土星探测器历经了80多个月的飞行，成功进入环绕土星运行的轨迹，要使土星探测器飞离地球，它的速度需大于v2，计算v2的公式为v2=
，(其中g取9.8m/s2，r取6.4×106m).上式中的v2如何计算呢？
CONTENTS
2
课程讲授
平方根的定义
问题1.1
和－
的平方等于多少？
10和－10的平方等于多少？
平方等于
的数有哪些？平方等于100的数呢？
问题1.2
满足x2
=
25的x的值是多少？
问题1.3
平方根的定义
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，
那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
例如：16的平方根为4和－4，
的平方根为
和－
，
100的平方根为10和－10.
平方根的定义
练一练：判断下列说法是否正确.
（2）2是4的平方根；（
）
（1）49的平方根是7；（
）
（3）-5是25的平方根；（
）
（4）64的平方根是±8；（
）
（5）-16的平方根是-4．（
）
√
√
×
×
√
平方根的性质
问题2.1
填表
x
...
-3
-1
0
1
3
...
x2
...
...
9
0
1
1
9
平方根的性质
问题2.2
观察填写后的表格，探究：
（1）正数的平方根有几个，它们之间有什么关系？
（2）0有平方根吗？如果有，它是什么数？
（3）负数有平方根吗？
平方根的性质
归纳：平方根的性质：
1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
2.0只有一个平方根，是0本身.
3.负数没有平方根.
平方根的性质
归纳：平方根的表示方法：
正数a的正的平方根记作
,负的平方根记作
.
这两个平方根合起来可以记作
读作“正、负根号a”.其中，a称为被开方数.
平方根的性质
练一练：已知正数x的两个平方根分别为a＋2和2a－8，求x的值．
解：根据题意，得a＋2＋2a－8＝0，解得a＝2.
所以x＝(a＋2)2＝(2＋2)2＝42＝16.
求平方根
问题1
观察框图，说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.
x2
底数
指数
a=x2
a为x的平方
幂(x的平方)
根号
被开方数
x为a的平方根
a的平方根
互为逆运算
求平方根
定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
求平方根
例
求下列各数的平方根：
(1)
81；
(2)
；
(3)
0.04.
解：
(1)因为(±9)2
=
81，所以81的平方根为±9，即±
=±9.
(2)因为
，所以
的平方根为
，即
(3)因为(±0.2)2
=
0.
04，所以0.04的平方根为±0.2，
即
求平方根
练一练：
的平方根是( )
A．±
B.
C．±
D.
C
提示：只有非负数才有平方根.同时注意平方根的通用符号是
(a≥0)，防止粗心大意漏掉“
”而出错.
?
CONTENTS
3
随堂练习
1.“±
”的意义是( )
A．a的平方根
B．当a≥0时，±
是a的平方根
C．以上均不正确
B
2.下列说法正确的有( )
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
3.若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是(
)
A．－3
B．－1
C．1
D．－3或1
D
4.计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
解：
(3)因为
，所以
.
CONTENTS
4
课堂小结
平方根
定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.
性质：（1）正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.（2）0的平方根还是0.（3）负数没有平方根.
开平方及相关运算(共20张PPT)
第十四章
实
数
14.1
平方根
第2课时
算术平方根
1
算术平方根的定义
2
算术平方根的非负性
3
求算术平方根
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9
dm2的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
因为32=9，所以这个正方形
画布的边长应取3
dm.
CONTENTS
2
课程讲授
算术平方根
问题1
填表：
上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个
正数的问题.
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
算术平方根
定义：正数a有两个平方根±
，我们把正数a的正的平方根
，叫做a的算术平方根.
算术平方根的记法：
a（a≥0）的算术平方根记为
，读作“根号a”，a叫做被开方数.
算术平方根
问题2
求下列各数的算术平方根：
（1）625；
（2）0.0081；
（3）7.
解：（1）625的算术平方根是
，即25；
（2）0.0081的算术平方根是
，即0.09；
（3）7的算术平方根是
.
由平方根的意义，易知：当a>0时，
=a.
算术平方根
例
计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：
算术平方根
问题3
有意义吗？如果有，求它的值.
解：（1）
表示“3的算术平方根的平方”，根据算术平方根的
意义，得
；
（2）
没有意义，
也就没有意义；
（3）
表示-5的平方（即25）的算术平方根，
算术平方根
归纳：
(1)
正数的算术平方根是一个正数；
(2)
0的算术平方根是0；
(3)
负数没有算术平方根；
(4)
被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
算术平方根
归纳：
算术平方根
具有双重非负性：
1.
被开方数a是非负数，即a
≥0;
2.
算术平方根
本身是非负数，即
算术平方根
练一练：
（中考·济宁）若
＋
＋1有意义，则x满足的条件是( )
A．x≥
B．x≤
C．x＝
D．x≠
C
算术平方根
归纳：平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为
，而算术平方根表示为
.
CONTENTS
3
随堂练习
（1）9的算术平方根是________;
（2）
的算术平方根是________;
（3）0.01的算术平方根是
________;
（4）10-6
的算术平方根是________;
1.填一填
（5）(-4)2的算术平方根是________;
（6）10的算术平方根是________.
3
0.1
10-3
4
2.(中考·南京)若
，则下列结论中正确的是( )
A．1B．1C．2D．2B
3.若
＝0，求x2019＋y2020的值．
∵
≥0，
≥0，
＝0，
∴x－1＝0，y＋1＝0，∴x＝1，y＝－1.
∴x2019＋y2020＝12019＋(－1)2020＝2.
解：
CONTENTS
4
课堂小结
算术平方根
算术平方根
算术平方根的应用
正数a有两个平方根±
，我们把正数a的正的平方根
，叫做a的算术平方根.
双重非负性