(共23张PPT)
第十五章
二次根式
15.1
二次根式
第2课时
二次根式的性质
1
二次根式的性质
2
最简二次根式
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
2.如何确定二次根式
中字母的取值范围？
1.怎样的式子叫二次根式？
被开方数为非负数，即a
≥0.
我们把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式.
CONTENTS
2
课程讲授
二次根式的性质
问题1
是否相等?
呢?当a≥0，b≥0时，对
的关系提出你的猜想，并说明理由.
事实上，
因为当a≥0，b≥0时，
所以
二次根式的性质
归纳：积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即
这个性质称之为“积的算术平方根的性质”
二次根式的性质
解：
例
化简：
二次根式的性质
归纳：
1.被开方数一定是积的形式，不能出现
的错误．
2.若积的因数或因式不是非负数，应将其化为非负数，再运用性质进
行化简；如
这里隐
含条件a≤0，易错误得出结果
3.最后要检验开出来的数(式)及留在根号内的数(式)，要保证它们都是
非负数．
二次根式的性质
练一练：
若
成立，则( )
A．a≥0，b≥0
B．a≥0，b≤0
C．ab≥0
D．ab≤1
B
二次根式的性质
问题2
是否相等?
呢?当a≥0，b≥0时，对
的关系提出你的猜想，并说明理由.
事实上，
理由如下：因为当a≥0，b＞0时，
所以
二次根式的性质
归纳：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即
(a≥0，b＞0).
这个性质称之为“商的算术平方根的性质”
二次根式的性质
解：
例
化简：
二次根式的性质
归纳：利用商的算术平方根化简二次根式的方法：
(1)若被开方数的分母是一个完全平方数(式)，则可以直接利用
商的算术平方根，先将分子、分母分别开平方，然后求商；
(2)若被开方数的分母不是完全平方数(式)，可根据分式的基本
性质，先将分式的分子、分母同乘一个不等于0的数或整式，
使分母变成一个完全平方数(式)，然后利用商的算术平方根
进行化简．
最简二次根式
问题1
比较下面几个二次根式，试着发现其中的规律.
与其他的二次根式不同
被开方数不含分母
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
最简二次根式
特点归纳如下：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
定义：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式
练一练：
下列根式是最简二次根式的是(
)
A.
B.
C.
D.
C
CONTENTS
3
随堂练习
1.在下列根式
中，最简二次根式有( )
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
C
2.若
则x的取值范围是( )
A．x≥－3
B．x≥2
C．x＞－3
D．x＞2
B
解：
3.化简:
解：
4.化简:
CONTENTS
4
课堂小结
二次根式
二次根式的性质
最简二次根式
二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含能开得尽方的因式(共22张PPT)
第十五章
二次根式
15.1
二次根式
第1课时
二次根式及其化简
1
二次根式的概念
2
二次根式的“双重”非负性
3
二次根式
的性质
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是
.
用
(a≥0)表示.
CONTENTS
2
课程讲授
二次根式的概念
问题1
用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为______，面积为S
的正方形的边长为_____.
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130
㎡,则它的宽为_____m.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t
(单位：s)与开始落下
时离地面的高度h(单位：m)满足关系h
=5t2.如果用含有h的式子表示t，
那么t为______.
二次根式的概念
问题2
你认为下列各代数式有哪些共同特点？
共同点：它们表示一些正数的算术平方根．
定义：我们把形式如
(a≥0)的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号.
二次根式的概念
归纳：二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数为非负数．
二次根式的概念
练一练：下列各式中不是二次根式的是
(
)
A.
B.
C.
D.
C
二次根式的“双重”非负性
问题1
二次根式
的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当a
＞0时，
表示a的算术平方根，因此
＞0；
当a
=0时，
表示0的算术平方根，因此
=0.这就是说，
当a
≥0时，
≥0.我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.
二次根式的“双重”非负性
练一练：若
，则x-y的值为(
)
A．1
B．－1
C．7
D．－7
C
提示：两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0．
?
二次根式
的性质
问题1
小亮和小颖对二次根式“ (a≥0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?
请举例说明.
小亮的观点
因为
表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有
≥0.
小颖的观点
因为
表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有
二次根式
的性质
4
2
0
归纳：
，即任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.
问题2.1
根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律．
二次根式
的性质
问题2.2
根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律．
=______;
=_____;
=______;
=______;
2
0.5
0
归纳：
a
(a≥0)
当a＜0时，
？
归纳：运用
＝a(a≥0)，
进行化简的方法：(1)化简
直接运用
＝a(a≥0)．
(2)化简 一般有两个步骤：
①去掉二次根号，写成绝对值的形式，即
＝|a|；
②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简，即
二次根式
的性质
二次根式
的性质
例
化简：(1)
(2)
解：
二次根式
的性质
B
练一练：如果
＝1－2a，则( )
A．a<
B．a≤
C．a>
D．a≥
CONTENTS
3
随堂练习
1.
当x______时,
二次根式有意义.
≥1
2.当x=5时，二次根式
的值为_____.
2
3.若
,
则a-b+c=_____.
3
4.化简：
（1）
＝
;
（2）
＝
;
（3）
;
（4）
.
3
4
7
81
5.已知
，试求x+2y的值.
解：由题意知
解得x=1，
y=2019，
所以
1-x
≥
0,
x-1
≥
0
所以x+2y=1+2×2019=4035.
CONTENTS
4
课堂小结
二次根式
概念
二次根式的“双重”非负性
我们把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式
a
(a≥0)
-a
(a＜0)
即a≥0,
≥0
二次根式
的性质
