(共26张PPT)
第十六章
轴对称和中心对称
16.2
线段的垂直平分线
第2课时
线段垂直平分线性质定理的逆定理及尺规作图
1
线段垂直平分线性质定理的逆定理
2
用尺规作线段的垂直平分线
CONTENTS
1
新知导入
画一画：画出下列三角形长边上的高.
CONTENTS
2
课程讲授
线段垂直平分线性质定理的逆定理
问题1
我们知道，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
P
A
B
猜想：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
线段垂直平分线性质定理的逆定理
问题2
运用所学知识，证明你的猜想.
P
A
B
已知：如图，P为线段AB外一点，且PA
=PB．
求证：点P
在线段AB
的垂直平分线上．
线段垂直平分线性质定理的逆定理
P
A
B
证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长.
O
在△POA和△POB中,
∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.
∴直线PO是线段AB的垂直平分线，∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理
归纳：
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到线段两端_________的点，在这条线段的垂直平分线上．
距离相等
线段垂直平分线性质定理的逆定理
例
已知:如图,在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DP与EP相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
A
B
P
C
D
E
证明:如图,连接PA,PB,PC.
∵DP，EP分别是AB，AC的垂直平分线(已知)，
∴PA=PB=PC(线段垂直平分线的性质定理)，
∴点P在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性
质定理的逆定理).
线段垂直平分线性质定理的逆定理
练一练：
如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
用尺规作线段的垂直平分线
例
如图，已知线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
提示：由线段垂直平分线性质定理的逆定理，只要作出到这条线段端点距离相等的两点，连接这两个点，即得所求作的直线.
?
用尺规作线段的垂直平分线
A
B
C
D
作法：（1）分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C，D.
（2）连接CD.直线
CD即为所求.
归纳：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
练一练：如图所示的尺规作图是作(
)
A.线段的垂直平分线
B.一个半径为定值的圆
C.角的平分线
D.一个角等于已知角
用尺规作线段的垂直平分线
A
用尺规作线段的垂直平分线
例
如图,已知直线AB及AB外一点P.
求作:经过点P，且垂直于AB的直线.
A
B
P
提示：在直线AB上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接PQ，直线PQ即为所求.
?
用尺规作线段的垂直平分线
作法：
（1）以点P为圆心,适当长为半径画
弧,交直线AB于点C,D.
（2）分别以点C,D为圆心,适当长为
半径,在直线AB的另一侧画弧,两弧
相交于点Q.
（3）连接PQ.直线PQ即为所求.
A
B
P
C
D
Q
用尺规作线段的垂直平分线
归纳：
1.根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理,只要找到两个到线段
两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.
2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的
位置关系:①点在直线外;②点在直线上,因此同学们在作图时要
掌握这两种方法的区别.
CONTENTS
3
随堂练习
1.锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( )
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
D
2.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有
（填序号）.
①
②
③
3.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为(
)
A.7
B.14
C.17
D.20
C
4.如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，先要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？
解：连接AB,作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求作的点.
5.如图，AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由.
解：相等.
连接BC，∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上.
同理，D点也在线段BC的垂直平分线上.
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵E是AD延长线上的一点，∴BE=CE.
6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A,D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
CONTENTS
4
课堂小结
线段垂直平分线性质定理的逆定理
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
作用
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
用尺规作线段的垂直平分线(共19张PPT)
第十六章
轴对称和中心对称
16.2
线段的垂直平分线
第1课时
线段垂直平分线的性质定理
1
线段垂直平分线的性质定理
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么叫线段的垂直平分线？
是
线段的中垂线
垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线
CONTENTS
2
课程讲授
线段垂直平分线的性质定理
问题1
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l
上的点，请你猜想点P1，P2，P3到点A与点B的距离之间的数量关系.
P1A=P1B
P2A
=
P2B
P3A=P3B
A
B
l
P1
P2
P3
线段垂直平分线的性质定理
问题2
运用所学知识，证明你的结论.
证明：在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO(SAS),∴PA=PB.
已知：如图，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，点P为
直线l
上任意一点，连接PA,PB
求证：PA
=PB．
P
A
B
l
O
线段垂直平分线的性质定理
归纳：线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理
例
已知:如图,点A,B是直线l外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.
解:如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,
交直线l于点P,则AP+BP最短.
理由如下：
∵点A和点A'关于直线l对称(作法),
∴AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理)
∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),
A
B
A'
P
线段垂直平分线的性质定理
如图,在直线l上任取一个异于点P的点P',
连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间
线段最短).
即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.
∴AP+BP最短.
A
B
A'
P
P'
线段垂直平分线的性质定理
归纳：
(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都
具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两
端的距离都相等.
(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都
具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应
注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.
线段垂直平分线的性质定理
练一练：如图，已知线段AB，BC的垂直平分线l1，l2交于点M，则线段AM，CM的大小关系是(
)
A.AM>CM
B.AM=CM
C.AMD.无法确定
B
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5,则线段PB的长度为(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
B
2.(中考·黄石)如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．50°
B．100°
C．120°
D．130°
B
3.(中考·临沂)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
A．AB＝AD
B．CA平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
C
4.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线
DE交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为
8，求BC的长；
(2)
若BC＝4，求△BCD的周长．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
CONTENTS
4
课堂小结
线段垂直平分的性质定理
内容
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
由垂直平分线，得相关线段相等
