2020秋冀教版八年级数学上册16.3 角的平分线课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
第十六章
轴对称和中心对称
16.3
角的平分线
1
角平分线的性质定理
2
角平分线性质定理的逆定理
3
尺规作角平分线
CONTENTS
1
新知导入
画一画：试着将下图中的角平分.
45°
30°
15°
22.5°
想一想：除了使用量角器，你还有其他更为准确的方法吗？
CONTENTS
2
课程讲授
角平分线的性质定理
问题1
角是轴对称图形吗？将∠AOB对折，你发现了什么？
A
B
O
归纳：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
角平分线的性质定理
问题1.1
如图，在∠AOB中，OC平分∠AOB.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线,分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？
A
O
B
C
P
D
E
PD=PE
角平分线的性质定理
问题1.2
在OC上多取几个点进行测量和比较，得到的结论一致吗？试着猜想角的平分线的性质.
A
O
B
C
P
D
E
P'
D'
E'
PD'=PE'
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质定理
问题2
运用所学知识证明你的猜想.
已知：如图，
OC是
∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
A
O
B
C
P
D
E
角平分线的性质定理
证明：在△PDO和△PEO中，
∠1=
∠2，
∠PDO=
∠PEO=90°，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
A
O
B
C
P
D
E
1
2
角平分线的性质定理
归纳：
角平分线的性质定理：
角_________的点到这个角的两边的距离_____.
角平分线的性质定理(几何语言)：
∵OP
是∠AOB的平分线，
PD⊥____,PE⊥____，
∴PD
=
____．
平分线上
相等
OA
OB
PE
B
A
D
O
P
E
C
角平分线的性质定理
练一练：如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB，垂足为D,则PC与PD的大小关系是(
)
A.PC>PD
B.PC=PD
C.PCD.不能确定
B
角平分线的性质定理
练一练：如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=6cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
6
角平分线性质定理的逆定理
问题1.1
写出角平分线的性质定理的逆命题.
如果角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的角平分线上
问题1.2
这个逆命题是否正确？
猜想：这个逆命题正确
问题1.3
设法验证你的猜想.
角平分线性质定理的逆定理
归纳：
角平分线性质定理的逆定理：
到角的两边
的点在角平分线上．
距离相等
角平分线性质定理的逆定理
例
已知：如图，△ABC的两内角∠B，∠C
的角平分线相交于点P.
求证：点P在∠A的角平分线上.
P
A
B
C
D
F
E
证明：分别过点P做PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.
∵
∠B，∠C
的角平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴
PD=PE，
∴点P在∠A的角平分线上.
角平分线性质定理的逆定理
归纳：三角形的平分线：
三角形的三条角平分线_________，并且这点到三边的距离______.
即PD=____=_____.
交于一点
相等
A
B
C
P
N
M
D
E
F
PE
PF
尺规作角平分线
问题1
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
D
E
C
两个三角形三边对应相等，两个三角形全等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就是角平分线
想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分
线吗？
尺规作角平分线
问题2
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，
分别交OA，OB于点D，E.
（2）分别以点D，E为圆心，适当长为半
径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C.
（3）作射线OC.射线OC即为所求.
A
O
B
E
D
C
尺规作角平分线
练一练：用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则
能说明∠AOC=∠BOC的依据是(
)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C=90°,∠CAB=50°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于
EF的长为半径画弧，两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D，则∠CDA的度数为________.
65°
2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4.则点P到AB的距离为_______.
A
B
C
P
4
3.如图，∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D，若QC=QD,则∠AOQ=________.
35°
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
B
A
C
D
E
D
5.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′,
∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的平分线，且AD=A′D′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
证明：∵∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的角平分线，∴∠BAD=∠B′A′D′.
又∵∠B=∠B′,AD=A′D′,
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS),∴AB=A′B′,
在△ABC和△A′B′C′中，
∠B=∠B′,
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
CONTENTS
4
课堂小结
角的平分线
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
尺规作角平分线
角平分线性质定理的逆定理
到角的两边距离相等的点在角平分线上．