(共27张PPT)
第十七章
特殊三角形
17.1
等腰三角形
第2课时
等腰三角形的判定
1
等腰三角形的判定定理
2
等边三角形的判定定理
3
尺规作等腰三角形
CONTENTS
1
新知导入
画一画：
根据图中的提示补全下列各等腰三角形，试着发现它们的规律.
CONTENTS
2
课程讲授
等腰三角形的判定定理
问题1
如图，在△ABC
中，∠B=∠C.
B
C
D
A
(B)
(1)请你作出∠BAC的平分线AD.
(2)将△ABC沿AD所在直线折叠△ABC
被直线AD分成的两部分能够重合吗？
(3)由上面的操作，你是否发现了边
AB
和边AC之间的数量关系?
AB=AC
等腰三角形的判定定理
问题2
运用所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
已知：如图，在△ABC中,
∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证明：作∠A的平分线，交BC于点D.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，
∠1=∠2，
AD=AD，
∴
△ABD
≌
△ACD，∴AB=AC.
D
1
2
等腰三角形的判定定理
归纳：等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有_______相等,那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等（简写成“______________”）.
几何语言：在△ABC中，
∵∠B=_____，
∴
AC=AB.
(
)
即△ABC为等腰三角形.
两个角
等角对等边
∠C
等角对等边
A
B
C
等腰三角形的判定定理
练一练：在△ABC中，∠A与∠B的度数如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(
)
A.∠A=60°，∠B=50°
B.∠A=70°，∠B=60°
C.∠A=40°，∠B=70°
D.∠A=40°，∠B=80°
C
等边三角形的判定定理
问题1
回顾等腰三角形的判定，它们是否适用于等边三角形，你能得到什么结论？
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有_______相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“______________”）.
_____条边相等的三角形是等腰三角形.
两个角
等角对等边
两
?
A
B
C
等边三角形的判定定理
归纳：
等边三角形的判定定理1：
三个角_______的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理2：
有一个角是_____的等腰三角形是等边三角形.
60°
都相等
等边三角形的判定定理
例
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,分别交AB，AC于点D，E
.
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：∵
△ABC是等边三角形，
∴
∠A=
∠B=
∠C.
∵
DE//BC,
∴
∠ADE=
∠B,
∠
AED=
∠C.
∴
∠A=
∠ADE=
∠
AED.
∴
△ADE是等边三角形.
等边三角形的判定定理
归纳：证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边
三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于60°的等腰
三角形是等边三角形”来判定．
等边三角形的判定定理
练一练：有下列条件：
①在△ABC中，AB=BC=CA;
②底角为60°的等腰三角形;
③顶角为60°的等腰三角形.
其中能判定此三角形为等边三角形的个数有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
C
尺规作等腰三角形
例
已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形.
如图，已知线段a和h.
求作：等腰三角形ABC，使BC=a，高AD=h.
a
h
提示：先作出线段BC=a，再作出BC的垂直平分线.在这条垂直平分线上截取点A，使点A到BC的距离=h，连接相关点即得.
?
尺规作等腰三角形
作法：
1.作线段BC=a.
2.作线段BC的垂直平分线MD，垂足为D.
3.在DM上截取DA=h.
4.连接AB，AC，则△ABC即为所求.
A
B
C
M
D
尺规作等腰三角形
练一练：已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高长为b，求作这个等腰三角形.
a
b
尺规作等腰三角形
作法：
(1)作线段AB=a;
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB交于点D;
(3)在MN上取一点C，使CD=b;
(4)连接AC、BC，则△ABC就是所求作的三角形.
A
B
M
N
C
D
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=8
cm，则CD等于(
)
A.8
cm
B.4
cm
C.15
cm
D.20
cm
A
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
3.在如图所示的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(
)
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
D
4.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18
cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是_______cm.
18
5.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上一点，过D作DE⊥BC于点E,并与CA的延长线相交于点F,试判断△ADF的形状,并说明理由.
解：△ADF是等腰三角形.
理由：在△ABC中.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°,
∴∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,∴∠BDE=∠F.
∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠F,∴AF=AD,
∴△ADF是等腰三角形.
6.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．证明如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
CONTENTS
4
课堂小结
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理
尺规作图
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形
根据已知条件作出等腰三角形
等边三角形的判定定理
三边法三边相等的三角形是等边三角形
三个角为60°的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形(共34张PPT)
第十七章
特殊三角形
17.1
等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质
1
等腰三角形的性质
2
等边三角形的性质
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
CONTENTS
2
课程讲授
等腰三角形的性质
问题1
在我们的身边，许多物体的形状是两边相等的三角形，如房屋的钢梁架、红领巾、交通标志的外沿形状等.它们是什么特殊的三角形呢？
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质
问题2.2
如果∠A＝90°，那么△ABC是什么特殊的三角形？
AB和AC
是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B和∠C是底角.
A
B
C
问题2.1
如图，在△ABC中，AB＝AC.指出△ABC的腰、底边、顶角和底角.
定义：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形.
等腰三角形的性质
问题3.1
把等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
B
C
D
A
B
线段
角
AB与______重合
∠BAD与_______重合
AD与______重合
∠ABD与_______重合
BD与______重合
∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
等腰三角形的性质
问题3.2
由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
线段
角
AB与______重合
∠BAD与_______重合
AD与______重合
∠ABD与_______重合
BD与______重合
∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
B
C
D
A
猜想：等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的性质
问题3.3
根据所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
D
已知：
如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：
∠B=
∠C.
证明：作∠A的平分线AD，
在△ABD和△ACD中
AB=AC
，
∠1=∠2
，
AD=AD
，
∴
△ABD≌
△ACD
(SAS)，∴
∠B=
∠C
.
1
2
等腰三角形的性质
归纳：等腰三角形的性质1：
等腰三角形的两个_____相等(___________).
底角
等边对等角
等腰三角形的性质
例
已知：如图，在△ABC中，
AB
=
AC，BD，CE分别为
∠ABC，
∠ACB的平分线.
求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
等腰三角形的性质
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠ABD＝
∠ABC，∠ACE＝
∠ACB.
∵∠ABC=∠ACB(等边对等角)，
∴∠ABD=∠ACE(等量代换).
∵AB=AC(已知)，∠A=∠A(公共角)，
∴△ABD
≌△ACE(
ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
A
B
C
D
E
等腰三角形的性质
练一练：如图，小聪坐秋千旋转了80°，小聪的位置从P点运动到了P′点，则∠OPP′的度数为(
)
A.40°
B.50°
C.70°
D.80°
B
等腰三角形的性质
问题4.1
由这些重合的线段，你能发现等腰三角形的其他性质吗？说一说你的猜想.
线段
角
AB与______重合
∠BAD与_______重合
AD与______重合
∠ABD与_______重合
BD与______重合
∠ADB与_______重合
AC
AD
CD
∠CAD
∠ACD
∠ADC
B
C
D
A
猜想：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一）.
等腰三角形的性质
问题4.2
根据所学知识，证明你的猜想.
A
B
C
D
已知：如图，
△ABD≌
△ACD.
求证：
AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线.
等腰三角形的性质
证明：∵△BAD≌
△CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵
∠ADB+∠ADC=180°，
∴
∠ADB=∠ADC=
90°
，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线
.
A
B
C
D
等腰三角形的性质
归纳：等腰三角形的性质2：
等腰三角形的顶角_______、底边上的______及底边上的______重合(____________）.
平分线
三线合一
高
中线
等腰三角形的性质
练一练：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是(
)
A.
D是BC的中点
B.
AD平分∠BAC
C.
AB=2BD
D.
∠B=∠C
C
等边三角形的性质
定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.
A
B
C
等边三角形的性质
问题1.1
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
等边三角形的三个角都相等，并且每一
个角都等于60°.
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形的两个底角相等.
等边三角形的性质
问题1.2
运用所学知识，证明你的结论.
A
B
C
已知：AB=AC=BC
，
求证：∠A=
∠B=∠C=
60°.
证明：
∵AB=AC.
∴∠B=∠C(等边对等角)
.同理
∠A=∠C
.
∴∠A=∠B=∠C.
∵
∠A+∠B+∠C=180°,
∴
∠A=
∠B=
∠C=60
°.
等边三角形的性质
问题2
等腰三角形“三线合一”的性质同样存在与等边三角形中吗?
等腰三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（一条对称轴）
等腰三角形
等边三角形
等边三角形顶角的平分线、底边的高、底边的中线三线合一（三条对称轴）
等边三角形的性质
归纳：
等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都______，并且每一个角都等于______.
等边三角形的顶角_______、底边上的______及底边上的______
互相重合(____________）.
相等
60°
平分线
三线合一
高
中线
等边三角形的性质
练一练：如图，等边三角形ABC与互相平行的直线a，b相交，
若∠1=25°，则∠2的大小为(
)
A.25°
B.35
°
C.45°
D.55°
B
CONTENTS
3
随堂练习
1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
A
2.如图，四边形ABCD是正方形，△PCD是等边三角形，连接BP，则∠BPC等于(
)
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
A
3.如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1+∠2的度数为(
)
A.180°
B.220°
C.240°
D.300°
C
4.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为________度.
24
5.如图，在△ABC中，AD=BD=BC,若∠DBC=28°,求∠ABC和∠C的度数.
∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°,∴∠BDC=2x°.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x°.
∵∠DBC=28°,∠BDC+∠C+∠DBC=180°,
∴2x+2x+28=180,∴x=38,
∴∠C=76°,∠ABC=∠ABD+∠DBC=38°+28°=66°.
解：
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD.
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD.
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD.
CONTENTS
4
课堂小结
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合
等边三角形的三个角都相等，并且每一
个角都等于60°.
等边三角形的性质
