(共21张PPT)
第十七章
特殊三角形
17.3
勾股定理
第2课时
勾股定理的应用
1
勾股定理的实际应用
2
勾股定理的几何应用
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程.
CONTENTS
2
课程讲授
勾股定理的实际应用
例
如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，∠ACB=90°.测得
AB=200
m，BC=160
m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.
C
A
B
勾股定理的实际应用
解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2(勾股定理).
∵AB=200
m，BC=160
m，
答：点A和点C间的距离是120
m.
C
A
B
勾股定理的实际应用
归纳：基本思想方法：
勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”
结合起来，它是数形结合思想的典范．
运用勾股定理时，一定要分清哪条边是斜边.在不清楚哪条边是斜边时，要分类讨论，写出所有可能，以免漏解或错解．
勾股定理的实际应用
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度
CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
勾股定理的实际应用
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,
解得x=5.故滑道AC的长度为5m.
勾股定理的几何应用
例
如图，在长为50
mm，宽为40
mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
C
A
B
26
15
18
10
勾股定理的几何应用
解：∵△ABC是直角三角形，
∴
AB2=AC2+BC2.
∵AC=50－15－26=9(mm)，
BC=40－18－10=12(mm)，
答：孔中心A和B间的距离是15
mm.
C
A
B
26
15
18
10
勾股定理的几何应用
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相
距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少
飞行( )
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
练一练：
B
勾股定理的几何应用
归纳：勾股定理的实际应用的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
CONTENTS
3
随堂练习
1.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距(
)
A.25海里
B.30海里
C.40海里
D.50海里
C
2.(中考·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
C
3.
(中考·厦门)已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4
km，B，C两地的距离是3
km，则A，B两地的距离是________；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的________方向．
5
km
正北
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB
延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·CD.
A
B
C
D
E
证明：过A作AE⊥BC于点E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt
△ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt
△ABE中，AB2=AE2+BE2.
=
DE2-
BE2
=
(DE+BE)·(
DE-
BE)
=
(DE+CE)·(
DE-
BE)
=BD·CD.
CONTENTS
4
课堂小结
勾股定理的应用
勾股定理的实际应用
勾股定理的几何应用(共23张PPT)
第十七章
特殊三角形
17.3
勾股定理
第1课时
认识勾股定理
1
勾股定理
2
勾股定理与图形面积
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
相传2500年前，一次毕达哥拉斯去
朋友家作客，发现朋友家用砖铺成
的地面反映直角三角形三边的某种
数量关系，同学们，我们也来观察
下面的图案，看看你能发现什么？
CONTENTS
2
课程讲授
A
C
B
勾股定理
问题1.1
观察正方形瓷砖铺成的地面.完成下列内容，并试着探究其
中规律.
（图中每一格代表一平方厘米）
P
（1）正方形P的面积是
平方厘米；
（2）正方形Q的面积是
平方厘米；
（3）正方形R的面积是
平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
Q
R
勾股定理
问题1.2
直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
AC2+BC2=AB2
SP=AC2
SQ=BC2
SR=AB2
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.即两直角边的平方和等于斜边的平方.
由上面的例子，我们猜想：
a
b
c
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
勾股定理
归纳：如图，我国古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理
.
A
B
C
勾
股
弦
勾股定理
归纳：
由前面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2.
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理
a
A
B
C
b
c
∟
几何语言：
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
∵在Rt△ABC中
，∠C=90°，
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
勾股定理
问题2
请你用如图所示的图形验证勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2
+b2
=c2.
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+
S小正方形
=4×
ab+c2
=c2+2ab，
勾股定理
例
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10
cm，BC＝8
cm，求AC的长．
解：由题意易知，AC2＋BC2＝AB2，
所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.
所以AC＝6
cm.
勾股定理
练一练：(中考·淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5
B．6
C．7
D．25
A
勾股定理与图形面积
例
观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形
P
的面积为9，正方形Q
的面积为15，则正方形M
的面积为______；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC
的
三边长为直径向三角形外作三个半圆，
则这三个半圆形的面积之间的关系式是
.(用图中字母表示)
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了勾股定理及半圆面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3
和4，则b的面积为( )
A．16
B．12
C．9
D．7
D
CONTENTS
3
随堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
_________.
15
cm
17
cm
64
cm?
2.在△ABC中,
∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
A
B
C
D
24
4.8
3.在△ABC中，边AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长
是( )
A．42
B．32
C．42或32
D．不能确定
C
CONTENTS
4
课堂小结
内容及基本关系式
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方:a2+b2=c2
勾股定理
适用条件
直角三角形；它反映了直角三角形三边关系．
