2020秋冀教版八年级数学上册17.5反证法课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第十七章
特殊三角形
17.5
反证法
1
反证法
CONTENTS
1
新知导入
想一想：
根据所学知识，试着思考下列问题的解决方法.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2
+b2
=c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
a
A
B
C
b
c
∟
CONTENTS
2
课程讲授
反证法
问题1
已知：如图，△ABC.
求证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角.
A
B
C
∟
证明：假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设
∠A=∠B
=90°.
∵∠A+∠B=180°，
∴∠A+∠B+∠C
>180°.
这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾.
因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的.
所以，如果三角形含直角，那么它只能有一个直角.
反证法
定义：像这样的证明方法叫“反证法”.
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：
(1)先假设原命题结论不正确;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
反证法
例1
用反证法证明平行线的性质定理一：两条平行线被第三条之间所截，同位角相等
已知：如图.直线AB∥CD，直线
EF分别与直线AB，CD交于点G，
H，∠1和∠2是同位角.
求证：∠1=∠2.
A
C
B
D
E
F
G
H
1
2
反证法
证明：假设∠1≠∠2.
过点G作直线MN，使得∠EGN
=∠1.
∴∠EGN=∠1，
∴
MN∥CD(基本事实).
又∵AB∥CD(已知)，
∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.
这与“经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.∴∠1≠∠2的假设是不成立的.因此，∠1=∠2.
A
C
B
D
E
F
G
H
M
N
1
2
反证法
归纳：反证法的步骤：
第一步，假设命题的结论不成立.
第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学
过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.
第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.
反证法
例2
用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
已知：如图，在
△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′
=
90°，AB=A′B′=AC=A′C′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
A'
B'
C'
反证法
证明：假设△ABC与△A′B′C′不全等，即BC≠B′C′.
不妨设BC＜B′C′.如图,在B′C′上截取连接A′D.
在△ABC和△A′B′C′
中，
∵AC
=
A′C′，∠C
=
∠C′，CB
=
C′D，
∴△ABC≌△A′DC′(SAS).
∴AB
=
A′D(全等三角形的对应边相等).
∴AB
=
A′B′
(已知)，
∴A′B′
=
A′D(等量代换).
A
B
C
A'
B'
C'
D
反证法
∴∠B′
=
∠A′DB′(等边对等角).
∴∠A′DB′
＜90°(三角形的内角和定理)，
即∠C′＜∠A′DB′＜90°
(三角形的外角大于和它不相邻的内角).
这与∠C′＝90°相矛盾.因此，BC≠B′C′的假设不成立，
即△ABC与△A′B′C′不全等的假设不成立.
所以，△ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
A'
B'
C'
D
反证法
练一练：利用反证法证明“直角三角形中至少有一个
锐角不小于45°”，应先假设(
)
A.直角三角形的两个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的两个锐角都大于45°
D.直角三角形有一个锐角小于45°
C
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随堂练习
1.试说出下列命题的反面：
（1）a是实数;
　　
（2）a大于2;
（3）a小于2;
　　
（4）至少有2个;
（5）最多有一个;
　
（6）两条直线平行;
2.用反证法证明“若a2≠
b2,则a
≠
b”的第一步是　____
.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角
形不是等腰三角形”的第一步　　　
_______
　　
　.　
　a不是实数
　a小于或等于2
　a大于或等于2
没有两个
一个也没有
两直线相交
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
4.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为(
)
A.a，b，c都是奇数
B.
a，b，c都是偶数
C.
a，b，c中至少有两个偶数
D.
a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
D
5.已知：a是整数，2能整除a2.
求证：2能整除a.
证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”,因为a是整数，故a是奇数.
不妨设a=2n+1(n是整数),
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1,
∴a2是奇数，则2不能整除a2
，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故2能整除a.
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课堂小结
反证法
反证法的步骤
假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确