上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

1176020012560300七宝中学高二下期末数学试卷
一、填空题
1．已知集合false，false，则false中元素的个数是__________．
2．若平面false外的直线false与平面false所成角为false，则false的取值范围是__________．
3．已知false，false，则直线false和false所成角的余弦值是__________．
4．在北纬45°圈上有false、false两点，若该纬度圈上false、false两点间的劣弧长为false（false为地球的半径），则false、false两点间的球面距离是__________．
5．设false、false满足约束条件false，则false的最大值是__________．
6．不等式false对任意false恒成立的充要条件是false__________．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图1，圆柱表面上的点false在正（主）视图上的对应点为false，圆柱表面上的点false在侧（左）视图上的对应点为false，则在此圆柱侧面上，从false到false的路径中，最短路径的长度为__________．
8．有一多边形false水平放置的斜二测直观图false是直角梯形（如图所示），其中false，false，false，则原四边形false的面积为__________．
9．正四棱柱false中，false，false为false中点，若点false满足false，且false平面false，则false__________．
10．在正方体false中，给出下面四个命题：
①false；②false与false夹角为120?；③false④正方体的体积是false，则正确的命题是__________．
11．如图，半径为false的球false的直径false垂直于平面false，垂足为false，false是平面false内边长为false的正三角形，线段false，false分别与球面交于点false、false，则三棱锥false的体积是__________．
12．在三棱锥false中，false，false，false，点false在侧面false上，且到直线false的距离为false，则false的取值范围是__________．
二、选择题
13．已知直线false平面false，则false是false的（　　）
A．充要条件 B．充分非必要条件件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
14．在正方体false中，false，false，false分别为棱false，false，false，的中点，用过点false，false，false的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（　　）
A．B．C．D．
15．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；
④体积为false，正确的有（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
16．如图，已知正四面体false，点false，false，false，false，false，false分别是所在棱中点，点false满足false且false，记false，则当false，false且false时，数量积false的不同取值的个数是（　　）

A．3 B．5 C．9 D．21
三、解答题
17．设函数false的定义域为集合false，函数false在[-3，-1]上存在零点时的false的取值集合false．
（1）求false；
（2）若集合false，若false是false充分条件，求实数false的取值范围．
18．已知正方体false中的棱长为2，false是false中点，
（1）求证：false平面false；
（2）设false，的中点为false，过false、false、false作一截面，并求出截面面积．
19．设一正方形纸片false边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中false，false为正四棱锥底面中心．，
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形false的底角为false，试把正四棱锥的侧面积表示为false的函数，并求false范围．
20．如图，在false中，false，斜边false，半圆false的圆心false在边false上，且与false相切，现将false绕false旋转一周得到一个几何体，点false为圆锥底面圆周上一点，且false．
（1）求球false的半径；
（2）求点false到平面false的距离；
（3）设false是圆锥的侧面与球的交线上一点，求false与平面false所成角正弦值的范围．
21．设集合false的元素均为实数，若对任意false，存在false，false．使得false且false，则称元素最少的false和false为false的“孪生集”；称false的“孪生集”的“孪生集”为false的“2级孪生集”；称false的“2级孪生集”的“孪生集”为false的“3级孪生集”，依次类推．．．．．．．
（1）设false，直接写出集合false的“孪生集”；
（2）设元素个数为false的集合false的“孪生集”分别为false和false，若使集合false中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：false中所有元素之和为false；
（3）若false，请直接写出false的“false级孪生集”的个数，设false的所有“false级孪生集”的并集为false，若false；求有序集合组false的个数．
参考答案
一、填空题
1．2 2．false 3．false 4．false 5．16 6．（-8，0] 7．false
8．false 9．false 10．①②③ 11．false 12．false
【第11题解析】false，false，false，
易证false，∴false，
∴false，类似有false，
从而false．
【第12题解析】∵点false到直线false的距离为定值false，∴点false落在以false轴、底面半径为false的圆柱的侧面上，且该侧面与三棱锥侧面false的交线为椭圆的一部分．
①设其与false的交点为false，此时false最大．由题意可得，点false到false的距离为false，∴点false为false的中点．又false，
在false中，由余弦定理可false；
②当点false落在false的垂直平分线上时，false最小．
易得false，∴false，
从而false，
在false中，由余弦定理可得false；
综上，false．
二、选择题
13．D 14．C 15．C 16．B
【第15题解析】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为false，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉8个直角四面体得到，它的表面积为
false，体积为false，
∴①②④正确，选C．
【第16题解析】条件“false且false”，说明点false在平面false上，而false说明false为平面false的中心，此时false平面false，由向量数量积的几何意义，false在false的投影有5种情况：0、false、false，∴数量积false的不同取值的个数是5，选B．
三、解答题
17．（1）false，
false在false有解false，即false，
∴false；
（2false，由题意，false
18．（1）记false、false的交点为false，易证false，
又false平面false；且false平面false，
∴false平面false；
（2）截面为菱形false，
∴false﹒
19．（1）由题意，设正四棱锥的棱长为false，则false，
false；
（2）设false，则false，由false，可得false，
从而false，其中false，
∴false
20．（1）false
（2）由等体积法，false
（3）如图建立空间直接坐标系，则false，false，false，false，
false，false，false，
设平面false的法向量false，
由false，∴false，
设false与平面false所成角为false，
则false．
21．（1）false，false﹔
（2）证明：将集合false中元素从小到大排列：false，
则其“孪生集”false，false，
设集合false，
由于false，false，false，false，
因此集合false中元素个数false，
若false，则有false，即false
因此false，构成公差为2的等差数列，false
所以false进而false；
（3）false的“false级孪生集”的个数为false，
false所有“false级孪生集’的并集false的元素个数为false，
每个元素至少属于false、false、false，中的一个，
所以有序集合组false的个数为false．
【说明】由（2）知，
false所有“1级变生集”为false，false，
它们的并集false，有false个元素；
false所有“2级变生集”为false，false，
false，false
它们的并集false有false个元素；
A所有“3级变生集”为false，false，
false，false，
false，false，
false，false，
它们的并集false，有false个元素；……，
false所有"false级变生集“的并集false
——其中第2小的元素的分子和最大元素的分子的和恰为false，
即所有元素从小到大排列构成首项为false，公差为false的等差数列，
所以共有项，false项，
也即false所有“false级孪生集”的并集false的元素个数为false．